3.1.1 课时1 函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念及三要素，从回顾初中一次、反比例、二次函数入手，通过自由落体运动、空气质量指数变化图、恩格尔系数表格等情境，引导学生用集合语言抽象概括函数定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实问题为驱动，通过观察辨析培养数学眼光，用归纳推理发展数学思维，用符号表格强化数学语言。如通过三个情境归纳共同特征，活动2用表格梳理初中函数三要素，助力学生深化理解，教师可依托此资料提升教学效率。

3.1.1 课时1 函数的概念 32100 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？ 2.初中对函数是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 一次函数：； 反比例函数：； 二次函数： 问题导入 32100 1.通过观察、辨析具体实例的共同属性，能用集合的语言刻画的函数的概念. 2.掌握函数的概念及函数的三要素：定义域、值域、对应关系. 3.会求一些简单函数的定义域. 学习目标 32100 3 活动1：完成下列情境问题，归纳出函数的概念. 探究1：用集合语言刻画函数的概念 问题1：某物体从高度为44.1m的空中自由落下，物体下落的距离s与所用时间t 的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为 ，其中g=9.8m/s2. （1）式子 是函数吗？请说明理由. 是.理由：这里是两个变量，而且对于t中的每一个确定的数，都有唯一确定的值与之对应. 新知探究 32100 （2）如果有人说：“根据式子 ，可以求出4s时，物体的下落距离为78.4m”,你认为这个说法正确吗？请说明理由. 问题1：某物体从高度为44.1m的空中自由落下，物体下落的距离s与所用时间t 的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为 ，其中g=9.8m/s2. 不能，因为在实际情境中，物体落地后就不会再自由落体，而此时物体下落的最大距离为44.1m，所经历的的时间是3s，之后物体不会在自由落体. 32100 （3）你认为该如何表述s与t的对应关系才更精确，请说明理由. 问题1：某物体从高度为44.1m的空中自由落下，物体下落的距离s与所用时间t 的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为 ，其中g=9.8m/s2. 物体下落的距离s与所用时间t的关系是： ，其中t的变化范围是 ，下落距离s的变化范围是 .对于集合A中任意时间t，按照对应关系 ，在数集B中都有唯一确定的距离s与之对应. 32100 问题2：下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图. （1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I? （2）你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗? （3）你认为这里的I是t的函数吗？ t=8时，I=50 对于数集A2=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B2=____________中都有唯一确定的空气质量I和它对应． 故I是t的函数. {I|0<I<150} {t|0≤t≤24} 图像法表示函数 32100 问题3：国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 思考:你认为按上表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数? 对于数集A3={y∈Z|2006≤y≤2015}的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B3={r|0<r≤1}中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应．故r是y的函数. 列表法表示函数 32100 上述问题的共同特征有: (1)都包含两个非空数集，一个是自变量对应的数集，一个是因变量对应的数集，用A,B来表示； (2)都有一个对应关系； (3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一 个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 议一议：上述问题1～问题3中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系. 32100 函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数,记作： 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 思考：函数值域为什么不用来表示呢？你能结合前面的情景说明吗？ 归纳总结 32100 问题情景 自变量的集合 对应 关系 函数值所在集合 函数值的集合 问题2 ={t|0≤t≤24} 图 ={I|0＜I＜150} C2(C2⊆B2) 问题3 ={2006，2007，...，2015} 表 ={r|0<r≤1} ={0.3669，0.3681，...，0.2857} 思考：函数值域为什么不用来表示呢？你能结合前面的情景说明吗？ 函数值的集合(值域) C ⊆ 函数值所在的集合B 定义域 值域 C3⊆B3 32100 定义域 值域 对应关系 函数的三要素： 32100 活动2：小组讨论，用函数定义重新认识初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数，完成下述表格. 函数类型 定义域 对应关系 值域 一次函数 二次函数 反比例函数 32100 活动3：构建问题情境，解释函数 的对应关系，并找出相应的定义域、值域、对应关系. 长方形的面积为1，设长为x，宽为y，则 ， 其中定义域为 ，值域为 ，对应关系f：在面积一定的情况下，把每个长方形的长x，对应到唯一确定的宽y. 探究2：理解函数的定义及三要素 32100 函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 归纳总结 32100 3.小组合作，试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述。 定义域 对应关系 值域 练一练 32100 回答下列问题，构建知识导图. （1）什么是函数？函数三要素是什么？ （2） 与 的异同是什么？ （3）函数概念是如何得出的，在它的探究过程中你有什么启发和收获？ 课堂总结 32100 1.判断下列式子能否表示y是x的函数. ①y=|x| ②|y|=x ③y=x2 ④y2=x ⑤x2+y2=1 x=1，y=±1 x=0，y=±1 x=1，y=±1 对唯一性的理解：允许一对一或者多对一，不能一对多. 2.从函数的三要素，分析函数与函数联系和区别. 随堂检测 32100 3. 集合A，B与对应关系f如下图所示，f : A→B是否为从集合A到集合B的函数? 如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么? 解：f: A→B是从集合A到集合B的函数， 定义域为A={1, 2, 3, 4, 5}； 值域为B={2, 3, 4, 5}； 对应关系f为问题中的Venn图. 注意： 32100 $