1.4 线段垂直平分线与角平分线 同步分层练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，覆盖线段垂直平分线与角平分线核心知识点，从概念理解到综合应用再到创新实践，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|性质应用、尺规作图、简单计算|选择填空为主，如角平分线性质（第1题）、垂直平分线性质（第2题），强化基础认知| |能力提升|性质综合应用、面积计算、几何证明|解答题增加，如面积法求线段长（第12题）、平行线与角平分线综合证明（第14题），发展推理能力| |拓展创新|实际应用、轴对称设计|项目式学习（第17题风筝制作）、工具作图原理（第16题），培养创新意识与应用能力|

苏科版数学八年级上册 1.4 线段垂直平分线与角平分线 同步分层练习 一、夯实基础 1．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点， PE⊥OA于点E，点F是射线OB上任意一点，则(　　) A．PF>PE B．PF≥PE C．PF<PE D．PF≤PE 2． 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB.若BD=6，CD=3，则AC的长是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 3． 如图，在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，连结AF，交BD于点E，若∠B＝45°，BD＝6，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 5．下列说法正确的是（　　） A．若△ABC的三个内角满足：∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形 B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 C．“对顶角相等”的逆命题是假命题 D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角” 6．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛Rt△ABC（∠C=90°）的相关数据时，用尺规作图的方法作∠BAC的平分线：以A为圆心画弧交AC，AB于D，E，再分别以D，E为圆心、大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC边于点F.若测得BC=10cm'BF=6cm'则点F到AB边的距离为（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 7． 如图， △ABC中， AC=14 cm， AB 的垂直平分线MN交AC 于 D， 连接BD．若CD：DB=3：4， 则CD的长为　 　 cm． 8．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　cm． 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，∠ABD =∠CBD， AC=12cm，且.S△BCD：S△BDA =1：2，则点 D到AB的距离为　 　cm. 二、能力提升 10．如图，在中，BC边上的点D在AB的垂直平分线上，连接AD，E是AD的中点，连接CE，若，，，则BC的长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 11．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（ ） A． B． C．点到的距离为4 D． 12．如图，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E，=10，DE=2，AB=4则AC长是　 　. 13．如图，已知在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，若的周长为，则的长为　 　． 14．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥AE； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数． 15．如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 三、拓展创新 16．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　 　 17．项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 （1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 （2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为O（如图2），测得，．下面结论错误的是（　　）（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 （3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若．则风筝面积是 cm2 项目小结 （4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识： 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点P作PH⊥OB于H ∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PE⊥OA，PH⊥OB ∴PH=PE. 由垂线段最短可知：PF≥PH， ∴PF≥PE， 故选：B. 【分析】过点P作PH⊥OB于H，根据角平分线的性质得到PH=PE，再根据垂线段最短解答. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，BD=6，CD=3 ∴AD=BD=6 ∴AC=AD+CD=9 故答案为：C 【分析】根据垂直平分线性质可得AD=BD=6，再根据边之间的关系即可求出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：要使点P到AB、BC的距离相等，则点P必须在的角平分线上，同时点P在AC边上，因此只需作出的角平分线，与AC的交点即为所求的点P。 对照各选项的作图痕迹，只有B选项是作的角平分线，符合要求。 故答案为：B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图与角平分线的性质。解题时首先根据“点到角两边距离相等”的条件，推导出该点位于这个角的平分线上，因此问题转化为作的角平分线，再结合角平分线与AC边的交点确定点P的位置，据此判断各选项的作图痕迹是否符合要求。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：由作图得AF垂直平分BD，垂足为点E， ∴BE=DE， ∵AB=AD， ∴∠ADB=∠B=45°， ∴∠BAD=90°， ∵BD=6， ∴AE=BE=3， 故答案为：A. 【分析】 由作图得AF垂直平分BD，垂足为点E，则BE=DE，由AB=AD，得∠ADB=∠B=45°，则∠BAD=90°，所以AE=BD=3，从而得解. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A：因为 ∠A=2∠B=3∠C， 则∠B=，∠C=，所以 ∠A++=180°，可得出∠A=，故而得出 △ABC不是直角三角形，所以A不正确； B：根据中垂线的性质可得出三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等 ，所以B不正确； C：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，该逆命题不正确，故而得出“对顶角相等”的逆命题是假命题； D：用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“可以有两个内角是直角” 故答案为：C. 【分析】根据三角形内角和可得出A不正确；根据垂直平分线的性质可得出：到三角形三个顶点的距离相等 ，故而得出B不正确；根据逆命题的性质，得出“对顶角相等”的逆命题是假命题；根据反证法可得出D不正确，即可得出答案。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AB于点D，如图所示： ∵AM平分∠BAC，AC⊥BC，FD⊥AB， ∴CF=FD， ∵BC=10，BF=6， ∴FD=FC=BC-BF=10-6=4， ∴点F到AB边的距离为4cm， 故答案为：B. 【分析】过点F作FD⊥AB于点D，利用角平分线的性质可得CF=FD，再求出FD=FC=BC-BF=10-6=4即可. 7．【答案】6 【解析】【解答】解：∵ AB的垂直平分线MN交AC于D ∴AD=BD ∵CD：DB=3：4 ∴设CD=3x，则AD=BD=4x ∴3x+4x=14 解得：x=2 ∴CD=6 故答案为6 【分析】根据垂直平分线性质可得AD=BD，设CD=3x，则AD=BD=4x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案. 8．【答案】3 【解析】【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图， ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB， ∴PH=PD=3cm， ∵点E是射线OB上的动点， ∴PE的最小值为3cm. 故答案为：3． 【分析】过P点作PH⊥OB于H，利用角平分线的性质可得PH=PD=3cm，再利用垂线段最短的性质求解即可. 9．【答案】4 【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵，且、 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：4. 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形面积比与边长比的关系.由图可知：面积比为1∶2的两个三角形高相等，因此可以得到它们对应底边的比，结合已知条件即可计算CD，最后利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可得到. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴． 故答案为：D. 【分析】根据垂直平分线的性质可得，，然后根据线段的和差解答即可． 11．【答案】C 【解析】【解答】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 故选：C. 【分析】 由基本尺规作图知AG平分，再由角平分线的性质可得点G到AB的距离等于CG等于4，由于的度数未知，则剩余3个结论无法确定. 12．【答案】6 【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB. ∴DE=DF=2 ∵， ∴△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积为10-4=6. ∴. ∴AC=6 故答案为：6. 【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出是△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案. 13．【答案】11 【解析】【解答】解：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：11. 【分析】由作图得到是的垂直平分线，即可得到，进而可得的周长为，代入计算即可． 14．【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠FGC， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠FGC， ∴FG∥AE； （2）解：∵FG⊥BC， ∴∠FHB＝90°， ∵AB∥CD，∠D＝120°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABH＝∠ABD＝30°， ∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°， ∴∠1的度数为60°． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出 ∠1＝∠FGC， 再根据 ∠1＝∠2求出∠2＝∠FGC， 最后根据平行线的判定方法证明求解即可； （2）根据垂直求出 ∠FHB＝90°，再根据平行线的性质求出 ∠ABD＝180°﹣∠D＝60°， 最后根据角平分线计算求解即可。 15．【答案】解：∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC，BD=CD. ∵　点C 在AE 的垂直平分线上， ∴　AC =CE，∴AB=AC=CE， ∴ AB+BD=DE. 【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到AB =AC，BD=CD，AC =CE，即可得到结论. 16．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等， 再根据角平分线的判定定理可得，点P在∠BOA的角平分线上， 从而得到：PO为角平行线. 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】根据题意可得，直尺宽度一样，从而得到点P到AO与BO的距离相等，再根据角平分线的判定定理可得，点P在 ∠BOA的角平分线，即可求证. 17．【答案】解：（1）：图形如图所示： （2）： C； （3）：900； （4）：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 【解析】【解答】解：（2）∵，，． ∴，是的垂直平分线； ∴，即平分，故A选项结论正确，不合题意； ，故D选项结论正确，不合题意； ∴故B选项结论正确，不合题意； 与不一定正确. 故C选项结论不正确，符合题意； 故答案为：C； （3）四边形的面积． 故答案为：900 （4）在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 故答案为：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 【分析】（1）根据对称性质作出顶点关于直线l的对称点，再依次连接即可求出答案. （2）根据全等三角形判定定理可得，根据垂直平分线性质可得，根据角平分线判定定理可判断A，根据垂直平分线性质可判断D，根据全等三角形判定定理可判断B，根据全等三角形判定定理可判断C. （3）根据四边形面积即可求出答案. （4）根据对称性质即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $