专题10：数据的表示和分析（一）（思维拓展）北师大版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题10： 数据的表示和分析（一） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：数据分段整理 3 考点二：条形统计图认知 4 考点三：数据分析与比较 5 考点四：统计综合应用 6 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：分段边界重复或遗漏 8 易错点 2：纵轴刻度看错 8 易错点 3：总数计算重复 8 易错点 4：平均数范围判断错 8 易错点 5：结论无依据 8 第四部分 分层进阶专题精练 9 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 9 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 11 一、能力进阶篇解析 11 二、思维拓展篇解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版四年级上册第八单元《数据的表示和分析（一）》核心内容，以 “收集整理→图表认知→分析应用→拓展推理” 为主线，系统覆盖数据分段整理、条形统计图认知、数据分析与比较、统计综合应用与推理四大核心模块，渗透数据观念、分析思维、应用意识、推理思维等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从数据收集与分段整理入手，掌握划记法与分段计数的方法；认识条形统计图，理解横轴、纵轴的含义，能读懂一格代表的数量；能对统计数据进行比较、计算，获取有效信息；能运用统计数据解决实际问题，延伸平均数初步、数据推理、方案设计等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“统计与概率” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升数据分析与问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 数据分段整理 数据收集方法；分段标准；分段计数 分段计数法、划记法 分段边界重复或遗漏；划记计数错误 条形统计图认知 横轴纵轴含义；条形高度对应数量；一格代表的单位量 对应读图法、刻度分析法 横轴纵轴含义混淆；一格代表的数量看错 数据分析与比较 多少比较；差值计算；最值判断 比较分析法、差值计算法 只看条形高度不看刻度；差值计算错误 统计拓展与推理 数据预测；平均数初步；逻辑推理 推理预测法、综合法 预测无依据；平均数范围判断错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 分段计数法 数据分段整理 ①定分段标准；②逐个划记；③统计每段数量 定标准，逐个记，数清楚，填统计表 对应读图法 条形图读数 ①看横轴类别；②对纵轴刻度；③读数量 先看轴，再对齐，读刻度，得数据 比较分析法 数据比较分析 ①找对应数据；②比大小算差值；③得结论 找对应，比多少，算差值，下结论 推理预测法 数据推理预测 ①找范围规律；②算变化趋势；③推结果 看范围，算变化，推结论 三、数学思维提升 1. 数据观念 核心要点：经历数据收集、整理、描述、分析的完整过程，建立数据意识，感受统计的价值。 专题示例：调查同学身高、统计喜欢的水果，就是数据观念的体现。 2. 分析思维 核心要点：通过数据比较、差值计算，挖掘数据背后的信息，培养分析思维与信息提取能力。 专题示例：比较最多最少、计算差值、分析趋势，就是分析思维的应用。 3. 应用意识 核心要点：运用统计知识解决生活中的调查、决策、规划等实际问题，体会统计的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：根据统计结果决定采购方案、根据喜好安排活动，就是应用意识的典型体现。 4. 推理思维 核心要点：根据现有数据的范围与规律，推理平均数、预测未知数据，培养逻辑推理与合情推断能力。 专题示例：判断平均数的范围、根据趋势预测数量，就是推理思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：数据分段整理 能力进阶（★★★）—— 分段计数 题目：四（1）班 12 名同学的身高数据如下（单位：厘米）： 135、142、138、145、130、141、136、139、143、147、132、140 按 “130~139 厘米”“140~149 厘米” 分段统计，各段有多少人？ 解题步骤： ① 逐个判断数据所属分段，用划记法记录： 130~139 厘米：135、138、130、136、139、132，共 6 人； 140~149 厘米：142、145、141、143、147、140，共 6 人。 ② 验证总人数：人，与数据总数一致。 ③ 结论：130~139 厘米有 6 人，140~149 厘米有 6 人。 【答案】130~139 厘米：6 人；140~149 厘米：6 人。 【知识点睛】本题考查数据的分段整理方法，对应教材核心重难点。 核心方法：分段计数要做到不重复、不遗漏；明确分段边界，例如 139 属于第一段，140 属于第二段。 易错警示：边界数据重复计入两段，或者遗漏边界数据。 思维拓展（★★★★）—— 分段和差推理 题目：某班数学成绩分段统计，80~90 分有 12 人，90~100 分有 8 人，70~79 分的人数比 80~90 分少 5 人。全班一共有多少人？ 解题步骤： ① 先计算 70~79 分的人数：比 12 人少 5 人，（人）。 ② 全班总人数为三段人数之和：（人）。 ③ 验证：7 人＜12 人，符合 “70~79 分比 80~90 分少” 的条件，总人数正确。 【答案】全班一共有 27 人。 【知识点睛】本题是分段统计的奥数拓展题型，考查数量关系与分段求和。 解题关键：先根据和差关系算出每段的人数，再相加得到总人数；各分段人数不重复、不遗漏。 易错警示：直接用 12+8，忽略 70~79 分段的人数。 考点二：条形统计图认知 能力进阶（★★★）—— 条形图读数与计算 题目：下面是四（2）班同学最喜欢的水果条形统计图：喜欢苹果的有 12 人，喜欢香蕉的有 8 人，喜欢橘子的有 10 人。喜欢苹果的比喜欢香蕉的多多少人？一共调查了多少人？ 解题步骤： ① 求人数差：喜欢苹果的人数减去喜欢香蕉的人数，（人）。 ② 求总人数：三类水果人数相加，（人）。 ③ 验证：每人只选一种水果，总人数等于各类人数和，正确。 【答案】喜欢苹果的比喜欢香蕉的多 4 人；一共调查了 30 人。 【知识点睛】本题考查条形统计图的信息读取与计算，对应教材重难点。 读图要点：先看纵轴刻度，确定一格代表的数量，再对应条形高度读取准确数据。 易错警示：不看纵轴刻度，直接数格子算人数，导致数据错误。 思维拓展（★★★★）—— 刻度变化问题 题目：一幅条形统计图中，一格代表 2 人，喜欢足球的条形高 8 格。如果纵轴改成一格代表 4 人，喜欢足球的条形高几格？ 解题步骤： ① 先算出总人数不变：（人）。 ② 一格代表 4 人时，格数 = 总人数 ÷ 每格人数：（格）。 ③ 验证：4 格，每格 4 人，共 16 人，人数不变。 【答案】条形高 4 格。 【知识点睛】本题是条形图刻度变化的奥数题型，考查总量与刻度、格数的关系。 核心规律：总数量不变时，每格代表的数量越大，条形的格数越少；总数量 = 每格数量 × 格数。 易错警示：直接用 8-4，错误理解格数的变化关系。 考点三：数据分析与比较 能力进阶（★★★）—— 最值与差值 题目：四名同学的一分钟跳绳成绩：小明 120 个，小红 110 个，小刚 130 个，小丽 105 个。谁跳得最多？谁跳得最少？最多的比最少的多多少个？ 解题步骤： ① 比较大小：。 ② 结论：小刚跳得最多，小丽跳得最少。 ③ 计算差值：（个）。 【答案】小刚最多，小丽最少；多 25 个。 【知识点睛】本题考查统计数据的比较与差值计算，对应教材重难点。 解题方法：先读取准确数据，再按大小排序，最后用最大值减最小值算差值。 易错警示：把最多和最少搞反，或者差值计算错误。 思维拓展（★★★★）—— 平均数范围判断 题目：下表是四（1）班同学一分钟跳绳成绩分段统计。已知 110~119 个的人数比 100~109 个的多 2 人，120 及以上的人数是 100~109 个的一半。100~109 个的有 8 人，全班一共有多少人？ 成绩段 100 以下 100~109 110~119 120 及以上 人数 5 8 ？ ？ 解题步骤： ① 110~119 个的人数：比 8 人多 2 人，（人）； ② 120 及以上的人数：是 8 人的一半，（人）； ③ 全班总人数：（人）。 验证：各段人数相加等于总人数，符合条件。 【答案】全班一共有 27 人。 【知识点睛】本题是分段统计的拓展题型，考查数据的和差、倍数关系与分段求和。 解题关键：先根据数量关系算出各分段人数，再相加得到总人数；每段数据不重复、不遗漏。 易错警示：倍数关系搞反，用乘法计算 120 及以上的人数。 考点四：统计综合应用 能力进阶（★★★）—— 总数计算 题目：学校调查同学们最喜欢的运动项目，每人只选一种。喜欢跑步的有 18 人，喜欢跳绳的有 15 人，喜欢打球的有 21 人。一共调查了多少名同学？ 解题步骤： ① 每人只选一种，总人数等于三类项目人数之和。 ② 计算：（名）。 ③ 验证：三类人数相加，无重复，总人数正确。 【答案】一共调查了 54 名同学。 【知识点睛】本题考查统计总数的计算，对应教材重难点。 解题关键：每人只选一种时，总数等于各部分数量相加。 易错警示：有重复选择时直接相加，导致总数偏大。 思维拓展（★★★★）—— 数量关系综合 题目：全班调查最喜欢的颜色，每人只选一种。喜欢红色的有 12 人，喜欢蓝色的人数是红色的一半，喜欢绿色的比蓝色多 3 人。全班一共有多少人？ 解题步骤： ① 喜欢蓝色的人数：（人）。 ② 喜欢绿色的人数：（人）。 ③ 全班总人数：（人）。 验证：红色 12 人最多，绿色 9 人，蓝色 6 人最少，符合条件。 【答案】全班一共有 27 人。 【知识点睛】本题是统计与数量关系结合的奥数题型，考查综合分析与计算。 解题方法：先根据倍数、和差关系算出各部分数量，再相加得到总数。 易错警示：蓝色人数算成，倍数关系搞反。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：分段边界重复或遗漏 错误示例：139 厘米既算入 130~139 段，又算入 140~149 段，重复计数。 正确分析：明确分段标准，139 属于下段，140 属于上段，每个数据只属于一段。 修正方法：先定边界规则，逐个划记，最后核对总数。 易错点 2：纵轴刻度看错 错误示例：纵轴一格代表 2 人，看成一格代表 1 人，人数多算一倍。 正确分析：读图先看纵轴标注，确定一格代表的数量，再乘格数。 修正方法：先读轴，再读数，刻度格数相乘得总数。 易错点 3：总数计算重复 错误示例：有同学同时选两种运动，直接相加总人数，导致人数偏多。 正确分析：有重复选择时，总数要减去重复的人数。 修正方法：无重复才能直接加，有重复要减重。 易错点 4：分段人数漏加 错误示例：统计全班人数，只加中间两段，忘记加上两端分段的人数。 正确分析：总人数等于所有分段人数之和，每个分段都要计入。 修正方法：先数清分段数量，逐个相加，最后核对总数。 易错点 5：结论无依据 错误示例：根据周一到周三的销量，直接得出本月销量 1000 件。 正确分析：短期数据不能直接推测长期，预测要合理。 修正方法：预测有依据，范围要合理。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 10 个数据分两段统计，第一段有 4 人，第二段有（ ）人。 2. 条形统计图纵轴一格代表 3 人，5 格代表（ ）人。 3. 喜欢语文的有 15 人，喜欢数学的有 18 人，喜欢数学的比喜欢语文的多（ ）人。 4. 条形统计图中，喜欢跑步的有 16 人，喜欢跳远的有 9 人，喜欢跑步的比喜欢跳远的多（ ）人。 5. 科技书 20 本，故事书 15 本，漫画书 10 本，一共有（ ）本书。 6. 第一段有 8 人，第二段比第一段多 4 人，第二段有（ ）人。 7. 条形图纵轴标有 0、5、10、15，一格代表（ ）。 8. 苹果 12 箱，香蕉 8 箱，橘子 15 箱，最多的比最少的多（ ）箱。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 条形图一格代表 5 人，原来 6 格高的条形，如果改成一格代表 10 人，条形高几格？ 10. 全班同学最喜欢的图书统计：喜欢故事书的有 18 人，喜欢科技书的比故事书少 5 人，喜欢漫画书的是科技书的 2 倍。喜欢漫画书的有多少人？ 11. 全班身高分段：120 以下 2 人，120~130 有 8 人，130~140 有 12 人，140 以上有 6 人。最高的同学身高可能是多少？（ ） A. 138 厘米 B. 142 厘米 C. 135 厘米 12. 调查喜欢的动物，每人只选一种。喜欢猫的有 20 人，喜欢狗的比猫多 5 人，喜欢兔子的比狗少 8 人，一共多少人？ 13. 水果销量条形图中，一格代表 5 千克，苹果卖了 7 格，橘子卖了 4 格。苹果比橘子多卖多少千克？ 14. 条形图中，一个条形增加 2 格，一格代表 4 人，数量增加了多少人？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】6 解题步骤： ① 总 10 个，第一段 4 人，第二段：人。 【知识点睛】考查分段总数。核心：总数减一段得另一段。易错警示：5 人。 2. 【答案】15 解题步骤： ① 人。 【知识点睛】考查条形图读数。核心：每格数 × 格数 = 总数。易错警示：8 人。 3. 【答案】3 解题步骤： ① 人。 【知识点睛】考查差值计算。核心：多的减少的。易错警示：5 人。 4. 【答案】7 解题步骤： ① 求人数差：人。 【知识点睛】考查数据差值计算。核心：多的量减少的量。易错警示：算成 25 人。 5. 【答案】45 解题步骤： ① 本。 【知识点睛】考查总数计算。核心：三类相加。易错警示：35 本。 6. 【答案】12 解题步骤： ① 人。 【知识点睛】考查分段和差。核心：多就加。易错警示：4 人。 7. 【答案】5 解题步骤： ① 相邻刻度差 5，一格代表 5。 【知识点睛】考查纵轴刻度。核心：相邻差就是每格代表数。易错警示：1。 8. 【答案】7 解题步骤： ① 最多 15 箱，最少 8 箱，箱。 【知识点睛】考查最值差值。核心：最多减最少。易错警示：3 箱。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】3 格。 解题步骤： ① 总人数：人； ② 新格数：格。 【知识点睛】考查刻度变化。核心：总人数不变。易错警示：1 格。 10. 【答案】人。 解题步骤： ① 科技书人数：人； ② 漫画书人数：人。 【知识点睛】考查统计数量关系。核心：先算中间量，再求目标量。易错警示：直接用 18×2。 11. 【答案】B 解题步骤： ① 140 以上有 6 人，说明最高大于 140，且不会太高；142 大于 140 符合，135 和 138 都不到 140，不符合。 【知识点睛】考查分段推理。核心：最高段的数值高于段下限。易错警示：C。 12. 【答案】62 人。 解题步骤： ① 狗：人；兔子：人； ② 总数：人。 【知识点睛】考查统计综合。核心：先算各段再求和。易错警示：52 人。 13. 【答案】千克 解题步骤： ① 苹果比橘子多的格数：格； ② 多卖的重量：千克。 【知识点睛】考查条形图差值计算。核心：格数差 × 每格数量 = 总差值。易错警示：7×5=35 千克。 14. 【答案】8 人。 解题步骤： ① 人。 【知识点睛】考查格数变化。核心：增加格数 × 每格数 = 增加人数。易错警示：2 人。 1 学科网（北京）股份有限公司 $