第2章 有理数 每日一题001-005 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 每日一题形式，分层覆盖基础概念理解、规律探究及综合应用，梯度衔接自然，通过情境化问题培养抽象能力与推理意识，适配新授课知识巩固与适度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|定义新运算、数轴概念|以“伴随点”定义（001）为例，结合数轴直观，强化符号意识| |规律探究层|数列规律、幻方性质|幻方填充（002-003）融入传统文化，培养模型观念与逻辑推理| |综合应用层|周期问题、空间翻转|图形翻转（005）结合周期计算，发展空间观念与运算能力|

试题解析 2026 秋季初一数学每日一题打卡 001 1. 定义：在数轴上点M所表示的数是m，点M' 所表示的数是 - ，则称点M' 是点M 的“伴随点” ．已知点A2 是点A1 的伴随点，点A3 是点A2 的伴随点，点A4 是点A3 的伴随点 …，以此类推，若点A1 所表示的数为 4，则点 A2045 所表示的数为 ( ) A. 4 B. - 1 C. D. (001 第 1 题试题来源：改编自 2024 秋季苏州张常昆太七年级上期中) 2. 如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有 4 个黑棋子，第②个图案 ·1 · 学科网（北京）股份有限公司 有 9 个黑棋子，第③个图案有 14 个黑棋子， ( 图1 ) ( 图2 )图3 …,依此规律，第 99 个图案有 个黑棋子． ... 图4 (001 第 2 题试题来源：改编自 2024 秋季苏州工业园区校级期中) 试题解析 1. 定义：在数轴上点M所表示的数是m，点M' 所表示的数是 - ，则称点M' 是点M 的“伴随点” ．已知点A2 是点A1 的伴随点，点A3 是点A2 的伴随点，点A4 是点A3 的伴随点 …，以此类推，若点A1 所表示的数为 4，则点 A2045 所表示的数为 ( ) A ． 4 B ． -1 C ． D ． 【答案】解：由题知， 因为点 A1 所表示的数为 4，所以 ，即点 A2 所表示的数为 -1； 同理可得， 点 A3 所表示的数为 ；点 A4 所表示的数为 ；点 A5 所表示的数为 4； … , 由此可见，这列数从点 A1 所表示的数开始按 4， 循环出现，因为 2045 ÷ 4 = 511...1，所以点 A2045 所表示的数为 4． 故选： A． 2. 如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有 4 个黑棋子，第②个图案有 9 个黑棋子，第③个图案有 14 个黑棋子， …,依此规律，第 99 个图案有 494 个黑棋子． 图 1 图2 图3 图4 【答案】解：观察图 1 有5 × 1 - 1 = 4 个黑棋子； 图 2 有5 × 2 - 1 = 9 个黑棋子； 图 3 有5 × 3 - 1 = 14 个黑棋子； 图 4 有5 × 4 - 1 = 19 个黑棋子； … 图 n 有(5n - 1) 个黑棋子， 当 n = 99 时， 5n - 1 = 494 个黑棋子，故答案为： 494． ·2 · 学科网（北京）股份有限公司 2026 秋季初一数学每日一题打卡 002 1. (新教材必考) “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵行的数字之和均相等，这个和叫做幻和．如图 1 是由1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 所组成的一个三阶幻方，其幻和为 (1 + 2 + 3 +⋯ +9) ÷ 3 = 15． (1)①如图 2，设该三阶幻方中间的数字是 x(其中 x 为正整数)，请用含 x 的代数式将下面的幻方填充完整； ②如图 3 也是一个不完整的三阶幻方，求 x 的值； (2)如图 4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将-3 ， 2 ， -1 ， 0 ， 1 ， -2 ， 3 ， -4 分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的 4 个数字之和都相等．现已完成了部分填数． ①求“幻圆”的幻和； ②求 a + b 的值． ·3 · 学科网（北京）股份有限公司 ( 8 1 ) ( 2 7 6 4 3 9 5 ) 图1 ( x x - 3 x - 2 x - 1 x - 4 ) 图2 ( x 8 7 5 ) 图3 ( - 2 c 0 d b a - 4 3 ) 图4 1. (1)①如图 2，设该三阶幻方中间的数字是 x(其中 x 为正整数)，请用含 x 的代数式将下面的幻方填充完整； ②如图 3 也是一个不完整的三阶幻方，求 x 的值； (2)如图 4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将-3 ， 2 ， -1 ， 0 ， 1 ， -2 ， 3 ， -4 分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的 4 个数字之和都相等．现已完成了部分填数． ①求“幻圆”的幻和； ( - 2 c 0 d b a - 4 图4 3 ) ( x - 4 x - 2 x x - 1 x - 3 ) ( 7 5 x 8 )②求 a + b 的值． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图 1 图2 图3 【答案】解： (1)①如图②： 技巧：过中心的直线上：三个数等差②由题意得： x + 8 + ◆ = 5 + 7 + ◆,解得： x = 4； 试题解析 ·4 · 学科网（北京）股份有限公司 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 x+3 x-4 x+1 x-2 x x+2 x-1 x+4 x-3 图2 7 5 x ◆ 8 图3 ( c ) ( - 2 0 d a ) ( - 4 ) ( 图4 ) ( b 3 ) (2)① (-3 + 2 - 1 + 0 + 1 - 2 + 3 - 4) ÷2 =-2， (8 个数字不重复使用，横、竖各 4 个数)答：“幻圆”的幻和为 -2； ② a =-2 - (3 - 2 - 4) = 1， d =-2 - (-2 + 0 + 1) =-1， ∵ 外圈四个数 (c ,-4 , b , 3)之和也等于幻和 -2， (当然你用中间横行也可以) ∴ b + c = -2 + 1 =-1， ∴ b =-3， c = 2，或 b = 2， c =-3， ∴ a + b =-2 或 3． 2026 秋季初一数学每日一题打卡 003 1. (新教材必考)对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图 1 是一个幻方的图案，其中 9 个格中的点数分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15． ·5 · 学科网（北京）股份有限公司 图1 ( - 8 0 - 2 ) 图2 ( x - 1 - 5 3 x + 2 - 4 ) 图3 ( - 5 - 4 ) 图4 (1)如图 2 是一个没有填完整的幻方，满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．则这个和是 ，并根据所给的信息补全其余的空格． (2)在图 3 的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．根据所给信息求出 x 的值，并根据 x 的值补全图 4 的幻方的空格． 1.【补充知识】关于幻方的性质： (也许此题用不到，但是若掌握了幻方的性质，犹如初中生做小学题，可以做到降维打击的效果)定义：九宫格中间一个数叫做平衡数，记为 x0 ; 性质 1：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等 (这个和称之为 " 幻和 ")； 性质 2：幻和等于平衡数×3，即 3x0； 性质 3: 过中心的线：“米”字型上的数字两两差值相等(即为等差数列) 性质 4: 黄金铁三角： 底角和=顶角×2 三阶幻方的规律口诀： 二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 A B C B+C=2A 4 . 9. : 2 :3 5 7 ( 8 ) 1 · 6 (1)如图 2 是一个没有填完整的幻方，满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．则这个和是 -6 ，并根据所给的信息补全其余的空格． 【答案】【学以致用解答】 由图可知平衡数为 -2，则幻和为 -6； (如图1 为了方便描述，九宫格每个空格加上编号)， 则④应该填 2，米字格三个数两两差值相等， ( 6 - 8 - 2 2 - 10 0 - 4 - 6 4 ) ( - 4 - 8 - 6 - 2 2 4 0 )则③应该填 -6，①应该填 -4 , ⑤应该填 4，再根据幻和补全②填 6 , ⑥填 -10 , 图 3 即为所求. ① ② -8 ③ -2 ④ ⑤ ⑥ 0 图 1 图2 图3 (2)在图 3 的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．根据所给信息求出 x 的值，并根据 x 的值补全图 4 的幻方的空格． 【答案】【学以致用解答】 (2) 由图可知平衡数为 -5，则幻和为 -15；则①格子的数应为-6，故 x - 1 =-6 , 解得： x =-5 , 代入⑦得: 3x + 2 =-13 , 再利用上述性质逐一完成即可，图 6 即为所求. 试题解析 ·6 · 学科网（北京）股份有限公司 ① ② ③ ④ -5 ⑤ ⑥ ⑦ -4 图4 ( 以用 形求解 ) ( 绿色部分也可 隐含黄金三角 - 5 - 13 - 4 - 6 ) 图5 -6 3 -12 -11 -5 1 2 -13 -4 图6 2026 秋季初一数学每日一题打卡 004 1. 已知一列数： 1 ， -2 ， 3 ， -4 ， 5 ， -6 ， 7 ， … 将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 -2 3 第3行 -4 5 -6 第4行 7 -8 9 -10 第5行 11 -12 13 -14 15 按照上述规律排下去，那么第 100 行从左边数第 4 个数是( ) A. - 4954 B. 4954 C. - 4953 D. 4953 (004 第 1 题试题来源：2025 秋季南京建邺区周测) 2. 已知一列数 a1 ， a2 ， a3 ， … , 具体如下规律： a2n+1 = an + an+1 ， a2n = an (n 是正整数) ．若 a1 = 1，则 a71 的值为 ( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 (004 第 2 题试题来源： 改编自 2023 秋季园区校级期中) ·7 · 学科网（北京）股份有限公司 1. 已知一列数： 1 ， -2 ， 3 ， -4 ， 5 ， -6 ， 7 ， … 将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 -2 3 第3行 -4 5 -6 第4行 7 -8 9 -10 第5行 11 -12 13 -14 15 按照上述规律排下去，那么第 100 行从左边数第 4 个数是( A ) A. - 4954 B. 4954 C. - 4953 D. 4953 【答案】解：第 1 行有 1 个数，最后一个数的绝对值是： 1； 第 2 行有 2 个数，最后一个数的绝对值是： 第 3 行有 3 个数，最后一个数的绝对值是： 第 4 行有 4 个数，最后一个数的绝对值是： 10 = 1 + 2 + 3 + 4 = ； 第 5 行有 5 个数，最后一个数的绝对值是： …… ; ∴ 第 n 行有 n 个数，最后一个数的绝对值是： (★这是这道题的核心) ∴ 第 99 行有 99 个数，此行最后一个数的绝对值为： ∴ 第 100 行从左边数第 4 个数的绝对值为4954， ∵ 奇数为正，偶数为负， ∴ 第 100 行从左边数第 4 个数为-4954，故选： A． 2. 已知一列数 a1 ， a2 ， a3 ， … , 具体如下规律： a2n+1 = an + an+1 ， a2n = an (n 是正整数)．若 a1 = 1，则 a71 的值为 ( C ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】首先读懂题意，偶数项： a2n = an , 举例： a14 = a7 , a16 = a8 = a4 = a2 = a1 ; 奇数项： a2n+1 = an + an+1 , 举例： a7 = a3 + a4 =（a1 + a2）+ a2 = a1 + 2a2 = a1 + 2a1 = 3a1. 【解答】解： ∵ a2n+1 = an + an+1， a2n = an (n 是正整数)， ∴ a71 = a35 + a36 = a17 + a18 + a18 = a17 + 2a18 = a8 + a9 + 2a9 = a8 + 3a9 = a4 + 3(a4 + a5) = 4a4 + 3a5 = 4a2 + 3(a2 + a3) = 7a2 + 3a3 = 7a1 + 3(a1 + a2) = 10a1 + 3a2 = 10a1 + 3a1 = 13a1， ∵ a1 = 1， ∴ a71 = 13，故选： C． 为了方便理解，偶数项的每次变换全部以相同颜色表示. 试题解析 ·8 · 学科网（北京）股份有限公司 2026 秋季初一数学每日一题打卡 005 1. (26 秋高频)等边三角形 (三条边都相等的三角形是等边三角形)纸板 ABC 在数轴上的位置如图所示，点 A ，B 对应的数分别为 3 和 2，若 △ABC 绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点 C 所对应的数为 1，则翻转 2045 次后，点 C 所对应的数是 ． C BA -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 2. 如图，周长为 16 的长方形 ABCD，其顶点 A 、B 在数轴上，且点 A 对应的数为-1 ， CD = 6 ，若将长方形 ABCD 沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过 2047 次翻滚后，长方形最右端到达数轴上的点P，则 P 点所对应的数为 ． ( C A B D ) ·9 · 学科网（北京）股份有限公司 1. 等边三角形 (三条边都相等的三角形是等边三角形)纸板 ABC 在数轴上的位置如图所示，点A ， B 对应的数分别为 3 和 2，若 △ABC 绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第 1 次后，点 C所对应的数为 1，则翻转 2045 次后，点 C 所对应的数是 -2042 ． C BA -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 【答案】解：法一：如图，每 3 次翻转为一个循环组依次循环， ( B 3 B A - 3 - 2 - 1 A 0 2 C 1 1 2 3 4 5 6 7 C 3 B 2 A 1 C ) 由图知，翻转第 1 次后，点 C 所对应的数为1，翻转第 2 次后，点 C 所对应的数为1， ∵ 2045 ÷ 3 = 681 … 2， ∴ 翻转 2045 次后点 C 在数轴上， ∴ 点 C 对应的数是 1 - 681 × 3 =-2042． 故答案为： -2042． 法二：运动路程： ( B 3 B A - 3 - 2 - 1 A 0 2 C 1 1 2 3 4 5 6 7 C 3 B 2 A 1 C ) 首先考虑逆时针运动， 起点是 2， 翻转2045 次， 可以理解为运动 2045 个单位， 当时的终点是-2043 , 可数轴上有两个点，到底是不是 C 呢？ 考虑循环组问题， 2045 是 3 的倍数多 2， 或者差一次翻转就是 3 的倍数了 . 参照示例图发现应该是与红色的运动状态相同，即 -2043 对应的是 A , 那么 C 就是 -2042. 2. 如图，周长为 16 的长方形 ABCD，其顶点 A 、B 在数轴上，且点 A 对应的数为-1 ， CD = 6 ，若将长方形 ABCD 沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过 2047 次翻滚后，长方形最右端到达数轴上的点P，则 P 点所对应的数为 8191 ． D C A B 【答案】解：如图， 长方形的周长是 16， 长是 6， 宽则为 2， 翻转 4 次， 为一个周期， 最右端的点移动 16 个单位， ∵ 2047 ÷ 4 = 511 …… 3， 此处余 3 的意义需要想明白，是 3 次，不是 3 个单位！ ∴ 前 2044 次翻转（511 个完整周期）， 共移动了 511 × 16 = 8176 个单位， 则第2045 - 2047 次， 再移动 2 + 6 + 2 = 10 个单位， ∴ 右边的点移动 511 × 16 + 10 = 8186， ∵ 点 A 对应-1， CD = 6， ∴ 点 B 对应5， ∴ 经过 2047 次翻滚后，点 P 对应的数是 8186 + 5 = 8191. ·10 · 学科网（北京）股份有限公司 $