1.5 等腰三角形（分层作业20题）2026-2027学年苏科版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

**基本信息** 20题分层作业覆盖等腰三角形性质、判定及综合应用，基础-中档-提升梯度清晰，注重几何直观与推理能力培养，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质应用与简单计算|选择1结合实际情境考查高的性质，填空9利用中点性质求距离| |中档|性质与几何变换结合|选择3旋转角度计算，填空8网格等腰三角形分类讨论| |提升|动态与模型综合应用|填空12翻折动态问题，解答20“K字模型”探究与证明|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.5 等腰三角形（分层作业20题） 一、选择题 1．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 3．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 5．如图，等腰的底边长为，面积为，腰的垂直平分线交于点E，交于点F，D为的中点，M为直线上的动点．则周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 7．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 9．如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为_________． 10．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 11．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 12．在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 13．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 14．如图，在中，，，点、是边上的两个动点，且满足，则当以、、的长为边长构成直角三角形时，______． 三、解答题 15．在中，，，若是等腰三角形，求的长． 16．如图，在四边形中，，、分别是、的中点，且，．求的长． 17．如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高度．已知于点，于点．小明在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角．已知，，三点在同一条直线上，，，m，求办公楼的高度． 18．如图，在中，，为延长线上一点，为上一点，． (1)求证：； (2)若是的中线，交于点，求证：． 19．综合与实践： 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． 请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，） 20．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　． A．50   B．62    C．65    D．68 [深入探究] 如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.5 等腰三角形（分层作业20题） 一、选择题 1．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 2．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】未明确腰和底，需分类讨论并验证三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴分两种情况：当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为； 当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故周长为或． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 4．如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等边三角形的性质求出，然后利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵经旋转后到达的位置，旋转到， ∴旋转了． 5．如图，等腰的底边长为，面积为，腰的垂直平分线交于点E，交于点F，D为的中点，M为直线上的动点．则周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质可得，即A、M、D三点共线时，最小值为的长，根据面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， 即A、M、D三点共线时，最小值为的长， ∵，点D为的中点， ∴，, ∵等腰的底边长为,面积为， ∴, ∴周长的最小值为． 6．如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据方格特点证明，得到，即可得出． 【详解】解：如图， 由方格可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 二、填空题 8．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 根据题意，，根据和进行格点探寻即可． 【详解】解：根据题意，，根据和进行格点探寻，结果如下： 所以符合题意的点C有7个， 故答案为：7． 9．如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知条件即可求解． 【详解】解：公路、互相垂直， 是直角三角形． 是的中点，， ∴， ． 即M，C两点间的距离为． 10．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 【答案】 【分析】首先由等边对等角求出，得到，由作图得，垂直平分，求出，然后结合含30度角直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由作图得，垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 12．在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定，根据题意准确画出示意图是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得，再分两种情况讨论：当或时，利用直角三角形和等边三角形的性质求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与直线所夹的锐角为， ∴或； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 故答案为：3或． 13．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 14．如图，在中，，，点、是边上的两个动点，且满足，则当以、、的长为边长构成直角三角形时，______． 【答案】2或 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，得到，，，，进而得到，通过证明，得到，根据题意可得是直角三角形，再分2种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， ∵，， ∴， ∴． 由旋转的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵以，，的长为边长构成直角三角形， ∴以，，的长为边长构成直角三角形， 即是直角三角形， ∴或， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 15．在中，，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度． 【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，2，满足，成立． 若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立． ∴． 16．如图，在四边形中，，、分别是、的中点，且，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质，熟记各性质定理是解题的关键．连接、，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由等腰三角形的性质得，，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接、， ∵在中，，是的中点， ∴， 同理：在中，， ∴， 又∵是的中点， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 17．如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高度．已知于点，于点．小明在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角．已知，，三点在同一条直线上，，，m，求办公楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等、直角三角形的性质，掌握三角形全等的证明条件是解题关键． 通过证明得，结合，算出即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 故办公楼高度为． 答：办公楼的高度为 18．如图，在中，，为延长线上一点，为上一点，． (1)求证：； (2)若是的中线，交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ， ， ； (2) 证明：如下图所示，作交的延长线于点， 则，， ，， ， 是的中线， ， 在和中，， ， ， ， 在和中，， ， ． 【分析】（1）由，得，因为，，所以，由，得，所以； （2）作交的延长线于点，则，而，且，所以，可证明，根据全等三角形的性质可得，所以，再证明，即可证得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 19．综合与实践： 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． 请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，） 【答案】(1) 解：，理由如下： ，， ， 为直角三角形， ， ； (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等； （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过作交的延长线于，延长交于，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过作交的延长线于，延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故购物车把手到的距离为． 20．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　． A．50   B．62    C．65    D．68 [深入探究] 如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； 【答案】[模型呈现]DE； [模型应用]B； [深入探究]证明：如图，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N， 由“K字”模型得：△ABF∆DAM(AAS)， ∴AF=DM， 同理：AF=EN， ∴EN=DM， ∵DM⊥AF，EN⊥AF， ∴∠GMD=∠GNE=90°， 在△DMG与△ENG中， ， ∴∆DMG∆ENG(AAS)， ∴DG=EG， 即点G是DE的中点． 【分析】[模型呈现]利用全等三角形的性质解答即可； [模型应用]由“K字”模型可知，△EPA△AGB，△BGC△CHD，得出线段间的数量关系，然后结合图形求解面积即可； [深入探究]过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，由“K字”模型得出△ABF∆DAM，再由全等三角形的判定和性质得出∆DMG∆ENG，得出DG=EG，即可得出结果． 【详解】解：[模型呈现]：△ABC△DAE， ∴AC=DE， 故答案为：DE； [模型应用]如图中， 由“K字”模型可知，△EPA△AGB，△BGC△CHD， ∴EP=AG=6，PA=BG=3，BG=CH=3，GC=DH=4， ∴PH=PA＋AG＋GC＋CH=3+6+4+3=16， ∴图中实线所围成的图形的面积=梯形EPHD的面积一△EPE的面积一△ABG的面积一△BGC的面积一△CHD的面积 =×(6+4)×16-2××3×6-2××3×4 =50， 故选：A； [深入探究]略 【点睛】题目是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $