5.2 三角函数的概念题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数的概念与同角三角函数基本关系，系统梳理三角函数值符号（含记忆口诀）、单位圆定义、公式一，以及平方关系、商数关系等核心知识，构建从定义理解到符号判断再到关系应用的学习支架。 资料通过分类题型训练（如已知坐标求函数值、终边在直线上的问题等），结合详细解析与记忆口诀，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

5.2三角函数的概念 ●知识梳理 一、三角函数值的符号 三角函数在不同象限的符号如下图： sina cosa tang 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 二、三角函数的定义 1.在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.如图所示，设a是一个任意角，a∈R,它的终边OP与单位圆交于点Px,y),那 么， P(x,y) 4(1,0) 〔1)把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即y=sina, (2)把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa, (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值关叫做&的正切函数，记作ana，即 y=tanax≠0. 要点诠释：三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计 X 算点到原点的距离r=X+y2，那么sinc= ycosa= y ytana-y 。 三、公式一 1.终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sina+k·2π=sina cosa+k·2π=Cosa, tana+k:2π=tana, 其中k∈Z. 题型训练 题型一已知坐标，求三角函数值 1已知角如的终边与单位圆交于点(-，3 2,2,则sinc的值为() 2.已知角a的终边经过点(-4,3)，则cosa() AB. cD. 3.已知角的终边与单位圆的交点为M( 2,y),则sina等于() D.±2 4.已知角a的终边过点(3，-4)，求Q的正弦、余弦、正切值. 5.已知点P(3m,-2m(m<0)在角c的终边上，求sina,cosa,tana. 6.已知角c终边上一点P的坐标为(4a,3a),求2sina+cosc的值. 题型二已知三角函数值，求坐标 1已知角c的终边上一点m,3,且cos=-手，则实数m的值为（) A.4B.-4 C.±4 D.±5 2.己知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(-3,m)是角终边上 的-点，且sin9=V 13,则m的值为？ 3.已知a是第二象限角，P(x,5为其终边上一点，且os-=2 x,则x等于() A.3B.-3C.-2D.V2 题型三角度与函数值正负的关系 1.下列三角函数值结果为正的是() -2π A.cos100 B.sin 700 C.tan D.sin-9n 4 2.sin2·cos3·tan4的值（) A.小于0B.大于0 C.等于0 D.不存在 3.已知点P(sina-cosa,tanc)在第三象限，则角a的终边在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.已知角a=2a-号，若角0与角a终边相同，则lcos日L+s1n8+an9 cos8sin6tan9的值为？ 5.已知sina>0,cosa<0,则a的终边在第几象限() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 题型四角的终边在直线上 1.已知角a的终边在直线y=2x上，分别求出sina,cosa及tana的值. 2.若角a的终边落在直线x+y=0上，则 sin a cos a sina cosa 的值为？ sin cos4的值为？ 3.已知角a的终边落在直线y=-3x(x<0)上，则si cos& 同角三角函数的基本关系 ●知识梳理 一、同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin a+cos2a=1 同一个角Q的正弦、余弦的平方和等于1 sina 商数关系 =tancosa≠0 同一个角α的正弦、余弦的商等于角Q的正 cos a 切 特别提醒： (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意” 一个角“在使函数有意义的前提下”关系式都成立，如sin3a+cos23a=1成立，但是 sina+cos2B=1就不一定成立. (2)sina是sina?的简写，读作“sina的平方”，不能将sina写成sinc2,前 者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能 正确书写. 2.同角三角函数的基本关系式的变形公式 sin2a=1-cos2a cos a=1-sin a sin2a+cos2a=1→ sina=±V1-cos2a cosa=±1-sin2a sina±cosa'=1±2 sin a cos a sing=tan a cosa sina =tanacosa≠0→ cos a cosa=sina tana 二、特殊角的三角函数值表 角度a 0° 30° 45° 60 90° 120° 1359 150° 180° 270 0 T 2不 3元 5π 3π 弧度a 6 4 3 2 3 4 6 2 sin a 1 V2 √3 v3 V② 1 0 -1 2 2 2 2 cosa 1 √3 V2 0 1 √2 v3 2 2 -1 2 2 2 2 tan a 0 V3 1 /3 -√/ -1 0 3 不存在 3 不存在 题型训练 题型一已知一函数值，求另外两个函数值 3 1.已知cosa=弓，求sina和ana, 2.已知tana=2,且a是第三象限角，求sina,cosa的值. 3.已知tana=3,求下列各式的值. 4sina-cosa sin2a-2sin a cos a-cosa (1)3sing+5cosa' 2) 4cosa-3sin a 3) sina+sin a cos a 4.已知c∈ 2,sina=4 ,则cosa等于（) n.目 5.已知a是第三象限角，sima三)，求cos& 题型二已知象限角，化简 2sina cosa 1.若o为第三象限角，则1-c0s。1-sin7a的值为（） A.3B.-3 C.1 D.-1 √1-2sin130cos130 2.化简： sin130°+1-sin2130 答案 题型训练 题型一已知坐标，求三角函数值 1。已知布的终边与单位园父于点一多，盟。则血的信为《) A 3 C.2 答案：C 详解：单位圆上点的坐标为(x,y),r=x2+y2=1则sina=二。 已知交点为 (盟.成n®=要 2 2.已知角a的终边经过点(-4,3)，则cosa() A. B.3 c是D. 答案：D 详解：由三角函数定义，c0sa=,其中r=父+。代入x=-4,y=3,得 -4 r=-42+32=5,故cosa= 5 3.已知角c的终边与单位圆的交点为M2y,则sinα等于() 4.2 B.2 c.-2 答案：D V2 详解：单位圆方程为x+y,将x=代入，解得y=±号。 由sina= 2 x+y,得sina=± 2 4.已知角a的终边过点(3，-4)，求α的正弦、余弦、正切值. 答案：na=手sa-是ama=者 r5,cosa=X=3 详解：先求r=32+(-4了=5。根据定义：sina=Y=-4 r5’ tana=y=二4 X3° 5.已知点P(3m,-2m)(m<0)在角c的终边上，求sina,cosa,tana. 答案：sina= 2V13 13” cosa=- V13 13’ tana=-2 3 详解：r=(3m+(-2m-13m2=-V13m(因m<0). 则sina='=-2m=2/13 cosa=X=3m=-3/13 r-13m13’ r-V13m13’ ana-Y--2m--2 x3m39 6.已知角a终边上一点P的坐标为(4a,3a),求2sina+cosa的值. 答案政 详解：r=4a+(-3a=51al。当a>0时，r=5a,sina=3a=-3 5a , =40=4 342 cosa=5a-5' 原式=25+5= 当a<0时，r=-5a,sin&=-3a=3 -5a5,C0sa= 4a=-4 -5a5' 原式2君引-号 42 题型二已知三角函数值，求坐标 1.已知角c的终边上一点(m,3),且cosa=- 4 则实数m的值为() A.4B.-4C.±4D.±5 答案：B 详解：r=m+3,cosa=g-手，故m<0. 平方得。8解得m6,即m=一4 2.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(-3,m)是角0终边上 的一点，且sin0=3 13,则m的值为？ 答案：月 详解：r=-3+m2-3+m,sin0=”=国 1 ,=13。平方得3+m3:解得 m=子因sin9>0,故m=克 3。已知a是第二象限角，P(x,G)为其终边上一点，且0s=2 x,则x等于() A.3B.-V3C.-2D.V2 答案：B 详解：r=+5,co5a=-2 。因Q是第二象限角x<0,两边约去X得 12 X2+54,解得x2=3,故x=-3。 题型三角度与函数值正负的关系 1.下列三角函数值结果为正的是() A.cos100 B.sin 700 C.tan-2n 3 D.sin-9n 4 答案：C 详解：A.100在第二象限，cos100°<0： B.700°=2×360°.20，终边在第四象限，故sin700°<0： C.一子T终边在第三象限，an27 3>0: D.。一2m-芹终边在第四象，n。 4<0。 2.sin2cos3tan4的值（) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 答案：B 详解：了<2<π，第二象限，则sin2>0; 号3<，第二象限，则os3<0 <4<3, 第三象限，则tan4<0 三者相乘：正×负×负=正，故大于0。 3.已知点P(sina-cos,tanc)在第三象限，则角a的终边在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D,第四象限 答案：B sina-cosa<0 详解：由P在第三象限得 tana<0 。tana<O说明a在第二或第四象限： sina-cosa<0即sina<cosa,第二象限中sina>0,cosa<0,满足条件，故a在 第二象限。 4已知角a=-2-号若角0与终边相同，则9m9a可的值为 cos01 sine ,tanθ 答案：-1 详解：α终边在第四象限，故θ也在第四象限。 cos0>0,sin0<0,tan<0 原式 cos0+sin0+tan0=1+-1+-1=-1. cos0 -sin -tan 5.已知sina>0,cosa<0,则a的终边在第几象限（) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D,第四象限 答案：B 详解：sina>0说明终边在第一、二象限：cosa<0说明终边在第二、三象限，交 集为第二象限。 题型四角的终边在直线上 1.已知角a的终边在直线y=2x上，分别求出sina,cosa及tana的值. 答案：当c在第一象限时，sina=25 ，cosa= 9 5,tang=2; 当在第三象限时，sina=- 2V5 5，c0sa= 5，tana=2 详解：取终边上一点(1,2)（第一象限），r=V1+4=5,得对应三角函数值 2V5 sina= 5，Cosa= 5,tanc=2; 取(-1，-2)（第三象限），r=1+4=5,得另一组值，sina= 2V5 5, cosa=- 5 5, tana=2 2.若角Q的终边落在直线x+y=0上，则 1 sinal+cosc的值为？ sina cosa 答案：0 详解：直线x+y=0即y=-x,终边在第二、四象限。 第二象限：sina>0,cosa<0,原式=1-1=0： 第四象限：sina<0,cosa>0,原式=-1+1=0。 3.己知角a的终边落在直线y=-3x(x<0)上，则sin cos& sina cosa 的值为？ 答案：-1 详解：x<0时，取终边上一点-1,3，sina=i >0,o5a=710 3 -1<0 故sin@cosa<0。原式=smnacosc=-1。 同角三角函数的基本关系 ·知识梳理 一、同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin a+cos a=1 同一个角Q的正弦、余弦的平方和等于1 sing 商数关系 =tanacosa≠0 同一个角的正弦、余弦的商等于角Q的正 cosa 切 特别提醒： 〔1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意” 一个角“在使函数有意义的前提下”关系式都成立，如sin3a+cos23c=1成立，但是 sina+cosB=1就不一定成立. (2)sina是sina2的简写，读作“sinc的平方”，不能将sina写成sina2,前 者是&的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能 正确书写. 3.同角三角函数的基本关系式的变形公式 sin2a=1-cos2a cos a=1-sina sin2a+cos2=1→ sina=±/1-cos2a cos a=-±V1-sin2a sina±cosc=1±2 sina cos a sina=tan a cos a sina sina cos a cosa= tan a 二、特殊角的三角函数值表 角度a 0° 30° 45° 60 90 120° 1359 1509 180 270 0 T 2π 3元 5π 3π 弧度a 6 4 3 2 3 4 6 2 sin a 1 ② √ 3 ② -1 2 0 2 2 2 2 cosQ 1 √3 V2 0 1 V2 √ -1 0 2 2 2 2 2 tan a 0 3 1 √ 不存在 -v3 -1 0 3 不存在 题型训练 题型一已知一函数值，求另外两个函数值 1.已知cosa=- 5,求sina和tan&, 答案：sina=t4 tana=于4 详解：由sin2a+cos2a=1,得sina=±1-(-3}= 59 当c在第二象限时，sina= 5,tana=sina=4 cosa 第三象限时，sina=-4 ,tana=sina4 cosa 3 2.已知tana=2,且c是第三象限角，求sina,cosa的值. 答案：sina=-2 g,c05a=-5 5 详解：ana=snc=2,即sina=2cosa。 coS 代入sin2a+cosa=1得4cos2a+cos2a=1,cos2a= 5° 因c在第三象限，所以cosa=- 5， 故sina=2cosa= 2V5 5。 3.已知tan=3,求下列各式的值. 4sina-cosa sin2a-2 sin a cos a-cos2a (1)3sina+5cosa' (2) 4cosa-3sin2a (3) sin2a+sin a cos a 答案：品2者B唱 11 4 详解： 4sina-cosa 4tana-14x3-1_11 (1)分子分母同除以cosa: 3sina+5cosa 3tana+5 3x3+5 14i (2)同除以cosa: sin2a-2sinacosa-cos2a_tan'a-2tana-1-9-6-1=-4 4 cos a-3sin a 4-3tan a 4-271 23 (3)分母补sina+cos2a(值为1，不改变原式大小)，再同除以cos2a: sin a+sina cosa_tan a+tana_9+36 sin a+cosa tana+19+15 4 4.已知a∈ 2,n,sinc=5,则cosa等于() A昌 3 B.- c君D. 答案：B 详解：a在第二象限，cosa<0。由平方关系得cosa= 3 5.已知c是第二象限角，sina= 2， 求cos. 答案：月 详解：第二象限cosa<0,c0s=-1-6ina=-1-(3P=- 题型二已知象限角，化简 os&的值为（) 1,若a为第三象限角，则1-cos2a1-sina A.3B.-3C.1D.-1 答案：B 详解：第三象限sina<0,cosa<0。 1-cos2a=sina|=-sin a, 1-sin2a=lcosa|=-cosa. 原式= 2sinQ+cosc=-2-1=-3。 -sin a cos a 1-2sin130°cos130 2.化简： sin130°+1-sin2130 答案：1 详解： 1-2sin130°cos130 =sin2130+cos2130-2sin 130'cos 130 -sin130°-cos1307 因130在第二象限，sin130>0,cos130°<0，所以sin130°-cos130°>0 故sin130°-cos1307=sin130°-cos130 1-sin2130=cos2130'=-cos 130 原式 sin130-c0s130-1 sin130°-cos130