5.2.1 三角函数的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学三角函数概念核心知识点，系统梳理从任意角三角函数的单位圆定义与终边上点坐标定义，到定义域、值域及各象限符号规律，再到诱导公式一的逻辑脉络，构建从定义到性质再到应用的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过定义抽象培养数学眼光，题型分层设计发展数学思维，符号口诀与公式应用强化数学语言。例如用“一全正、二正弦”口诀简化符号记忆，诱导公式例题将任意角转化为0-2π角培养转化思想。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与综合练习帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

5.2.1 三角函数的概念 知识点一、任意角的三角函数 1.利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，. 2.利用角的终边上点的坐标定义任意角的三角函数 设点P(x,y)为角终边上任意一点，点P与原点的距离为r（）, 则. 知识点二、三角函数的定义域、值域和函数值的符号 1.三角函数的定义域、值域 三角函数 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] R 2.各象限内三角函数值的符号 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 知识点三、诱导公式一 1.由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，由此可得到诱导公式一. 其中 其中 2.诱导公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值. 题型一：利用定义求任意角的三角函数值 例1.（1）若角α的终边经过点P（﹣1，2），则tanα＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 解：因为角α的终边经过点P（﹣1，2），则tanα2．故选：D． （2）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（　　） A． B． C． D． 解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x＝﹣3，y＝4，r＝5，∴sinα，故选：C． （3）已知角θ的终边上有一点P（a，2a），a＜0，则cosθ的值是（　　） A． B． C． D． 解：由已知可得x＝a，y＝2a，则r，又a＜0，所以r，则cos．故选：C． 例2.（1）(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝，则x的值为(　　) A． B．－1 C．1 D. 解：|OP|＝，∵sin α＝＝＝，解得x2＝1，∴x＝±1.故选：BC. （2）若角α的终边经过点P(x，－3)且cos α＝，则x的值为 . 解：|OP|＝，∴cos α＝＝＝，解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1. 故答案为：－1. 跟踪训练： 1.（1）在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OA，已知点 ，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 解：由题意，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OA，点，可得．故选：A． （2）已知角α终边经过点P（﹣3，4），则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为 r＝5，由任意角的三角函数的定义得 cosα．故选：B． （3）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4）， 则sinα＝（　　） A． B． C． D． 解：∵角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4），∴sinα．故选：A． 2.角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，cos θ的值． 解：方法一：设角θ的终边与单位圆交于点P(x，y)，联立 解得：或，即点P坐标为或， 当点P坐标为时，sin θ＝，cos θ＝， 当点P坐标为时，sin θ＝，cos θ＝. 方法二：①若θ的终边在第一象限内，设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝a， 所以sin θ＝，cos θ＝. ②若θ的终边在第三象限内， 设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝a(a<0)， 所以sin θ＝， cos θ＝. 题型二：三角函数值符号的应用 例1.若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．故选：C. 例2.已知sinα＞0，cosα＞0，则角α的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：根据sinα＞0，可判断出α为一、二象限角或y轴正半轴，根据cosα＞0，可判断出α为一、四象限角或x轴正半轴，综合可知α为第一象限角．故选：A． 例3.对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ 为第三象限角的充要条件为（　　） A．①③ B．④⑥ C．②③ D．②⑤ 解：假设θ为象限角 则①sinθ＞0，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sinθ＜0，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cosθ＞0，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cosθ＜0，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tanθ＞0，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tanθ＜0，则θ为第二象限角或θ为第四象限角．故选：D． 跟踪训练： 1.已知cosθ•tanθ＞0，那么角θ是（　　） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角 解：由cosθ•tanθ＞0，可知cosθ•tanθ同号， 当cosθ＞0，tanθ＞0时，θ为第一象限角， 当cosθ＜0，tanθ＜0时，θ为第二象限角，则θ为第一、二象限角．故选：A． 2.(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A．sin(－100°) B．cos(－220°) C．tan 10 D．cos π 解：－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0； 10∈在第三象限，故tan 10>0，cos π＝－1<0.故选：ABD. 3.若sinαtanα＞0，且cosαtanα＞0，则角α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：∵，又∵sinαtanα＞0，∴tanα＞0，因此角α为第一象限角．故选：A． 4.如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，∴，∴角θ所在的象限是第四象限. 故选：D． 题型三：诱导公式一的应用 例1.（1）sin405°＝ . （2）tan＝ . （3）cos750°＝ . 解：（1）sin405°＝sin(360°+45°)＝sin45°＝. （2）tan＝tan＝tan＝. （3）cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝. 故答案为：，，. 例2.计算下列各式的值： （1）sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； （2）sin＋costan 4π. （3）. 解：（1）原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝. （2）原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝. （3）原式 . 跟踪训练： 1.下列三角函数值的符号正确的有() A. B. C. D. 解：A：. B：. C：. D：.故选：AC. 2.计算下列各式的值： （1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°； （2）sin ＋tan. （3）. 解：（1）原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. （2）原式＝sin＋tan＝sin ＋tan＝＋1. （3）原式 . 1.知角θ的终边过点P（﹣12，5），则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 解：∵角θ的终边过点P（﹣12，5），则tanθ，故选：A． 2.(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0， 所以θ在第一象限或第三象限．故选：AC. 3.sin2cos3的值（　　） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解：因为2弧度，3弧度在第二象限，所以sin2＞0，cos3＜0∴sin2cos3＜0故选：A． 4.下列结论不正确的是（　　） A．sin2＞0 B．cos200°＜0 C．tan200°＞0 D．tan（﹣3）＜0 解：∵，∴2为第二象限角，∴sin2＞0，因此A正确； ∵180°＜200°＜270°，∴200°为第三象限角，∴cos200°＜0，tan200°＞0，因此B、C正确； ∵，∴﹣3为第三象限角，∴tan（﹣3）＞0，因此D错误．故选：D． 5.计算：sin ＋cos＋tan＝ . 解：原式＝sin＋cos＋tan＝sin ＋cos ＋tan＝＋＋1＝2. 故答案为：2. 6.若点P（x，y）是120°角终边上异于原点的一点，则的值为 . 解：角α的终边为点P（x，y），α＝120°，在第二象限，∴， ∵tan120°．则.故答案为：. 7.点P(tan 2 020°，cos 2 020°)位于第 象限． 解：因为2 020°＝5×360°＋220°，所以2 020°的终边与220°的终边相同， 又220°是第三象限角，所以tan 2 020°>0，cos 2 020°<0，即点P位于第四象限． 故答案为：四. 8.已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝ . 解：因为r＝， ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．sin α＝＝＝，cos α＝＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝，cos α＝＝. 所以2sin α＋cos α＝＋＝－1. 故答案为：1或－1. 1.若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是（　　） A． B． C． D． 解：OP，∴点P在单位圆上，∴， 得．故选：A． 2.代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　) A. B. C. D. 解：由诱导公式－可得，sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝× ＝ . 故选：B. 3.sin（）的值是（　　） A． B． C． D． 解：sin（）＝﹣sinsin（3π）＝﹣sin（π）＝sin．故选：A． 4.（多选）若sinα•cosα＜0，则α终边可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：因为sinα•cosα＜0，则角α可能在第二象限或在第四象限.故选：BD． 5.角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（，y），且cosα，则y的值为（　　） A．3 B．1 C．±3 D．±1 解：∵角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（，y），且cosα，∴ ∴y2＝9∴y＝±3故选：C． 6.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0 C．tan>0 D．tan >0 解：cos(－280°)＝cos(－360°＋80°)＝cos 80°>0； sin 500°＝sin(360°＋140°)＝sin 140°，90°<140°<180°，∴sin 140°>0； tan＝tan＝tan ，∈，∴tan >0； tan ＝tan＝tan ，∈，∴tan >0. 故选：BCD. 7.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是 象限角. 解：∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ是一正一负，又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0， 综上有sin θ<0，cos θ>0，即θ为第四象限角．故答案为：四. 8.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（3，﹣6），则sinα+cosα ＝　 　． 解：根据题意可知，角α的终边过点（3，﹣6），则x＝3，y＝﹣6，计算半径， 根据三角函数定义，故． 故答案为：． 9.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 　． 解：由cos α≤0，sin α>0可知，则，解得－2<a≤3.故答案为：(－2,3]. 10.△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是 　． 解：在△ABC中，A，B，C∈(0，π)， ∵sin A>0，∴cos B·tan C<0，∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形． 故答案为：钝角三角形. 11.在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为，则sinα﹣cosα＝ 　． 解：因为在单位圆中，角α的终边与单位圆的交点为，所以， 所以可得．故答案为：． 12.函数y＝的定义域是 　． 解：由sin x≥0，－cos x≥0，得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角， 所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.故答案为：. 13.函数y＝的值域是 　． 解：依题意，角x的终边不在坐标轴上， 当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3， 当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1， 当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1， 当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，综上有值域为{－1,3}． 故答案为：{－1,3}． 14.已知角的终边上一点，求的各三角函数值. 解：因为点的坐标是且， 所以点到原点的距离. 由于的取值不同，角的终边位置不同，其三角函数值一般也不同，应对分和两种情况讨论. 当时，，； 当时，，. 15.化简下列各式： （1）sin ＋cos ＋cos(－5π)＋tan . （2）sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)+tan(-1380°) （3）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°. 解：（1）原式＝sin ＋cos ＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1. （2）原式＝sin(360°+60°)cos(2×360°+30°)+sin(-2×360°+30°)cos(-2×360°+60°) +tan(-4×360°+60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan60°＝×＋×+=1+. （3）原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. 16.已知角的终边上的点与点关于轴对称()，角的终边上的点与点关于直线对称，求的值. 解：由题意可知， 则，，. 由题意可知， 则，，. 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.1 三角函数的概念 知识点一、任意角的三角函数 1.利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，. 2.利用角的终边上点的坐标定义任意角的三角函数 设点P(x,y)为角终边上任意一点，点P与原点的距离为r（）, 则. 知识点二、三角函数的定义域、值域和函数值的符号 1.三角函数的定义域、值域 三角函数 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] R 2.各象限内三角函数值的符号 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 知识点三、诱导公式一 1.由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，由此可得到诱导公式一. 其中 其中 2.诱导公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值. 题型一：利用定义求任意角的三角函数值 例1.（1）若角α的终边经过点P（﹣1，2），则tanα＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 （2）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（　　） A． B． C． D． （3）已知角θ的终边上有一点P（a，2a），a＜0，则cosθ的值是（　　） A． B． C． D． 例2.（1）(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝，则x的值为(　　) A． B．－1 C．1 D. （2）若角α的终边经过点P(x，－3)且cos α＝，则x的值为 . 跟踪训练： 1.（1）在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OA，已知点 ，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． （2）已知角α终边经过点P（﹣3，4），则cosα的值为（　　） A． B． C． D． （3）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4）， 则sinα＝（　　） A． B． C． D． 2.角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，cos θ的值． 题型二：三角函数值符号的应用 例1.若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例2.已知sinα＞0，cosα＞0，则角α的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3.对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ 为第三象限角的充要条件为（　　） A．①③ B．④⑥ C．②③ D．②⑤ 跟踪训练： 1.已知cosθ•tanθ＞0，那么角θ是（　　） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角 2.(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A．sin(－100°) B．cos(－220°) C．tan 10 D．cos π 3.若sinαtanα＞0，且cosαtanα＞0，则角α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4.如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：诱导公式一的应用 例1.（1）sin405°＝ . （2）tan＝ . （3）cos750°＝ . 例2.计算下列各式的值： （1）sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； （2）sin＋costan 4π. （3）. 跟踪训练： 1.下列三角函数值的符号正确的有() A. B. C. D. 2.计算下列各式的值： （1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°； （2）sin ＋tan. （3）. 1.知角θ的终边过点P（﹣12，5），则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 2.(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.sin2cos3的值（　　） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 4.下列结论不正确的是（　　） A．sin2＞0 B．cos200°＜0 C．tan200°＞0 D．tan（﹣3）＜0 5.计算：sin ＋cos＋tan＝ . 6.若点P（x，y）是120°角终边上异于原点的一点，则的值为 . 7.点P(tan 2 020°，cos 2 020°)位于第 象限． 8.已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝ . 1.若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是（　　） A． B． C． D． 2.代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　) A. B. C. D. 3.sin（）的值是（　　） A． B． C． D． 4.（多选）若sinα•cosα＜0，则α终边可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（，y），且cosα，则y的值为（　　） A．3 B．1 C．±3 D．±1 6.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0 C．tan>0 D．tan >0 7.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是 象限角. 8.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（3，﹣6），则sinα+cosα ＝　 　． 9.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 　． 10.△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是 　． 11.在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为，则sinα﹣cosα＝ 　． 12.函数y＝的定义域是 　． 13.函数y＝的值域是 　． 14.已知角的终边上一点，求的各三角函数值. 15.化简下列各式： （1）sin ＋cos ＋cos(－5π)＋tan . （2）sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)+tan(-1380°) （3）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°. 16.已知角的终边上的点与点关于轴对称()，角的终边上的点与点关于直线对称，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $