第二十六章 二次函数 章末复习训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心知识，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，构建从概念理解到实际问题解决的完整路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|顶点式、增减性、对称轴等概念|单选题1-5直接考查定义与性质，填空题9-10强化表达式转换与图像交点计算| |能力提升|图像平移、几何图形结合|单选题6-8涉及新定义“互异二次函数”及动态几何，填空题11-12结合三角形与距离最值| |综合应用|实际问题与存在性探究|解答题15-19涵盖喷水轨迹、利润计算等情境，19题结合对称与面积存在性，发展模型观念与创新意识|

第二十六章 二次函数 一、单选题 1．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 2．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与轴交于点A、B，其顶点为．把这条抛物线在轴及其上方的部分记为，将向右平移得到与轴交于点的顶点为，连接．则图中阴影部分图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 5．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（    ） A．4， B．， C．4，0 D．， 7．如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 8．若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（     ） A．或 B． C． D． 二、填空题 9．二次函数的图象如图所示，则的面积为________． 10．将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 11．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 12．在平面直角坐标系中，，是两个动点（m，n为实数），则长度的最小值为________． 13．在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 14．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 三、解答题 15．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 16．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 17．2023年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． (1)求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； (2)问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 18．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 19．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D A D B B 1．A 【分析】已知二次函数为顶点式，可根据开口方向直接确定函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 2．D 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、函数中，反比例函数在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意； B、函数中，只有当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y随x的增大而增大，不符合题意； D、函数中，y随x的增大而减小，符合题意． 3．B 【分析】过点作于点，根据题意和平移的特点，可以发现图中阴影部分图形的面积等于矩形的面积，然后根据抛物线解析式可以求得和的长，然后即可得到矩形的面积，从而可以得到阴影部分的面积． 【详解】过点作于点，如图所示， 则阴影部分的面积等于四边形的面积， 当时，， 解得，， ， 根据解析式可得，该抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为，将向右平移得到，与x轴交于点B、D，的顶点为F， ， ， ， ， 四边形是矩形， 则矩形的面积是， ∴图中阴影部分图形的面积为4． 4．D 【分析】先根据抛物线对称轴公式求出的值，再整理得到一元二次方程，结合的非负性验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将代入方程得， 整理得， 设方程的两根为，， 则，， ∵， ∴． A、∵，不满足，故此选项不符合题意； B、∵，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，不满足，故此选项不符合题意； D、∵，，令，得，存在，符合条件，故此选项符合题意． 5．A 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 6．D 【分析】由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，结合正方形的性质可得，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，故只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值． 【详解】解：如图：由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动， ∵在正方形中，点，点， ∴， 从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点， ∴只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值， 当互异二次函数经过点时，， 解得或， 当互异二次函数经过点时，， 解得：或， ∴互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是，． 7．B 【分析】通过构造全等三角形，将的长度转化为关于线段长度的函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】解： 是等腰直角三角形，为中点， ， ， ， ， 过点作交直线于点， ， ， 又在 中，， ， 在 和 中 ， ， ， ， 设，则， 点在直线上，点在直线上，， ， 在 中，， ， 当时，取得最小值 4， 的最小值为2． 8．B 【分析】本题抛物线开口向上，先配方得到顶点坐标，再结合抛物线仅经过三个象限的条件，根据顶点纵坐标、与y轴交点纵坐标的限制求解a的取值范围； 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴； 令，得抛物线与y轴交点纵坐标为； 抛物线恰好只经过三个象限，开口向上时，需满足顶点在x轴下方（保证抛物线与x轴有两个交点），且与y轴交点在原点或x轴上方（保证抛物线只经过三个象限）， 因此列不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得，因此的取值范围是； 9．1 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 令，则，解得， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 10． 和 【分析】本题考查二次函数的表达形式变换、图像与坐标轴交点的求解、函数在指定区间内的取值范围，以及根据函数值范围反求自变量的取值范围． 将顶点式展开得一般式；令解方程求交点；根据抛物线开口向下及区间端点求出函数的取值范围；根据，函数取得最大值．确定时自变量取值范围． 【详解】解：二次函数； 当y=0时，解方程，得，，故交点坐标为和； 函数为开口向下的抛物线，顶点，在区间内， 当时，函数取得最大值． 当时：， 当时：， ∵当时，随增大而增大，此时， 当时，随增大而减小，此时， 综上所述：当时，函数的取值范围是， ∵，函数取得最大值． ∴，则自变量取值范围是． 故答案为： ；和；；． 11． 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 12． 【分析】先确定点在抛物线上运动，点在直线上运动，设与直线平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式为，联立方程利用判别式求出，再计算两条平行线之间的距离，即可得到长度的最小值． 【详解】解：点的坐标为， 点是抛物线图象上的一点， 同理，点坐标为，点是直线图象上的一点， 设与直线平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式为， 如图，设直线与抛物线交于点A，直线与x轴，y轴交于点B，D，过点A作于点C，则点，长度的最小值为的长， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 联立得：， 即， ∴，解得， ， 解得：， ∴点， ∴， ∴．， 即长度的最小值为． 13． 【分析】根据抛物线顶点式得到顶点坐标，利用抛物线对称性得到与顶点坐标的关系，结合等腰直角三角形的性质得到，再利用抛物线过原点的条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线过原点，与轴交于另一点，且与不重合， ∴，关于对称轴对称， 可得点坐标为，， ∵是等腰直角三角形，直角顶点只能为， ∴斜边上的高等于斜边的一半，斜边上的高为，可得，即， ∵抛物线过原点， 将代入抛物线解析式得，，即， 将代入上式得， ∵， 若则顶点在原点，与重合，不符合题意， ∴等式两边同时除以得． 14． 【分析】先求出抛物线顶点A、点B、点C的坐标，根据点A在BC的垂直平分线上得到，确定直角顶点为A，利用等腰直角三角形的性质求出的值，再用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：将代入得， 因此， 抛物线的对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式得顶点的纵坐标为， 因此， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 若为直角三角形，则直角顶点只能为， 如图，设中点为，连接， 则，， 由等腰直角三角形性质得， 即， 整理得， 当时，，此时三点重合，舍去， 因此，所以，即， 由勾股定理得， 代入得． 15．(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 16．(1)是， (2)0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 17．(1)6000元 (2)第15天该网络销售平台的利润最大，最大利润是12500元 【分析】（1）根据图象得第30天的成本，求出此时的产量，然后求出该天的利润； （2）首先表示出，设第天该网络销售平台的利润为元，分类讨论，结合一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第30天时的成本为500元， 此时的产量为（台）， ∴第30天的利润为：（元）； （2）解：设线段的表达式为， 把，代入得，， 解得， 线段的解析式为， ，其中为整数， 设第天该网络销售平台的利润为元， ①当时， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，； ②当时， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：第15天的利润最大，最大利润为12500元． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 19．(1)， (2)存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或 【分析】将代入，即可得点的坐标，将代入，即可得点的坐标； 由点的坐标，可得的面积与抛物线的对称轴，从而得的面积及D点坐标，得，再根据的面积即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； （2）解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $