1.2 第2课时 空间向量基本定理的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理的应用，涵盖平行共面、夹角垂直、长度问题三大核心内容。通过探究问题类比平面向量基本定理，回顾共线共面条件，搭建从平面到空间的知识支架，引导学生理解空间向量的线性运算及应用。 资料以典例解析为核心，搭配解题感悟和分层练习，引导学生用向量语言表达几何关系，培养数学语言的应用能力。通过逻辑推理证明平行垂直、计算夹角长度发展数学思维，从空间图形中抽象向量关系提升数学眼光，助力学生掌握空间向量解决几何问题的方法。

1.2 空间向量基本定理 第2课时 空间向量基本定理的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理. 2.能通过空间向量的线性运算用基底表示向量，掌握空间向量平行与垂直的运算. 一、平行、共面问题 探究1　在平面内如何用向量解决直线平行和点共线问题？ 探究2　回顾平面向量基本定理，并思考其逆定理是否成立. ⚪梳理教材 1.对于空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . 2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝ . ⚪温馨提示　（1）＝λ可证，共线，即A，B，C三点共线；＝λ可证∥. （2）＝x＋y，可证，，共面，即A，B，C，D四点共面. 【典例1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，A1D1的中点，求证：，，是共面向量. ⚪解题感悟 证明平行、共面问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. （2）利用空间向量基本定理证明点、线共面或线面平行. 【练习1】　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C. 二、夹角、垂直问题 探究3　如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题以及求解夹角问题？ ⚪梳理教材 （1）向量的夹角公式：向量a，b的夹角为＜a，b＞，则cos＜a，b＞＝. （2）非零向量a，b垂直的充要条件是a·b＝0. ⚪温馨提示　区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围. 【典例2】　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. （1）证明：EF⊥B1C； （2）求EF与C1G所成角的余弦值. ⚪解题感悟 　　（1）证明两直线垂直的方法 由数量积的性质a⊥b＝a·b＝0（a，b≠0）可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. （2）求两个向量的夹角的两种方法 ①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围； ②先求a·b，再利用公式cos＜a，b＞＝求cos＜a，b＞，最后确定＜a，b＞. 【练习2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. （1）求＜，＞的余弦值； （2）求证：⊥. 三、长度问题 探究4　如何求向量a的长度？ ⚪梳理教材 几何中求距离（长度）问题都可以转化为求向量的模，即｜a｜＝（｜｜＝ ）. 【典例3】　在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN. ⚪解题感悟 求两点间的距离或线段长度的方法 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝，通过计算求出｜a｜，即得所求距离或线段长度. 【练习3】　如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长. ⚪课堂达标 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD的位置关系是（　 　） A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断 2.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为（　 　） A.90° B.60° C.45° D.30° 3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　 　） A. B. C. D. 4.如图，在三棱锥O－ABC中，点G为底面三角形ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F.若＝k，＝m，＝n，则＋＋＝（　 　） A. B. C. D. 解析版 ⚪学习目标　1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理. 2.能通过空间向量的线性运算用基底表示向量，掌握空间向量平行与垂直的运算. 一、平行、共面问题 探究1　在平面内如何用向量解决直线平行和点共线问题？ 提示：转化为向量共线问题，再利用向量共线的充要条件求解. 探究2　回顾平面向量基本定理，并思考其逆定理是否成立. 提示：成立. ⚪梳理教材 1.对于空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使　a＝λb　. 2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝　xa＋yb　. ⚪温馨提示　（1）＝λ可证，共线，即A，B，C三点共线；＝λ可证∥. （2）＝x＋y，可证，，共面，即A，B，C，D四点共面. 【典例1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，A1D1的中点，求证：，，是共面向量. 证明：＝＋＋＝－＋＝（＋）－＝－，所以向量，，是共面向量. ⚪解题感悟 证明平行、共面问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. （2）利用空间向量基本定理证明点、线共面或线面平行. 【练习1】　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 证明：取基底{，，}， (1)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2，所以∥， 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，EG⊄平面AB′C， AC⊂平面AB′C. 可得 EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. 二、夹角、垂直问题 探究3　如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题以及求解夹角问题？ 提示：①若a，b是非零向量， 则a⊥b⇔a·b＝0. ②θ为a，b的夹角，则cos θ＝. ⚪梳理教材 （1）向量的夹角公式：向量a，b的夹角为＜a，b＞，则cos＜a，b＞＝. （2）非零向量a，b垂直的充要条件是a·b＝0. ⚪温馨提示　区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围. 【典例2】　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. （1）证明：EF⊥B1C； （2）求EF与C1G所成角的余弦值. 解：　（1）证明：设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底. ∴＝＋ ＝－k＋（＋）＝i＋j－k， ＝＋＝－i－k， ∴＝（i＋j－k）·（－i－k）＝－｜i｜2＋｜k｜2＝0， ∴⊥， 即EF⊥B1C. （2）∵＝i＋j－k， ＝＋＝－k－j， ∴｜｜2＝（i＋j－k）2＝｜i｜2＋｜j｜2＋｜k｜2＝3， 即｜｜＝， ｜｜2＝（－k－j）2＝｜k｜2＋｜j｜2＝4＋＝， 即｜｜＝， ∴cos＜，＞＝＝＝＝. 故EF与C1G所成角的余弦值为. ⚪解题感悟 　　（1）证明两直线垂直的方法 由数量积的性质a⊥b＝a·b＝0（a，b≠0）可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. （2）求两个向量的夹角的两种方法 ①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围； ②先求a·b，再利用公式cos＜a，b＞＝求cos＜a，b＞，最后确定＜a，b＞. 【练习2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. （1）求＜，＞的余弦值； （2）求证：⊥. 解：（1）＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－. 因为＝0，＝0，＝0， 所以＝（－）·（＋）＝.又｜｜＝｜｜＝， 所以cos＜，＞＝. （2）证明：连接BD（图略），＝＋＝－＋，＝＋＝－（＋）， 所以＝（－＋）·［－（＋）］＝－（－＋＋－＋2）＝0，所以⊥. 三、长度问题 探究4　如何求向量a的长度？ 提示：｜a｜＝＝. ⚪梳理教材 几何中求距离（长度）问题都可以转化为求向量的模，即｜a｜＝（｜｜＝　　）. 【典例3】　在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN. 解：∵＝＋＋ ＝＋（－）＋（－） ＝－＋＋， ∴｜｜2＝（－＋＋）2 ＝－－＋＋＋ ＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2 ＝a2. 故｜｜＝a，即MN＝a. ⚪解题感悟 求两点间的距离或线段长度的方法 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝，通过计算求出｜a｜，即得所求距离或线段长度. 【练习3】　如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长. 解：∵＝＋＋， ∴｜｜2＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2＋2＋2＝62＋42＋32＋2｜｜｜｜cos 120°＝61－12＝49，∴｜｜＝7，即PC＝7. ⚪课堂达标 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD的位置关系是（　C　） A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断 2.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为（　B　） A.90° B.60° C.45° D.30° 解析：因为SA⊥底面ABC，AC，AB⊂底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以＝0， 因为AB⊥BC，AB＝BC＝2， 所以∠BAC＝45°，AC＝2. 因此＝｜｜｜｜cos 45°＝2×2×＝4. 所以＝（－）·＝－＝4， 因为SA＝2，SA⊥AC，所以SC＝＝4， 因此cos＜，＞＝＝＝， 所以SC与AB所成角的大小为60°. 3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　C　） A. B. C. D. 解析：设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝2，｜b｜＝｜c｜＝1，＝c－a，＝b＋c，a·b＝｜a｜·｜b｜cos∠ABC＝2×1×cos 120°＝－1，a·c＝b·c＝0，｜｜＝｜c－a｜＝，｜｜＝｜b＋c｜＝，＝（c－a）·（b＋c）＝b·c＋c2－a·b－a·c＝0＋1－（－1）－0＝2，所以cos＜，＞＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 4.如图，在三棱锥O－ABC中，点G为底面三角形ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F.若＝k，＝m，＝n，则＋＋＝（　D　） A. B. C. D. 解析：连接AG（图略），由题意可知，＝＝（＋）＝［＋×（＋）］＝［＋（－）＋（－）］＝＋＋，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，所以－＝λ（－）＋μ（－），所以＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）k＋λm＋μn， 所以 所以＋＋＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝.故选D. 页 学科网（北京）股份有限公司 $