25.2.2公式法分层训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖公式法解一元二次方程全流程，从基础概念到综合应用再到创新探究，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础必做|一元二次方程一般形式、判别式计算、求根公式步骤|含流程图题（第5题），强化公式法程序性知识，培养推理意识| |提升必做|根的情况判断、实际问题建模、错误分析|新运算定义（第16题）与运动问题（第25题），提升综合应用能力，发展模型意识| |拓展选做|新定义“公式坐标”、动态几何面积问题|探究性问题（第27题）与动点问题（第28题），激发创新思维，体现数学眼光|

九年级数学 · 25.2 降次——解一元二次方程 公式法 · 分层训练 25.2降次——解一元二次方程 公式法 分层训练· 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．将方程 化为一元二次方程的一般形式后，，， 的值分别是（ ） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程，一般要经历以下步骤：①计算判别式；②化为一般形式并确定 ；③根据判别式判断根的情况；④当判别式不小于0时，代入求根公式。正确的顺序是（ ） A．①②③④ B．②①④③ C．②①③④ D．②③①④ 3．解方程 时，代入求根公式后正确的是（ ） A． B． C． D． 4．方程 的实数根情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．如图是“公式法”解一元二次方程的流程图，框①中应填（ ） （第5题图） A． B． C． D． 6．小华解方程 ，算得 ，随后继续把 当作实数代入求根公式。错误原因是（ ） A． 的值确定错误 B．判别式计算错误 C． 时方程在实数范围内无解 D．求根公式的分母应为 二、填空题（共 4 题） 7．对于一元二次方程 ，当 时，求根公式为 x＝____________________。 8．关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ＝____________。 9．方程 的根为 ____________________。 10．关于 的方程 没有实数根，则 的取值范围是____________________。 三、解答题（共 4 题） 11．用公式法解下列方程： （1） （2） 12．某一元二次方程用公式法求根时，代入求根公式后（尚未约分）得到 。 （1）确定这个方程的一般形式中 的值； （2）写出这个一元二次方程，并求出它的两个根。 13．已知关于 的方程 。 （1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求此时的根。 14．某校制作一块矩形展示牌，内芯长12 cm、宽8 cm，四周镶上同样宽的边框。成品总面积为192 ，设边框宽为 cm。 （1）列出关于 的一元二次方程； （2）用公式法求边框的宽。 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．已知某一元二次方程用公式法求根时，，，，则该方程的根为（ ） A． B． C． D． 16．定义新运算“★”：。若 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 17．对于一元二次方程 ，只添加下列哪一个条件，就能判定方程一定有两个不相等的实数根（ ） A． B． C． D． 18．方程 的较大实数根所在的范围是（ ） A． B． C． D． 五、填空题（共 4 题） 19．方程 的根为 ＝____________。 20．关于 的方程 的判别式恒等于________，因此该方程有________________________。 21．某物体运动高度（单位：m）与时间 （单位：s）的关系为 。当物体高度为15 m时，＝____________________。 22．关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ＝____________。 六、解答题（共 4 题） 23．小明用公式法解方程 ，过程如下：① ，，；② ； ③ ，所以 ，。 （1）指出从哪一步开始出现错误，并说明原因；（2）写出正确的解答过程。 24．已知关于 的方程 。 （1）求方程有两个不相等实数根时 的取值范围； （2）若 为满足（1）的最大负整数，用公式法解此时的方程。 25．将一个小球竖直向上抛出， s 后小球离地面的高度（单位：m）可近似表示为 。 （1）当小球离地面13 m时，用公式法求 ； （2）小球第一次到达13 m高处是在抛出后多少秒？ 26．如图，一块矩形菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成。与墙平行的一边上留有两扇各1 m宽的门（门处不使用木栏）。现有34 m木栏，菜地面积为120 。设垂直于墙的一边长为 m。 （1）列出关于 的一元二次方程； （2）用公式法求菜地可能的长和宽。 （第26题图） 第三部分（选做·附加） 27．【阅读探究】对于一元二次方程 ，当 时，定义，，把有序数对 称为该方程的“公式坐标”。由求根公式可知，两根可表示为 。 （1）求方程 的“公式坐标”； （2）若方程 的“公式坐标”为 ，求 的值及方程的两个根； （3）若方程 的“公式坐标”满足 ，求 的值。 28．如图，在直角三角形 中，， cm， cm。点 从 沿 向 运动，速度为1 cm/s；点 从 沿 向 运动，速度为2 cm/s，两点同时出发。运动时间为 s（）。 （1）用含 的式子表示 的面积 ； （2）当 的面积为21 时，用公式法求 ； （3）当四边形 的面积为36 时，用公式法求 。 （第28题图） 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：A 解析：原方程展开得 ，移项得 ，因此 ，，，故选A。 2．答案：C 解析：公式法应先把方程化成一般形式并确定 ，再计算 ，根据 的符号判断根的情况；当 时再代入求根公式。因此顺序为②①③④。 3．答案：C 解析：方程中 ，，。，所以 ，故选C。 4．答案：D 解析：，所以方程在实数范围内没有根，故选D。 5．答案：B 解析：公式法中用来判断根的情况的判别式为 ，因此框①应填 。 6．答案：C 解析：小华计算 是正确的；但在实数范围内 时 没有实数意义，方程没有实数根，不能继续按实数求根公式计算。 7．答案： 解析：当 时，一元二次方程 的求根公式是 。 8．答案：2 解析：。有两个相等的实数根时 ，所以 。 9．答案： 解析：原方程两边同乘2，得 。，，，。因此 。 10．答案： 解析：。没有实数根需 ，即 ，解得 。 第一部分（必做） 11．答案：（1）；（2） 或 解析：（1），，，。由求根公式得 。 （2），，，。所以 ，即 或 。 12．答案：（1），，；（2），根为 或 解析：由未约分的代入结果 可知 ，，故 ，。又 ，所以 ，得 。因此方程为 。继续计算：，所以 或 。 13．答案：（1）；（2），此时 （重根） 解析：该方程中 ，，，。 （1）有两个不相等实数根需 ，所以 。 （2）有两个相等实数根需 ，所以 。代入原方程得 ，故重根为 。 14．答案：（1），即 ；（2）边框宽2 cm 解析：成品的长、宽分别为 cm、 cm，所以 。整理得 。，，得 或 。边框宽必须为正数，故取 cm。 第二部分（必做） 15．答案：A 解析：由求根公式 ，代入 ，，，得 ，故选A。 16．答案：A 解析：按定义，。由题意 ，即 。，所以 ，故选A。 17．答案：A 解析：若 ，则 ，从而 ，且实际上 ，因此一定有两个不相等的实数根。其余条件都不能单独保证 。 18．答案：C 解析：方程的较大根为 。因为 ，所以 ，从而 ，即 。故选C。 第二部分（必做） 19．答案： 解析：，所以方程有两个相等的实数根。。 20．答案：9；两个不相等的实数根 解析：。因为 ，所以无论 取何实数，方程都有两个不相等的实数根。 21．答案： s 或 s 解析：令 ，得 ，整理为 。，所以 ，即 或 。 22．答案：3 解析：方程中 ，，。两根相等需 ：，即 ，解得 。 23．答案：（1）第②步开始错误；（2） 或 解析：（1）因为 ，所以计算 时应保留 的负号。第②步把 错当成了 。 （2）正确计算为 。于是 ，所以 或 。 24．答案：（1） 或 ；（2），方程的根为 解析：（1）。有两个不相等实数根需 ，所以 ，解得 或 。 （2）满足条件的最大负整数是 。代入得 ，，故 。 25．答案：（1） s 或 s；（2）1 s 解析：（1）令 ，得 ，整理为 。。 所以 ，即 或 。 （2）小球先上升后下降，因此两个时刻中较小的时刻是第一次到达13 m高处的时刻，即1 s。 26．答案：（1），即 ；（2）两组可能尺寸见解析 解析：两扇门共宽2 m，不使用木栏。若垂直于墙的一边为 m，设与墙平行的另一边为 m，则木栏用量满足 ，所以 。 （1）由面积120 ，得 ，整理为 。 （2），所以 。当 时，；当 时，。两组长度均为正，故两种尺寸均符合题意。 第三部分（选做·附加） 27．答案：（1）；（2），，根为1和5；（3） 解析：（1）对 ，，，。因此 ，，公式坐标为 。 （2）这里 。由 得 ；由 得 。于是 ，得 。两根为 ，即1和5。 （3），，。由 ，两边平方得 ，解得 ；此时 ，符合题意。 28．答案：（1）；（2） s；（3） s 或 s 解析：（1）运动 s 后， cm， cm，所以 。 （2）令 ，得 ，即 。，，得 或 。结合 ，舍去 ，故 s。 （3）。四边形 面积为36 时，。于是 ，即 。，所以 或 ，两个值均符合取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $