1.3空间向量及其运算的坐标表示导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“空间向量及其坐标表示”，涵盖空间直角坐标系建立、点与向量坐标表示及空间向量运算等核心内容。通过类比平面直角坐标系，以单位正交基底为支架，引导学生从二维向三维迁移，构建前后知识脉络。 资料以类比探究为主线，设计表格对比平面与空间向量运算，结合长方体、正方体等实例的例题与练习，培养学生抽象能力与空间观念。探究活动与分层习题助力自主学习，体现用数学思维推理、用数学语言表达的核心素养，提升知识应用能力。

课题三1.3 空间向量及其坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 空间 直角 坐标系 𝑂 {} 𝑂 的方向 的长度 𝑥轴 𝑦轴 z轴 课程导入：类比平面直角坐标系，我们可以二维转三维建立空间直角坐标系，在空间选定一点和一个单位正交基底.以点为原点,分别以的方向为正方向建系。 探究1：探究空间直角坐标系相关概念 (1) 空间直角坐标系定义 以的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴，它们都叫做 ，建立空间直角坐标系Oxyz.. 通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面 平面 平面，它们把空间分成八个部分． (2)空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标． 探究2：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 在空间直角坐标系中,给定向量,作 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 【例1】 如图1，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1） 写出，C，，四点的坐标； （2）写出向量，，的坐标． 练习1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 补充练、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出B，C1，B1，M，N五点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 1.3.2空间向量运算的坐标表示 探究1：类比平面直角系坐标运算类比，探究空间向量的坐标运算完成表格 平面向量坐标运算 空间向量的坐标运算 线性运算 加法 减法 数乘 数量积运算 直线方向向量 ， 则 【例2】已知，求下列各式的值： 练习2、已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0,－1,4)，(2,－1,－2)． 若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q (2)3p－q (3)(p－q)·(p＋q) 探究2：我们知道平面向量的坐标运算，可以帮助我们解决平行、垂直等位置关。那么，空间向量的坐标运算是否也可以解决空间中平行、垂直等位置关系呢？ 平面向量的特殊位置之平行 空间向量的特殊位置之平行 平面向量的特殊位置之垂直 空间向量的特殊位置之垂直 【例3】设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 练习3、在正方体中，已知E是的中点．求证 【例4】设，向量，，且，则（    ） A． -4 B．-1 C．4 D．1 练习4、如图，在正方体中，，分别是，的中点． 求证：． 探究3：类比平面直角系坐标运算，探究空间向量模、两点距离、向量夹角坐标公式 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 ， 思考：你能证明空间两点间的距离公式吗？（小组交流） 如图，建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则 于是 所以 【例5】（1）．若，则的值为___________. （2）．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则与的夹角为________． 练习5、如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 补充练、如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题: (1) 求两点间的距离 (2) 求与所成角的余弦值；． 课题三1.3 空间向量及其坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 空间 直角 坐标系 𝑂 {} 𝑂 的方向 的长度 𝑥轴 𝑦轴 z轴 课程导入：类比平面直角坐标系，我们可以二维转三维建立空间直角坐标系，在空间选定一点和一个单位正交基底.以点为原点,分别以的方向为正方向建系。 探究1：探究空间直角坐标系相关概念 (2) 空间直角坐标系定义 以的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴，它们都叫做坐标轴 ，建立空间直角坐标系Oxyz.. 通过两条坐标轴的的平面叫做坐标平面，分别称为 平面 Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)， 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，，其中 x 叫做点A的横坐标， y 叫做点A的纵坐标， z 叫做点A的竖坐标． 探究2：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 在空间直角坐标系中,给定向量,作 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作： 【例1】 如图1，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （2） 写出，C，，四点的坐标； （2）写出向量，，的坐标． （1）点在z轴上，且，所以．所以点的坐标是， 同理，点C的坐标是 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2， 所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2， 所以点的坐标是． （2）； 练习1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 【解析】（1）因为，，，所以 （2）因为，，， 补充练、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出B，C1，B1，M，N五点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. 1.3.2空间向量运算的坐标表示（答案） 探究1：类比平面直角系坐标运算类比，探究空间向量的坐标运算完成表格 平面向量坐标运算 空间向量的坐标运算 线性运算 加法 减法 数乘 数量积运算 直线方向向量 ， 则 【例2】已知，求下列各式的值： 练习2、已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0,－1,4)，(2,－1,－2)． 若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q (2)3p－q (3)(p－q)·(p＋q)-26 探究2：我们知道平面向量的坐标运算，可以帮助我们解决平行、垂直等位置关。那么，空间向量的坐标运算是否也可以解决空间中平行、垂直等位置关系呢？ 平面向量的特殊位置之平行 空间向量的特殊位置之平行 平面向量的特殊位置之垂直 空间向量的特殊位置之垂直 【例3】设，向量，，，则（   B） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 练习3、在正方体中，已知E是的中点．求证 略【详解】（1）证明：连接，在正方体中，， 在平面中，因分别为的中点， 所以，，故. 【例4】设，向量，，且，则（  D  ） A. -4 B．-1 C．4 D．1 【答案】D 【解析】， ， ，， ，解得：. 故选：D 练习4、如图，在正方体中，，分别是，的中点． 求证： 以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则：． 因为，所以，所以． 究3：类比平面直角系坐标运算，探究空间向量模、两点距离、向量夹角坐标公式 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 ， 思考：你能证明空间两点间的距离公式吗？（小组交流） 如图，建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则 于是 所以 【例5】（1）．若，则的值为_6__________. （2）．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则与的夹角为_60度____． 练习5、如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 【解析】（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系 ，则点的坐标为，点的坐标为．于是． （2）由已知，得，，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 补充练、如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题: (3) 求两点间的距离 (4) 求与所成角的余弦值；． （1）因为是的中点，所以 又因为，所以 即两点之间的距离为. （2）因为，所以 因为，且所以 即与所成角的余弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $