25.2.2公式法（第2课时）根的判别式分层训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 练习以根的判别式为核心，分基础判断、含参分析、参数求解、证明应用四层梯度设计，覆盖从概念理解到综合应用，适配新授课巩固与中考衔接。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础判断|单一方程根的情况判断|选择题为主，直接应用判别式，培养抽象能力| |含参分析|含参数方程根的情况分析|引入参数及数轴情境，需推理参数对判别式影响，发展推理意识| |参数求解|根据根的情况求参数值或范围|填空与解答结合，强化运算能力，体现数学思维严谨性| |证明应用|方程根的情况证明及综合应用|解答题为主，需逻辑证明，含中考真题，提升应用意识与创新意识|

25.2.2公式法（第2课时）根的判别式分层训练 一、不解方程判断一元二次方程根的情况 1.一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2.关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3.下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 4.下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 二、判断含惨数的一元二次方程根的情况 1.已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2.关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3.有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于的方程的根的情况说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4.将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 5.关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 6.已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 三、根据根的情况求参数的值或取值范围 1.若方程有两个相等的实数根，则的值是______． 2.一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 3.如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 4.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 5.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 6.为何值时，关于的一元二次方程； （1）有两个相等的实数根？ （2）有两个不相等的实数根？ （3）无实数根？ 7.已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 四、证明一元二次方程根的情况 1.已知关于的方程． 求证：该方程总有两个实数根； 2.已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 3.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 4.关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 1.已知三个实数，，满足，，，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 2.若关于x的方程有有实数根，则______． 3.设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 4.已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 5.已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 1.（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2.（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3.（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4.（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5.（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6.（2025·新疆·中考真题）（选择题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 25.2.2公式法（第2课时）根的判别式分层训练答案 一、不解方程判断一元二次方程根的情况 1.D  2.A  3.C   4.B   二、判断含惨数的一元二次方程根的情况 1. A   2.C   3.B  4.D   5.有两个不相等的实数根 6.（1）解：把，代入方程，得， 解得， ∵ ∴原方程变为 解得 ∴方程的另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 三、根据根的情况求参数的值或取值范围 1. 4 2. 且 3. 3 4. 且 5. 且 6.解：（1）方程有两个相等的实数根， ， 解得； （2）方程有两个不相等的实数根， 且， 且． （3）方程无实数根， ， ． 7. （1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 四、证明一元二次方程根的情况 1.证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． 2. （1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 3. （1）证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2）解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 4. （1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 1.A  2.3或7 3.7 4.解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 5. （1）证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵ ∴， ∴，， 不妨设，， 当时，为等腰三角形，则，解得， 此时， 由于，这不能围成三角形，则不符合题意； 当时，为等腰三角形，则，解得， 此时，， 由于，这能围成三角形，符合题意； ∴当是等腰三角形时，． 1.D  2.A  3.A 4.B   5.B  6.B 7.（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ = ； 学科网（北京）股份有限公司 $