1.2 集合间的基本关系(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦集合间的基本关系，核心内容包括子集、真子集、空集的含义及Venn图表达。课堂通过高一新生班级集合情境导入，从具体实例抽象出集合关系，衔接集合基本概念，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解包含与相等关系。 导学案以情境激发兴趣，通过实例分析培养数学抽象，利用Venn图强化直观想象，例题变式训练提升逻辑推理。分层习题兼顾基础与提能，规律方法总结助力形成数学思维，有效促进学生用数学眼光观察、用数学思维思考集合关系。

1.2　集合间的基本关系 课标要求 情境导入 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（数学抽象、逻辑推理）. 2.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情境中，了解空集的含义（数学抽象）. 　　2026年开学季，我校高一新生组成集合A，其中高一（1）班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系呢？ 知识点一　子集 问题　观察下面两个实例，回答问题： ①集合A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}； ②集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}. 上述两个实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 1.Venn图：用平面上　　　　的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的　　　 记法与 读法 记作　　　　（或B⊇A），读作“　　　　　　”（或“B包含A”） 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即　　　　； （2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么　　　 提醒：“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. 【微思考】 符号“∈”与“⊆”有什么不同？ 3.集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作　　　　.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则　　　　. 提醒：集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致. （链接教材P9练习3题）判断下列两个集合之间的关系： （1）A＝{1，2，3}，B＝{x｜（x－1）（x－2）·（x－3）＝0}； （2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}； （3）A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}； （4）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}. 规律方法 判断集合间关系的常用方法 训练1　（1）已知A＝{x｜x是正数}，B＝{x｜x是正整数}，C＝{x｜x是实数}，那么A，B，C之间的关系是（　　） A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A＝B⊆C （2）已知集合M＝{x｜x2－1＝0}，则（　　） A.1∉M B.－1⊆M C.{－1，1}⊆M D.{－1，1}∈M 知识点二　真子集与空集 问题　观察下面两个例子，回答问题： ①集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； ②集合M＝{x∈R｜x2－2x＋2＝0}. （1）实例①中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ （2）集合M中有多少个元素？ 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但　　　　元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B（或B⫌A），读作“　　　　　　　　”（或“B真包含A”） 图示 提醒：在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2.集合间关系的性质 对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A　　　C；若A⊆B且A≠B，则A　　　B. 3.空集 定义 我们把　　　　　　的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的　　　　，即⌀⊆A 特性 空集只有一个子集，即它的本身，⌀⊆⌀；若A≠⌀，则⌀　　　A 【微思考】 （1）⌀，{⌀}，{0}，0四者有什么关系？ （2）能不能说空集是任何集合的真子集？ （链接教材P8例1）已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}. （1）写出集合A的子集、真子集； （2）求集合B的子集数、真子集数和非空真子集数. 规律方法 求集合子集、真子集个数的3个步骤 提醒：要注意两个特殊的子集：⌀和本身. 训练2　已知集合A⫋{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 提能点　由集合间的关系求参数（范围） 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，集合B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【破题思维】 题目信息 信息转化 集合A＝{x｜－2≤x≤5}，集合B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，A⊆B 联想到子集的定义，集合A中的元素都在集合B中 变式1　若本例中的条件不变，且B⊆A，求实数m的取值范围. 变式2　若本例中的条件“A＝{x｜－2≤x≤5}”改为“A＝{x｜－2≤x＜5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 变式3　若本例中的条件不变，且B⫋A，求实数m的取值范围. 规律方法 应用集合关系求参数的步骤 提醒：不能忽视集合为⌀的情形. 训练3　已知集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是（　　） A.{－1，2} B.{－2，1} C.{－2，0，1} D.{－1，0，2} 1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，则（　　） A.A∈B B.A⫋B C.A＝B D.B⫋A 2.已知集合A＝{－1，1}，则集合A的真子集有（　　） A.3个　　 B.4个 C.5个　　 D.6个 3.〔多选〕以下四个选项中，正确的为（　　） A.{1}∈{0，1，2} B.{1，－3}＝{－3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.⌀＝{0} 4.已知集合A＝{x｜－a≤x≤a}，B＝{x｜x≤2}，A⊆B，求实数a的取值范围. 　子集个数的探究 通过教材第8页例1与练习1题，我们知道可用列举法写出集合的子集，那么求集合的子集是否还有其他方法呢？阅读下表，找出规律并填空： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1个 ⌀，{a} 　 　个 {a，b} 2个 ⌀，{a}，{b}，{a，b} 　 　个 {a，b，c} 3个 ⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 　 　个 【问题探究】 1.你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ 2.如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集、真子集和非空真子集数目的公式吗（用n表达）？ 【迁移应用】 1.已知集合A＝{0，1}，则集合A的真子集有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数为　　　　. 完成课后作业　第一章　1.2 答案 1.2　集合间的基本关系 知识点一 导入新知 问题　提示：集合A中的元素都是集合B中的元素；①中集合B中的元素0，1，2是A中的元素，但3∉A.②中集合B中的元素都是A中的元素. 学习新知 1.封闭曲线 2.子集　A⊆B　A包含于B　（1）A⊆A　（2）A⊆C 微思考 提示：符号“∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合与集合之间的关系. 3.A＝B　A＝B 【例1】　解：（1）B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}＝{1，2，3}＝A. （2）集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⊆B. （3）∵A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}， 又∵等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形， ∴A⊆B. （4）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. 训练1　（1）B　（2）C　解析：（1）集合A，B，C的关系如图. （2）集合M＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，A错误；－1∈M，元素与集合不能用⊆符号，B错误；根据子集的定义，有{－1，1}⊆M，C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用∈符号，D选项错误.故选C. 知识点二 导入新知 问题　（1）提示：不全是.1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素. （2）提示：集合M中没有元素. 学习新知 1.存在　A真包含于B 2.⊆　⫋ 3.不含任何元素　子集　⫋ 微思考 （1）提示：⌀是不含任何元素的集合；{⌀}表示集合中含有⌀这样一个元素；{0}是含有一个元素0的集合.0∈{0}，0∉⌀，⌀⫋{0}，⌀⫋{⌀}. （2）提示：不能，空集不是空集的真子集，但能说空集是任何非空集合的真子集. 【例2】　解：（1）A的子集为⌀，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为⌀，{0}，{1}. （2）B的子集为⌀，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}. 所以B的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6. 训练2　D　满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个. 提能点 【例3】　解：因为A⊆B，如图所示，此时B≠⌀， 所以即所以m不存在.即不存在实数m使A⊆B. 变式1　解：（1）当B＝⌀时，满足B⊆A， 此时m＋1＞2m－1，解得m＜2. （2）当B≠⌀，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m｜m≤3}. 变式2　解：（1）当B＝⌀时，满足B⊆A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2. （2）当B≠⌀，且B⊆A时，如图所示. 则 解得即2≤m＜3， 所以实数m的取值范围是{m｜m＜3}. 变式3　解：（1）当B＝⌀时，满足B⫋A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2. （2）当B≠⌀，且B⫋A时，如图所示. 所以或 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m｜m≤3}. 训练3　C　因为B⊆A，当a＝0时，B＝⌀，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}.故选C. 随堂自测 1.D　2.A　3.BC　 4.解：因为A⊆B，所以可分为A＝⌀和A≠⌀两种情况， 当A＝⌀时，－a＞a，解得a＜0； 当A≠⌀时，应满足解得0≤a≤2. 综上所述，实数a的取值范围是{a｜a≤2}. 【教材挖掘】 2　4　8 问题探究 1.提示：“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合中有n个元素，则该集合的子集个数为2n. 2.提示：子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 迁移应用 1.A　根据有n个元素的集合的真子集有（2n－1）个，集合A中有2个元素，得其真子集个数为22－1＝3.故选A. 2.7　解析：由{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23－1＝7，故集合M的个数为7. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $