25.1 一元二次方程的概念 第1课时 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程概念。特色：三级分层设计，从基础概念辨析到实际问题建模，强化数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|概念判断、系数识别、一般形式转化|选择题+填空题夯实基础，如方程类型辨析、系数提取| |能力提升|参数讨论、代数证明、分类讨论|解答题培养推理意识，如含参方程次数判断、根的证明| |拓展探究|综合概念辨析、多参数问题、根的应用|开放辨析题发展创新思维，如多方程类型比较、实际问题建模|

25.1 一元二次方程的概念（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 ②一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 ③判断一元二次方程要看三点：整式方程、只含一个未知数、最高次数为2且二次项系数不为0。 2. 与本节课相关的旧知识：整式方程、单项式与多项式的次数、合并同类项、移项。 3. 预习时遇到的疑问：为什么一般形式中必须强调a≠0？如果a=0会怎样？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①忽略“整式”与“一元”两个前提，把分式方程或含两个未知数的方程误判为一元二次方程。 ②化一般形式时漏掉某一项或符号处理错误，导致系数找错。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　）A. x+1/x=1　B. x²=0　C. x+y=2　D. x³+x=0 2. 方程3x²-2x+5=0的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。 3. 把方程2x²=3x-1化为一般形式后，a=______，b=______，c=______。 4. 若方程(m-1)x²+3x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______。 5. 一元二次方程3x(x-2)=4的一般形式为____________。 6. 方程x²-5=0的二次项系数为______，一次项系数为______。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（　）A. 2x+1=0　B. x²+y=1　C. x²-1/2x=0　D. 1/x+x²=2 2. 把方程5x²=6x-8化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　）A.5，6，-8　B.5，-6，-8　C.5，-6，8　D.6，5，-8 3. 方程(x+3)(x-4)=-6化成一般形式是____________。 4. 方程3x²=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是______。 5. 若关于x的方程(m²-1)x²+(m-1)x+2=0是一元二次方程，则m满足的条件是______。 6. 已知方程(m-2)x^|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______。 7. 把方程(x+2)²=6化成一般形式，并写出a、b、c的值。 8. 方程3x(x-1)=2(x+2)化为一般形式后，二次项系数为______，一次项为______。 9. 若x=1是方程x²+ax-2=0的一个根，则a=______。 10. 一元二次方程2x²-3=0中，b的值为（　）A.2　B.-3　C.0　D.3 11. 写出一个二次项系数为2，且有一个根为1的一元二次方程：______。 12. 判断：方程x²+1/x=3是一元二次方程。（　） ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 若关于x的方程(m-1)x^|m|+1+2mx+3=0是一元二次方程，求m的值。 解： 2. 把方程(a-1)x²+2x+a=1整理为关于x的一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项（用含a的式子表示）。 3. 已知x=2是方程x²-mx+2=0的根，求代数式m²-2m+1的值。 解： 4. 若一元二次方程ax²+bx+c=0的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根。 解： 5. 已知关于x的方程(k²-4)x²+(k-2)x=k，当k为何值时，它是一元二次方程？当k为何值时，它是一元一次方程？ ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 观察下列方程：①x²=0；②x²+1/x=1；③ax²+bx+c=0；④2x(x-1)=2x²+3；⑤x²+1/2=0。其中一定是一元二次方程的有几个？请说明理由。 解： 2. 若方程(a-2)x^{a²-2}+3x-1=0是关于x的一元二次方程，求a的值，并写出此时方程的一般形式。 解： 3. 已知一元二次方程ax²+bx+c=0有一个根是1，且a、b、c满足 1/2a-2 + 1/2b-4 =0，求a+b+c的值。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 请用一根长20cm的铁丝围成一个面积为16cm²的矩形，设矩形的长为x cm，列出关于x的一元二次方程，并化为一般形式。 解： 2. 某学校要建一个面积为80m²的矩形花坛，长比宽多2m，设宽为x m，列出方程。 解： 3. 一个数的平方与这个数的3倍相等，求这个数。设这个数为x，列出方程并判断是否为一元二次方程。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 25.1 一元二次方程的概念（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 ①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程；④一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。 二、基础随堂自检 1.B　2.3，-2，5　3.2，-3，1　4.m≠1　5.3x²-6x-4=0　6.1，0 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.C　2.C　3.x²-x-6=0　4.3，0，0　5.m≠±1　6.m=-2　7.x²+4x-2=0，a=1,b=4,c=-2　8.3，-5x　9.a=1　10.C　11.2x²-4x=0（答案不唯一）　12.× ★★ 能力提升 1.m=-1　2.(a-1)x²+2x+(a-1)=0，系数分别为a-1,2,a-1　3.4　4.证明：令x=-1得a-b+c=0，故成立　5.k≠±2时为一元二次方程；k=-2时为一元一次方程 ★★★ 拓展探究 1.①⑤共2个，②为分式方程，③未指明a≠0，④化简后二次项消失　2.a=-2，一般形式-4x²+3x-1=0　3.a=4,b=8,a+b+c=0 五、学以致用 1.x(10-x)=16，即x²-10x+16=0　2.x(x+2)=80　3.x²=3x，即x²-3x=0，是一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 $