1.5 等腰三角形 同步训练2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 苏科版八年级上册1.5等腰三角形同步练，通过基础选择、提升填空、综合解答三层设计，覆盖性质判定、等边三角形等核心知识，梯度递进巩固概念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择1-6、填空14）|等腰三角形性质与判定、等边三角形概念|直接应用定义，如三线合一求线段长，夯实运算能力| |提升（选择7-11、填空15-16）|分类讨论、垂直平分线性质|结合实际情境（达芬奇圆规），培养空间观念与模型意识| |综合（选择12、解答19-22）|规律探究、综合证明|涉及动态问题与多知识点融合，发展推理能力与创新意识|

苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 同步训练 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠BAC=110°，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 2.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　） A.30° B.30°或120° C.80° D.30°或80° 3.下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（　　） A. 等边三角形的三条边都相等 B. 等边三角形的三个内角都相等且都等于60° C. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D. 等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 4.如图，在四边形ABDC中，∠BDC＝90°，AB⊥BC，E、F分别是AC、BC的中点，BE、DF的大小关系是(　　) A. BE＞DF B. BE＝DF C. BE＜DF D. 无法确定 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，则图中共有等腰三角形(　　) A.3个   B.4个 C.5个   D.6个 6.下列能断定△ABC为等腰三角形的是(　　) A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=2∠B=70° C.∠A=40°，∠B=70° D.AB=3，BC=6，周长为14 7.达芬奇曾发明过一个简易圆规.某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规(图1).其原理为：如图2，有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动.记号笔最终画出了一段圆弧.根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是(　　) A.直角三角形斜边对应的角是直角 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D.直角三角形的两锐角互余 8.在下面的三角形，不可能是等腰三角形的是（　　） A. 有两个内角分别为110°，40°的三角形 B. 有两个内角分别为70°，55°的三角形 C. 有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形 D. 有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 10.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 11.如果等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形顶角的度数是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.90° 12.如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（　　） A.32 B.64 C.128 D.256 二、填空题 13.如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　            　． 14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________． 15.如图，∠BAC＝40°，AD平分∠BAC，点P为射线AB上一动点，且△PAD是等腰三角形，则∠APD的度数为　         　． 16.如图，在面积为12的△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为　　　　. 17.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED=70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是　　　　　　.  三、解答题 18.补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE＝AE.若∠B＝55°，求∠ECD的度数. 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(②)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝③°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(④)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝⑤°. 19.如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数； （2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点； 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠A=30°，BC=2，求CD的长. 21.把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由． 22.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC． 苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠BAC=110°，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴PA=PB，QA=QC∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∴∠BAP+∠CAQ=70°，∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=110°-70°=40°故选：B． 2.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　） A.30° B.30°或120° C.80° D.30°或80° 【答案】D 【解析】（1）当底角与顶角的比是1：4时， 设底角为x，顶角为4x，根据三角形内角和得，x+x+4x＝180°， 解得：x＝30°， 即底角为30°； （2）当顶角与底角的比是1：4，设顶角为x，底角为4x，根据三角形内角和得，x+4x+4x＝180°， 解得：x＝20°， ∴4x＝80°， 即底角为80°； 所以底角的度数为30°或80°． 故选：D． 3.下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（　　） A. 等边三角形的三条边都相等 B. 等边三角形的三个内角都相等且都等于60° C. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D. 等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 【答案】D 【解析】A、B、C都是正确的；D、等边三角形除了和等腰三角形相同的性质，还具有三边相等、三个内角都相等、有三条对称轴的性质，是特殊的等腰三角形，所以等边三角形与等腰三角形具有相同的性质是错误的．故选：D． 4.如图，在四边形ABDC中，∠BDC＝90°，AB⊥BC，E、F分别是AC、BC的中点，BE、DF的大小关系是(　　) A. BE＞DF B. BE＝DF C. BE＜DF D. 无法确定 【答案】A 【解析】在Rt△BDC中，BF＝CF，∴DF＝BC，Rt△ABC中，AE＝CE，∴BE＝AC，∵BC＜AC，∴BE＞DF，故选A. 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，则图中共有等腰三角形(　　) A.3个   B.4个 C.5个   D.6个 【答案】C 【解析】 ∵AB＝AC，∠B＝72°， ∴△ABC为等腰三角形，∠ACB＝∠B＝72°，∠A＝36°， ∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠ACB＝∠B＝72°， ∴BD＝DE，△BDE为等腰三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB＝36°＝∠A， ∴AD＝CD，△ACD为等腰三角形， ∠BDC＝∠A＋∠DCA＝72°＝∠B， ∴BC＝CD，△BCD为等腰三角形， ∵∠ACD＝∠DCB＝36°＝∠A，DE∥AC， ∴∠EDC＝∠ACD＝∠DCB＝36°， ∴DE＝EC，△DEC为等腰三角形. 综上所述，共有5个等腰三角形. 6.下列能断定△ABC为等腰三角形的是(　　) A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=2∠B=70° C.∠A=40°，∠B=70° D.AB=3，BC=6，周长为14 【答案】C 【解析】A项，∠C=180°-40°-50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； B项，∵∠A=2∠B=70°， ∴∠B=35°， ∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； C项，∠C=180°-40°-70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； D项，∵AB=3，BC=6，周长为14， ∴AC=14-6-3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误. 7.达芬奇曾发明过一个简易圆规.某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规(图1).其原理为：如图2，有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动.记号笔最终画出了一段圆弧.根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是(　　) A.直角三角形斜边对应的角是直角 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D.直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】 ∵“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点， ∴运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 8.在下面的三角形，不可能是等腰三角形的是（　　） A. 有两个内角分别为110°，40°的三角形 B. 有两个内角分别为70°，55°的三角形 C. 有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形 D. 有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 【答案】A 【解析】根据等腰三角形判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可． 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴AC＝AB， 又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分， ∴AD＝BD∴AC＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠CDA＝60° 10.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 【答案】C 【解析】因为该三角形是轴对称图形， 则该三角形是等腰三角形，有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形. 11.如果等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形顶角的度数是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.90° 【答案】C 【解析】当高在内部时，顶角＝90°﹣30°＝60°； 当高在外部时，得到顶角的外角＝90°﹣30°＝60°， 则顶角＝120°． 故选：C． 12.如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（　　） A.32 B.64 C.128 D.256 【答案】D 【解析】∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， … ∴△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1， ∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256． 故选：D． 二、填空题 13.如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　            　． 【答案】6 【解析】∵∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=120°，∠B=30°，∠C=30°，∵AD，AE将∠BAC三等分，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=30°，∴∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=60°，∴AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD，∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形，∴图中等腰三角形的个数是6，故答案为：6． 14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________． 【答案】4 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=12BC=4．故答案是：4． 15.如图，∠BAC＝40°，AD平分∠BAC，点P为射线AB上一动点，且△PAD是等腰三角形，则∠APD的度数为　         　． 【答案】140°或80°或20°． 【解析】如图所示， ∵∠BAC＝40°，AD平分∠BAC， ∴∠DAP＝20°． 当AP＝PD时，∠APD＝180°﹣20°﹣20°＝140°； 当AD＝AP时，∠APD80°； 当AD＝PD时，∠APD＝∠DAP＝20°． 故答案为：140°或80°或20°． 16.如图，在面积为12的△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为　　　　. 【答案】 8 【解析】 如图，连接PA， ∵AB＝AC，BC＝4，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC＝×4＝2， ∵△ABC的面积为12， ∴BC·AD＝12， ∴AD＝6， ∵EF垂直平分AB， ∴PB＝PA， ∵P为直线EF上一动点， ∴PB＋PD＝PA＋PD≥AD， ∴PA＋PD≥6， ∴BD＋PB＋PD＝BD＋PA＋PD≥BD＋AD＝2＋6＝8， ∴△PBD周长的最小值为8. 17.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED=70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是　　　　　　.  【答案】40°或100°或140° 【解析】∵AB=AC，∠B=50°，∠AED=70°， ∴∠EDB=20°， ∵△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形， ∴DP=DE， ①如图，当点P在AB上时，记为P1， ∵DE=DP1， ∴∠DP1E=∠AED=70°， ∴∠EDP1=180°-70°-70°=40°； ②当点P在AC上时，有两个点P2，P3符合条件， ∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠BAD=∠CAD， 过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， ∴DG=DH， 在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ∴Rt△DEGRt△DP2H(HL)， ∴∠AP2D=∠AED=70°， ∵∠BAC=180°-50°-50°=80°， ∴∠EDP2=140°， 同理证得Rt△DEGRt△DP3H(HL)， ∴∠EDG=∠P3DH， ∴∠EDP3=∠GDH=100°. 三、解答题 18.补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE＝AE.若∠B＝55°，求∠ECD的度数. 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(②)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝③°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(④)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝⑤°. 【答案】 解　∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(三线合一定理)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝35°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(等腰三角形两底角相等)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝20°. 19.如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数； （2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点； 【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， 又∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E＝∠ACB＝30°； （2）证明：连接BD， ∵AB＝AC＝BC，D是AC的中点， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴DB＝DE， 又∵DM⊥BE， ∴M是BE的中点； 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠A=30°，BC=2，求CD的长. 【答案】解　∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB， ∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=2BC=4， ∴CD=2. 21.把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由． 【答案】解 重合部分是等腰三角形．由折叠可知，∠CBD=∠C′BD， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠C′BD，∴BE=ED． ∴△BED是等腰三角形． 22.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC． 【答案】（1）证明 ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴BE=CE； （2）证明 ∵BF⊥AC，∠BAC=45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF. 在△AEF和△BCF中，∠EAF=∠CBF，∠AFE=∠BFC，AE=BF， ∴△AEF≌△BCF（ASA）， ∴AE=BC． 学科网（北京）股份有限公司 $