1.2 空间向量基本定理导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理，通过“任意空间向量能否用三个不共面向量表示”的问题引导小组讨论，结合投影向量及平面向量基本定理推导，搭建从平面到空间的学习支架，关联向量共线定理形成知识脉络。 资料以类比迁移和小组合作为特色，通过表格对比深化对定理的理解，例题与练习覆盖四面体、平行六面体等几何体，培养学生空间观念和推理能力，提升用数学语言表达空间关系的能力，助力掌握基底应用。

课题二 空间向量基本定理 课程导入： 思考：那么任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？（小组讨论） 如图：设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示? 设，为在，所确定的平面上的投影向量，由加法得= 又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得= ，从而= 由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而= . 探究1：类比平面向量基本定理，在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，如何用不共面向量a，b，c表示任一空间向量？ 平面向量的基本定理 空间向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 思考：由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表.（小组讨论） 定理 分类 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 1 2 基向量要求 ，不共线 对于实数（对、组） 【例1】 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 练习1．如图，已知四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，点G是MN的中点，试用向量，，表示. 补充练、如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】 如图，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： 练习2、 如图，在平行六面体中，，， 求证：（1）直线． （2）直线 补充练、 如图，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 课题二 1.2空间向量基本定理 课程导入： 思考：那么任意一个空间向量量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？（小组讨论） 如图：设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示? 设，为在，所确定的平面上的投影向量，由加法得= 又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得= ，从而= 由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而= . 探究1：类比平面向量基本定理，在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，如何用不共面向量a，b，c表示任一空间向量？ 平面向量的基本定理 空间向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 思考：由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表.（小组讨论） 定理 分类 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 1 2 基向量要求 ，不共线 对于实数（对、组） 【例1】 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 练习1．如图，已知四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，点G是MN的中点，试用向量，，表示. 补充练、如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】 如图，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： 练习2、 如图，在平行六面体中，，， 求证：（1）直线． （2）直线 补充练、 如图，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值 课题二 1.2空间向量基本定理（答案） 课程导入： 思考：那么任意一个空间向量量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？（小组讨论） 如图：设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示? 设，为在，所确定的平面上的投影向量，由加法得，又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而 由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而 探究1：类比平面向量基本定理，在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，如何用不共面向量a，b，c表示任一空间向量？ 平面向量的基本定理 空间向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得． 由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 思考：由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表.（小组讨论） 定理 分类 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 1 2 3 基向量要求 ，不共线 ，，不共面 对于实数（对、组） 【例1】 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 分析：，，是三个不共面的向量， 它们构成空间的一个基底， 可以用基底表示出来． 【解析】 ． 练习1．如图，已知四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，点G是MN的中点，试用向量，，表示. 略 补充练、如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（  D ） A． B． C． D． 【例2】 如图，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： 证明：设，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ， 所以 所以． 练习2、 如图，在平行六面体中，，， 求证：（1）直线． （2）直线 略 补充练、 如图，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． （1）证明：设， 则构成空间的一个单位正交基底．所以 ， ． 所以．所以． （2）解：因为，， 所以 所以与所成角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $