25.2.2 公式法（第2课时）—— 根的判别式 （分层同步练习·反思性作业单） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“一元二次方程根的判别式”，以三阶分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|判别式计算、根的情况判断、简单参数范围|12题基础题，直接应用Δ=b²-4ac，强化符号与根的对应关系，如判断方程x²-4x+4=0根的情况| |能力提升|含参数方程根的综合应用、几何情境融合|5题选做题，结合方程根的情况求参数并解方程，如用判别式判断三角形形状，发展推理能力| |拓展探究|代数几何综合、判别式证明不等式|3题挑战题，涉及等腰三角形边长求解、不等式证明，如证明x²+kx-1=0恒有两不等实根，提升创新意识|

25.2.2 公式法（第2课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①把b²-4AC叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示。 ②Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔有两个相等的实数根；Δ<0⇔没有实数根。 ③判别式只适用于一元二次方程，使用前须保证二次项系数不为0。 2. 与本节课相关的旧知识：求根公式、平方根、不等式。 3. 预习时遇到的疑问：为什么Δ<0就没有实数根？Δ=0时为什么说是“两个相等的实数根”而不是一个根？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①忘记二次项系数不为0这个前提，直接讨论判别式。 ②把Δ的符号与根的情况对应颠倒。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 一元二次方程x²-2x+1=0的Δ=____，它有两个____的实数根。 2. 方程x²+x+1=0的Δ=____，它____实数根。 3. 方程x²-3x=0的Δ=____，它有两个____的实数根。 4. 若方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m____。 5. 方程2x²+3x+1=0的根的情况是____。 6. 当Δ=0时，方程有两个____的实数根。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 一元二次方程x²-4x+4=0的根的情况是（　）A.两个不等实根　B.两个相等实根　C.无实根　D.无法判断 2. 下列方程中，有两个不相等实数根的是（　）A.x²+1=0　B.x²+2x+1=0　C.x²-x-1=0　D.x²+x+2=0 3. 方程2x²+3x-5=0的根的情况是____。 4. 若关于x的方程x²+2x+k=0有两个相等的实数根，则k=____。 5. 若方程mx²-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____。 6. 方程x²-2√2x+2=0的根的情况是____。 7. 若方程x²-2x-m=0无实数根，则m的取值范围是____。 8. 不解方程，判断方程3x²+2x-4=0的根的情况。 9. 关于x的方程(k-1)x²+2x-2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 10. 方程x²+1/2x+1=0的根的情况是____。 11. 若关于x的一元二次方程x²+px+q=0有两个相等的实数根，则p、q满足的关系是____。 12. 证明：方程x²+kx-1=0必有两个不相等的实数根。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知关于x的方程x²-2x+m=0。(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求m及此时的根。 解： 2. 若关于x的一元二次方程(a-1)x²+2x+a²-1=0的常数项为0，求a的值，并判断此时方程根的情况。 解： 3. 已知a、b、c为△ABC的三边，且关于x的方程x²-2cx+a²+b²=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。 解： 4. 若关于x的方程mx²-(2m+1)x+m=0有实数根，求m的取值范围。 解： 5. 求证：不论m取何值，方程x²+mx-m-1/2=0总有两个不相等的实数根。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 已知关于x的方程x²-(2k+1)x+k²+k=0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB、AC的长是该方程的两个根，第三边BC=5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 解： 2. 阅读：利用判别式可以证明不等式。求证：对任意实数x，二次三项式x²+x+1>0恒成立。 解： 3. 若关于x的方程x²+2(a+1)x+2a+1=0有且只有一个小于1的正数根，求a的取值范围。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 某农场拟建一个面积为120m²的矩形养鸡场，它的长比宽多2m。请通过列方程并用判别式判断：这样的养鸡场是否一定存在？说明理由。 解： 2. 一工厂今年产值500万元，计划后年产值达到720万元，设年平均增长率为x，列出方程并用判别式判断方程是否有正数解。 解： 3. 要设计一个等腰三角形零件，使其底边长为8cm，面积为20cm²，问是否存在这样的三角形？用判别式说明。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 25.2.2 公式法（第2课时）参考答案 一、自习前置速忆 Δ=b²-4ac：>0两不等根；=0两相等根；<0无实根。 二、基础随堂自检 1.0，相等　2.-3，没有　3.9，不等　4.<1　5.两个不等实根　6.相等 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.B　2.C　3.两个不等实根　4.k=1　5.m<1且m≠0　6.两个相等实根　7.m<-1　8.Δ=52>0，两不等实根　9.k>3/2且k≠1　10.无实数根　11.p²=4q　12.Δ=k²+4>0 ★★ 能力提升 1.(1)m<1；(2)m=1，x₁=x₂=1　2.a=-1，Δ=8>0两不等根　3.直角三角形　4.m≥-1/4　5.Δ=(m+1)²+1>0 ★★★ 拓展探究 1.(1)Δ=1>0；(2)k=4或k=5　2.Δ=-3<0且开口向上，故恒正　3.-1<a<-1/2 五、学以致用 1.x(x+2)=120→x²+2x-120=0，Δ=484>0，存在　2.500(1+x)²=720，Δ>0有正解　3.h=5，由勾股定理解得腰²=41>0，存在 学科网（北京）股份有限公司 $