专题01 一元函数的导数及其应用（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了一元函数的导数及其应用专题，涵盖导数概念、运算、单调性、极值最值等基础考点，以及过定点多切线、隐零点、极值点偏移等难点，通过知识脑图搭建核心脉络框架。 清单采用基础梳理与高阶思维分层突破，设置题型分类、技法点拨及易错剖析模块，如“过定点多切线问题五步解题法”“隐零点特值试探策略”，培养学生数学思维与表达素养。配套新题对点练和高考母题探究，标注易错点如复合函数求导漏层，助力学生自主夯实基础，教师可据此精准指导复习方向。

专题01 一元函数的导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03导数与函数的单调性 考点04导数与函数的极值、最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01过定点的多切线问题 难点解读02函数的隐零点问题 难点解读03极值点偏移问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01曲线切线方程求解 题型02利用导数研究函数的极值与最值 题型03导数综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01含参函数的单调性讨论 重点02单变量不等式恒成立问题 重点03双变量不等式恒成立问题 重点04导数与函数的零点问题 重点05导数构造法解函数不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01导数定义在极限中的应用 技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题 技法点拨03曲线“过”某点的切线问题 技法点拨04两曲线的公切线问题 技法点拨05已知函数的单调性求参数 技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点 技法点拨07已知函数的极值求参数 技法点拨08利用导数研究函数的最值 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错 易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系 易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关系 易错点04误解导数正负与函数图象升降关系 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 【新题对点练】（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 【答案】/ 【解析】设，函数定义域为， 得到，所以，即曲线在处的切线斜率为. 设切线的倾斜角为，其中，由斜率定义可知，解得. 考点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． 【新题对点练】（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】， 故，所以． 考点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【新题对点练】（25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为.故选：A. 考点04 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． 【新题对点练】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数，则在上的极值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：， 令，得或， 因为，所以， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为， 在上无极大值.故选：C. 难点解读01 过定点的多切线问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点坐标为，， 所以斜率， 则切线方程为， 又在切线上，所以 因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解， 整理得，所以，解得或.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设曲线在点处的切线过点， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，则该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当和时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得，即的取值范围是.故选：B. 难点解读02 函数的隐零点问题 导函数的零点不可求时的应对策略： 1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． 2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 【典例1】（26-27高三上·河南濮阳·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 【典例2】（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 【答案】(1)；(2)见解析 【解析】（1）由题意可得， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解方程得. （2）令，， 由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设. 求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，又，， 根据零点存在定理可知存在唯一的使得 . 所以当，，函数在区间上单调递减； 当，，函数在区间上单调递增. 由，得，从而， 又因为，， 所以，故. 难点解读03 极值点偏移问题 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。 证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式． 【典例1】（2026高三下·重庆·专题练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故，所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 【典例2】（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 素养进阶·答题技法突破 题型01函数切线方程求解 考情定位：选填高频基础题，难度偏低，常单独命题或融入解答第一问，侧重导数几何意义基础运算． 核心考法：已知切点求切线、过外部点求切线、两条曲线公切线、切线斜率 / 倾斜角反求参数． 解题要点：切点同时满足曲线与切线方程，斜率等于切点导数值；过点切线需设切点坐标联立方程求解，公切线联立斜率与截距两组等式． 【典例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则________. 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 题型02 利用导数研究函数的极值与最值 考情定位：导数基础模块，常单独设问或作为综合大题中间步骤，是零点、恒成立问题的必备基础． 核心考法：求解函数极值、判定极值点；求指定闭区间上函数最大值与最小值；根据极值、最值条件反向求解参数取值． 解题要点：先确定函数定义域，求出全部临界点（导数为0或导数不存在的点）；通过临界点左右导函数符号区分极大值、极小值；闭区间最值需同步计算端点函数值，将极值与端点值对比得到最终最值；已知极值/最值求参后，务必回代检验参数是否符合题意． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有，故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 题型03 导数综合应用 考情定位：导数解答题核心大题，分值占比高，综合性极强，完整覆盖导数中档到压轴全部考点，是试卷区分度核心题型． 核心考法：不含参与含参函数单调区间讨论；根据零点个数求解参数范围；不等式恒成立、存在性求参；构造函数证明不等式、隐零点代换应用． 解题要点：解题第一步锁定函数定义域；含参单调性按二次项系数、判别式、零点顺序分层讨论；零点问题数形结合，对比极值与 0 的大小；恒成立优先参变分离转化为最值问题；证明类题型构造辅助函数，必要时借助二阶导分析函数走势，严格验证等号成立条件． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为，解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. (2)（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 重点01 含参函数的单调性讨论 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，当时，求函数的单调递增区间． 【答案】当时，的递增区间是， 当时，的递增区间是 当时，的递增区间是，． 【解析】因为定义域为， 所以， 当，即时，由，解得或； 当时，恒成立， 当，即时，由，解得或， 综上，当时，的递增区间是，； 当时，的递增区间是； 当时，的递增区间是，． 【典例2】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 即，解得， 所以，又， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 且 当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； 当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 重点02 单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、，． 【典例1】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】函数，由不等式恒成立， 即恒成立， 设，可得，可得， 所以为单调递增函数，可得，所以，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值为. 【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当，， ，，不符； 当，对于，， 单调递增， 当，，，，， 此时，不符； 当，对于，， 令，， 令，，单调递增， 令，，单调递减， 所以， 的最小值为， 易知，若存在两个零点，则两个零点互为相反数， 而与图像的存在两个交点时，交点横坐标都为正数， 即函数不存在互为相反数的零点， 所以与的变号零点不可能完全相同， 故要使对一切恒成立， ，，则，解得. 重点03 双变量不等式恒成立问题 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【典例1】（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】，得或， 因为，所以，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，，所以函数在区间的值域是， ，在区间恒成立，所以在区间单调递增， 所以在区间的值域为， 由条件可知函数在区间的值域是在区间的值域的子集， 即是的子集， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 【典例2】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【解析】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 重点04 导数与函数的零点问题 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【典例1】（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【解析】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 【典例2】（2026·湖北孝感·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； 【答案】(1)；(2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2. 【解析】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 重点05 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造． 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于，所以， 即不等式的解集为. 【典例2】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 技法点拨01 导数定义在极限中的应用 瞬时变化率的变形形式 ． 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，则____. 【答案】 【解析】根据导数的定义，极限 ​表示函数在处的导数值 ， 因为求导，， 所以. 【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为， 所以.故选：C. 技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【典例1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【解析】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 【典例2】（2026·河北秦皇岛·二模）曲线在点处的切线与直线平行，则________. 【答案】 【解析】对函数求导可得 ， 由于曲线在点处的切线与直线平行，那么 即 ，解得. 技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 【典例2】（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【解析】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为. 技法点拨04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【典例1】（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【答案】 【解析】因为，所以，则， 切线斜率，切线方程：为，即， 设与相切于点， 因此，切点在切线上， ， 即. 【典例2】（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 技法点拨05 已知函数单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 【典例1】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【典例2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 当单调递增，当单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围是.故选：A 技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【典例1】（25-26高三上·云南·阶段检测）函数的极小值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B【解析】由， 可得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为.故选：B． 【典例2】（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】设，则，，即， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以的极大值点为．故选：B． 技法点拨07 已知函数的极值求参数 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数： ①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围； ②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围； ③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【典例1】（2026·河北·二模）已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为，所以． 当时，由得，由得， 由得， 所以的极小值点为0，故． 【典例2】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：C. 技法点拨08 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【典例1】（25-26高三下·海南·阶段检测）函数在上的最小值为______． 【答案】1 【解析】根据题意可得，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以是区间上的极小值点，也是最小值点， 则. 【典例2】（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【答案】1 【解析】函数， 当时，. 若，则，，所以在上单调递增， 在上的最小值为，符合题意； 若，则，，所以在上单调递减， 在上的最小值为，不符合题意； 若，则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 所以的最大值为. 易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错 辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写． 【典例1】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的导函数.故选：C 【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，.故选：D 易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系 辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号． 【典例1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【答案】D 【解析】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确.故选：D 【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【解析】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定.故选：ABD 易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系 辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件． 【典例1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是.故选：A. 【典例2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系 辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负． 【典例1】（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（    ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【解析】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 【典例2】（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·河南信阳·二模）已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】， 由可得． 2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，令，则，解得， 则曲线在处的切线的倾斜角为. 3．（25-26高三上·福建·期中）若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且， ，解得.故选:C. 4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以.故选：C 5．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0故选：D 6．（2026·江苏南京·模拟预测）若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意，得，令，解得或， 当时，，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 因为，，再令，解得或者0，所以大致图像如图所示， 结合图像，要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，所以a可取2. 7．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取到最小值， 因为函数在上恰有一个零点，则必有，解得. 8．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上有三个零点，即方程有三个根， 不妨设．设，则函数的图象与直线有三个交点． 函数 当时， 在上单调递增，且； 当时，，当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增． 又，当时，，当时，，当时，，作出函数的大致图象，如图所示． 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，即实数的取值范围是． 二、多选题 9．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 10．（2026·湖南·一模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 【答案】AD 【解析】，由，解得， 由，解得或， 所以在和上单调递减，在区间上单调递增， 所以，分别为的极小值点和极大值点， 则有两个极值点，故A正确； 因为，所以， 根据在区间上单调递增，所以，故B错误； ，，， 结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误； 结合图象可知不等式的解集为且，故D正确． 11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．当方程有三个不等的实根时， C．当不等式恰有三个不等的正整数解时， D．当过点可作曲线的三条切线时， 【答案】BC 【解析】由题意，在中，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，当时，， ∴， 当方程有三个不等的实根时， ∴，即，故B正确； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， ∵，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， ∴当即时，的图象在上方的正整数解为，C正确； 设切点为，则切线斜率， 切线方程为， ∵切线过点，∴， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， ∵过点可作曲线的三条切线， ∴方程有两个不同的非零实根， ∴且，即且， 解得或或，D选项错误.故选：BC 三、填空题 12．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）若在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需，解得， 故答案为：. 13．（25-26高三上·四川自贡·期末）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】设，，则，. 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则公切线的斜率，消去，得. 因为，所以，即， 将其代入并分离参数，得. 令，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，极大值为. 当时，，当时，. 因为曲线与曲线有三条公切线， 所以关于的方程恰有3个不同的实数解， 则，即. 14．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】因为，构造函数， 因为，所以函数是增函数， 因为，所以， 因为，所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题 15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)，在上单调递增；，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，故，在上单调递增， 当时，令得， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可得：若，则在上单调递增，最小值为，与矛盾， 若，则的极小值点为， ①当，即时，在上单调递增，最小值为，与矛盾， ②当，即时，在上单调递减，最小值为，解得，满足， ③当，即时，最小值为，解得，即，但，不满足，故舍去， 综上，. 16．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1)；(2)两个零点；(3)3 【解析】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． $专题01 一元函数的导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03导数与函数的单调性 考点04导数与函数的极值、最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01过定点的多切线问题 难点解读02函数的隐零点问题 难点解读03极值点偏移问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01曲线切线方程求解 题型02利用导数研究函数的极值与最值 题型03导数综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01含参函数的单调性讨论 重点02单变量不等式恒成立问题 重点03双变量不等式恒成立问题 重点04导数与函数的零点问题 重点05导数构造法解函数不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01导数定义在极限中的应用 技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题 技法点拨03曲线“过”某点的切线问题 技法点拨04两曲线的公切线问题 技法点拨05已知函数的单调性求参数 技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点 技法点拨07已知函数的极值求参数 技法点拨08利用导数研究函数的最值 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错 易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系 易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关系 易错点04误解导数正负与函数图象升降关系 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 【新题对点练】（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 考点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． 【新题对点练】（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．5 考点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【新题对点练】（25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 考点04 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． 【新题对点练】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数，则在上的极值为（    ） A． B． C． D． 难点解读01 过定点的多切线问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 【典例1】（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 难点解读02 函数的隐零点问题 导函数的零点不可求时的应对策略： 1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． 2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 【典例1】（26-27高三上·河南濮阳·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 难点解读03 极值点偏移问题 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。 证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式． 【典例1】（2026高三下·重庆·专题练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【典例2】（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 素养进阶·答题技法突破 题型01函数切线方程求解 考情定位：选填高频基础题，难度偏低，常单独命题或融入解答第一问，侧重导数几何意义基础运算． 核心考法：已知切点求切线、过外部点求切线、两条曲线公切线、切线斜率 / 倾斜角反求参数． 解题要点：切点同时满足曲线与切线方程，斜率等于切点导数值；过点切线需设切点坐标联立方程求解，公切线联立斜率与截距两组等式． 【典例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则________. 题型02 利用导数研究函数的极值与最值 考情定位：导数基础模块，常单独设问或作为综合大题中间步骤，是零点、恒成立问题的必备基础． 核心考法：求解函数极值、判定极值点；求指定闭区间上函数最大值与最小值；根据极值、最值条件反向求解参数取值． 解题要点：先确定函数定义域，求出全部临界点（导数为0或导数不存在的点）；通过临界点左右导函数符号区分极大值、极小值；闭区间最值需同步计算端点函数值，将极值与端点值对比得到最终最值；已知极值/最值求参后，务必回代检验参数是否符合题意． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型03 导数综合应用 考情定位：导数解答题核心大题，分值占比高，综合性极强，完整覆盖导数中档到压轴全部考点，是试卷区分度核心题型． 核心考法：不含参与含参函数单调区间讨论；根据零点个数求解参数范围；不等式恒成立、存在性求参；构造函数证明不等式、隐零点代换应用． 解题要点：解题第一步锁定函数定义域；含参单调性按二次项系数、判别式、零点顺序分层讨论；零点问题数形结合，对比极值与 0 的大小；恒成立优先参变分离转化为最值问题；证明类题型构造辅助函数，必要时借助二阶导分析函数走势，严格验证等号成立条件． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 重点01 含参函数的单调性讨论 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，当时，求函数的单调递增区间． 【典例2】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 重点02 单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、，． 【典例1】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重点03 双变量不等式恒成立问题 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【典例1】（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 【典例2】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 重点04 导数与函数的零点问题 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【典例1】（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 【典例2】（2026·湖北孝感·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； 重点05 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造． 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 导数定义在极限中的应用 瞬时变化率的变形形式 ． 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，则____. 【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【典例1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【典例2】（2026·河北秦皇岛·二模）曲线在点处的切线与直线平行，则________. 技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 技法点拨04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【典例1】（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【典例2】（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 技法点拨05 已知函数单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 【典例1】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【典例1】（25-26高三上·云南·阶段检测）函数的极小值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【典例2】（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 技法点拨07 已知函数的极值求参数 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数： ①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围； ②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围； ③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【典例1】（2026·河北·二模）已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 技法点拨08 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【典例1】（25-26高三下·海南·阶段检测）函数在上的最小值为______． 【典例2】（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错 辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写． 【典例1】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系 辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号． 【典例1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系 辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件． 【典例1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【典例2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系 辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负． 【典例1】（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（    ）    A．     B．   C．   D．   【典例2】（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·河南信阳·二模）已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建·期中）若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 6．（2026·江苏南京·模拟预测）若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·湖南·一模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．当方程有三个不等的实根时， C．当不等式恰有三个不等的正整数解时， D．当过点可作曲线的三条切线时， 三、填空题 12．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）若在上单调递增，则的取值范围是________． 13．（25-26高三上·四川自贡·期末）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 14．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 四、解答题 15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值． 16．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． $