1.3.2 空间向量运算的坐标表示导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量运算的坐标表示，通过“温故”环节回顾空间直角坐标系的建立、坐标平面等基础，“知新”环节引导自主探究向量坐标运算规则，搭建从平面向量到空间向量的学习支架。 资料特色在于“反思”部分融合历史背景与应用价值，培养学生用数学眼光观察现实问题，课前自测分层设计提升运算能力与推理意识，坐标化工具实现“以算代证”，发展用数学语言表达空间关系的能力。

1.3.2空间向量运算的坐标表示 预习提要 1.回顾空间直角坐标系； 2.阅读课本P19—P21内容，自主探究空间向量运算的坐标表示，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做，这时就建立了一个空间直角坐标系叫做都叫做. 2．通过每两条坐标轴的平面叫做，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成个部分. 3．画空间直角坐标系时，一般使或. 4．右手直角坐标系：让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为坐标系. 5．在空间直角坐标系中，对空间任意一点，对应一个向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 6．在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的，叫做点的，叫做点的. 7．在空间直角坐标系中，给定向量，作，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，可简记作. 8．在空间直角坐标系中，空间中的和都可以用三个有序实数表示. 二、知新 1．一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的坐标减去坐标. 2．设，当时，，，. 3．设，当时，. 4．设，则. 5．设，则=. 6．设是空间中任意两点，则. 7．空间两点间的距离公式：设，则. 课前自测 1．已知向量，，若，则实数x的值为( ) A.8 B.7 C. D.14 2．若，，则( ) A.5 B. C.7 D. 3．在空间直角坐标系中，已知，，则“”是“a与b的夹角为锐角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．已知，，则________. 5．已知向量，，. (1)求； (2)若，求m，n； (3)求. 反思 平面向量诞生后，爱尔兰数学家哈密顿率先提出三维向量理论，将向量拓展至空间；后来数学家结合笛卡尔的空间直角坐标系，把向量运算全部转化为坐标代数计算，形成我们今天学习的空间向量运算的坐标表示. 在这套理论出现前，空间中线面平行、垂直、夹角问题只能依靠复杂立体几何辅助线推导，难度极大.有了坐标体系后，空间向量不再依赖几何图形，仅通过分量数字就能完成加减、数乘、数量积全部运算.这套坐标化工具彻底革新立体几何解题思路，实现“以算代证”.如今工程三维建模、航空飞行器姿态测算、物理空间受力分析、3D图形渲染，都依靠空间向量坐标运算完成数值计算.高中阶段，利用坐标法求异面直线夹角、线面角、二面角，判断线面位置关系，全部建立在向量坐标运算之上. 答案及解析 一、温故 1．坐标轴；原点；坐标向量 2．坐标平面；八 3． 4．右手直角 5． 6．横坐标；纵坐标；竖坐标 7． 8．点；向量 二、知新 1．终点；起点 2． 3． 4． 5． 6． 7． 课前自测 1．答案：B 解析：因为，所以，即，解得：. 故选：B. 2．答案：B 解析：，，，， ，.故选B. 3．答案：B 解析：若a与b的夹角为锐角，则有，即且不等于1，解得且.因为是的真子集，所以“”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选B. 4．答案： 解析：. 故答案为:. 5．答案：(1) (2) (3) 解析：(1)因为向量，，所以； (2)因为向量，，所以，解得，； (3)因为，，所以，， 则. 学科网（北京）股份有限公司 $