专题7：数图形的学问（数学好玩）（思维拓展）北师大版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题七 数图形的学问（数学好玩） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：线段有序计数 3 考点二：路线与车票问题 4 考点三：角与三角形计数 5 考点四：长方形计数与拓展 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：计数重复或遗漏 9 易错点 2：站点数与间隔数混淆 9 易错点 3：数三角形只数小的 9 易错点 4：长方形计数长宽搞反 9 易错点 5：往返车票不乘 2 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版四年级上册 “数学好玩・数图形的学问” 核心内容，以 “有序计数→规律总结→模型迁移→实际应用” 为主线，系统覆盖线段有序计数、路线与车票问题、角与三角形计数、长方形计数与拓展四大核心模块，渗透有序思维、归纳思想、建模思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从 “鼹鼠钻洞” 的路线问题入手，掌握有序计数的基本原则，做到计数不重复、不遗漏；通过数线段、数站点路线总结通用规律，推导 n 个端点的线段总数计算公式；将有序计数方法迁移到数角、数三角形、数长方形等同类几何问题；延伸握手问题、比赛场次、往返车票等生活实际题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，发展归纳推理能力与有序思考的数学品质。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 线段有序计数 线段计数方法；n 点线段公式；有序计数原则 有序枚举法、公式法 重复计数或遗漏端点；端点数量与段数混淆 路线与车票问题 单程路线数；往返车票种数；站点计数 站点枚举法、乘 2 法 往返与单程混淆；站点数与间隔数搞反 角与三角形计数 角的计数；三角形计数；同顶点射线规律 射线计数法、对应法 数角漏数平角；三角形底边点数与个数混淆 长方形计数与拓展 长方形计数；网格图形计数；分类计数 长宽对应法、分类数法 漏数组合图形；长宽段数搞反 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 有序枚举法 基础数图形 ①从第一个端点开始；②依次搭配后面端点；③累加总数 按顺序，挨个配，不重复，不遗漏 公式法 n 点线段 / 角 ①数端点 / 射线数 n；②代入公式 n (n-1)÷2；③得总数 n 个点，数线段，n 乘 n 减 1 除以 2 对应法 数三角形 / 长方形 ①找底边线段数；②对应三角形个数；③长宽段数相乘 数三角，看底边，线段数就是个数 乘 2 法 往返车票问题 ①先算单程数量；②乘 2 得往返总数；③验证 单程数，乘个 2，往返票，全算到 分类计数法 复杂图形计数 ①按大小分类；②分别计数；③求和得总数 分大小，分别数，加起来，是总数 三、数学思维提升 1. 有序思维 核心要点：按照一定的顺序进行计数，从左到右、从小到大，保证不重复、不遗漏，培养有序思考与严谨计数的能力。 专题示例：数线段时从第一个端点开始依次和后面的端点搭配，就是有序思维的体现。 2. 归纳思想 核心要点：通过少数例子的计算，观察总结通用规律，推导通用公式，培养归纳推理与抽象概括能力。 专题示例：从 3 个点、4 个点、5 个点的线段数，总结出 n 个点的线段公式，就是归纳思想的应用。 3. 建模思想 核心要点：建立数线段的数学模型，将同类的数角、数三角形、数路线问题都转化为线段计数模型，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：数角、数三角形都可以转化为数底边线段的数量，就是建模思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用有序计数的知识解决生活中的车票、握手、比赛场次等实际问题，体会数学方法的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算车票种类、握手次数、比赛场次，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：线段有序计数 能力进阶（★★★）—— 基础线段计数 题目：直线上有 A、B、C、D、E 共 5 个端点，一共有多少条线段？ 解题步骤： ① 有序计数：从第一个端点 A 开始，依次和后面的端点搭配。 以 A 为左端点：AB、AC、AD、AE，共 4 条； 以 B 为左端点：BC、BD、BE，共 3 条； 以 C 为左端点：CD、CE，共 2 条； 以 D 为左端点：DE，共 1 条。 ② 累加总数：（条） ③ 验证：用公式计算，5 个端点，条，结果一致。 【答案】10 条 【知识点睛】本题考查线段的有序计数方法，对应教材核心重难点。 核心方法：有序计数法，从左到右，每个端点依次和后面的端点组合，累加总数。 通用公式：直线上有 n 个端点，线段总条数 =。 易错警示：认为有 5 个端点就有 5 条线段，只数最短的小段，漏数组合的长线段。 思维拓展（★★★★）—— 多端点线段公式应用 题目：一条直线上有 15 个不同的端点，一共可以组成多少条线段？ 解题步骤： ① 每个端点都可以和其余 14 个端点连成一条线段，15 个点共条，每条线段被两个端点各计算了一次，重复了 1 遍。 ② 实际线段总数：（条） ③ 验证：用累加的方法，条，结果一致。 【答案】105 条 【知识点睛】本题是线段计数公式的奥数应用题型，考查 n 点线段公式的推导与应用。 解题公式：n 个端点的线段总数 =，本质是数两个端点的组合数。 拓展迁移：数角、数单程路线、数握手次数，都可以用同样的公式。 易错警示：直接用算，忘记每条线段重复计算了一次。 考点二：路线与车票问题 能力进阶（★★★）—— 单程路线计数 题目：从甲地到乙地的铁路沿线共有 4 个站点（包括甲、乙两站），单程一共需要准备多少种不同的车票？ 解题步骤： ① 把 4 个站点看作直线上的 4 个端点，不同的两点之间对应一种车票，就是数线段的数量。 ② 有序计数：从第一站开始，依次到后面各站。 第 1 站→第 2 站、第 3 站、第 4 站，3 种； 第 2 站→第 3 站、第 4 站，2 种； 第 3 站→第 4 站，1 种。 总数：（种） ③ 验证：公式计算，4 个站点，种，正确。 【答案】6 种 【知识点睛】本题考查站点路线问题，对应教材 “鼹鼠钻洞” 情境重难点。 解题方法：把站点看作线段的端点，单程车票数就是线段总数，用有序计数或公式计算。 易错警示：认为 4 个站点就有 4 种车票，漏数中间站点的组合。 思维拓展（★★★★）—— 往返车票问题 题目：一条公交线路共有 6 个站点，往返一共需要准备多少种不同的车票？ 解题步骤： ① 先算单程车票数量：6 个站点，单程车票数等于线段总数。 （种） ② 往返车票，去和回是不同的车票，所以单程数量乘 2。 （种） ③ 验证：每个站到其他 5 个站都有去程车票，6 个站共种，结果一致。 【答案】30 种 【知识点睛】本题是往返车票的奥数题型，考查路线问题的拓展应用。 解题关键：往返车票，起点和终点交换是不同的车票，所以是单程的 2 倍；也可以直接用站点数 ×(站点数 - 1) 计算。 易错警示：往返只算单程的数量，忘记乘 2。 考点三：角与三角形计数 能力进阶（★★★）—— 角的计数 题目：从一个顶点引出 5 条不同的射线（都在平角范围内），一共可以组成多少个角？ 解题步骤： ① 有序计数：从第一条射线开始，依次和后面的射线组成角。 第 1 条射线和后面 4 条：4 个角； 第 2 条射线和后面 3 条：3 个角； 第 3 条射线和后面 2 条：2 个角； 第 4 条射线和后面 1 条：1 个角。 ② 总数：（个） ③ 验证：公式计算，5 条射线，个，正确。 【答案】10 个 【知识点睛】本题考查角的有序计数，对应教材拓展重难点。 核心规律：同顶点的 n 条射线（小于平角），角的总个数 =，和线段计数公式一致。 易错警示：只数最小的角，漏数组合的大角。 思维拓展（★★★★）—— 三角形计数 题目：一一个大三角形的底边上共有 6 个点（含两个端点），连接顶点与这些点，一共有多少个三角形？ 解题步骤： ① 所有三角形的顶点都在上方，底边都在同一条直线上，每个三角形对应底边上的一条线段。 ② 底边上共有 6 个端点，线段总数就是三角形的总数。 底边线段数：（条） ③ 所以三角形总数是 15 个。 验证：有序计数，单个小三角形 5 个，两个组合 4 个，三个组合 3 个，四个组合 2 个，五个组合 1 个，个，正确。 【答案】15 个 【知识点睛】本题是三角形计数的经典奥数题型，考查对应法数三角形。 解题方法：同顶点、共底边的三角形，底边有多少条线段，就有多少个三角形，转化为线段计数问题。 易错警示：只数小三角形，漏数组合的大三角形。 考点四：长方形计数与拓展 能力进阶（★★★）—— 基础长方形计数 题目：大长方形被分成 3 列 2 行的小长方形，一共有多少个长方形？ 解题步骤： ① 长方形的长边上有 4 个端点（3 段），宽边上有 3 个端点（2 段）。 长边上的线段总数：（条） 宽边上的线段总数：（条） ② 每条长线段和每条宽线段对应一个长方形，总数：（个） ③ 验证：分类数，单个 6 个，两个组合 7 个，三个组合 2 个，四个组合 2 个，六个组合 1 个，共 18 个，正确。 【答案】18 个 【知识点睛】本题考查长方形的计数方法，对应拓展应用重难点。 核心公式：网格长方形总数 = 长边上的线段数 × 宽边上的线段数。 解题思路：长方形由长和宽两组线段围成，长和宽的线段数相乘就是总数。 易错警示：只数小长方形，漏数组合的大长方形。 思维拓展（★★★★）—— 带星长方形计数 题目：4 行 4 列的方格中，有一个★在第 2 行第 2 列的格子里。包含★的长方形一共有多少个？ 解题步骤： ① 包含★的长方形，左边界可以在★的左边选，有 2 种选择（第 1 列左边、第 2 列左边）； 右边界可以在★的右边选，有 3 种选择（第 2 列右边、第 3 列右边、第 4 列右边）； 上边界可以在★的上边选，有 2 种选择（第 1 行上边、第 2 行上边）； 下边界可以在★的下边选，有 3 种选择（第 2 行下边、第 3 行下边、第 4 行下边）。 ② 总数：（个） ③ 验证：按大小枚举，所有包含★的长方形共 36 个，正确。 【答案】36 个 【知识点睛】本题是带星长方形的奥数题型，考查分类计数与边界选择法。 解题方法：包含指定图形的长方形，分别算上下左右边界的选择数，相乘就是总数。 易错警示：漏算边界的选择，或者重复计数。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：计数重复或遗漏 错误示例：数线段时，AB 和 BA 算两条，重复计数；或者漏数最长的组合线段。 正确分析：线段没有方向，AB 和 BA 是同一条；有序计数从左到右，只和后面的端点组合。 修正方法：按顺序，左端点只配右边的点，不回头。 易错点 2：站点数与间隔数混淆 错误示例：4 个站点，间隔 4 段，车票 4 种。 正确分析：4 个站点，间隔 3 段，单程车票 6 种。 修正方法：站点数 n，单程车票种。 易错点 3：数三角形只数小的 错误示例：底边有 6 个点，只数出 5 个小三角形。正确分析：还有由小三角形组合成的大三角形，单个 5 个、两个组合 4 个、三个组合 3 个……共 15 个。修正方法：底边线段数＝三角形个数。 易错点 4：长方形计数长宽搞反 错误示例：长 3 段宽 2 段，个长方形。 正确分析：长线段数 6 条，宽线段数 3 条，共 18 个。 修正方法：长的线段数 × 宽的线段数。 易错点 5：往返车票不乘 2 错误示例：6 个站点，往返车票 15 种。 正确分析：往返是不同的车票，共 30 种。 修正方法：单程数 ×2 = 往返数。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 直线上有 6 个端点，一共有（ ）条线段。 2. 5 个站点，单程需要（ ）种不同的车票。 3. 从一个顶点引出 6 条射线，一共组成（ ）个角。 4. 底边有 5 个端点的三角形，一共有（ ）个三角形。 5. 长 4 段、宽 3 段的网格，一共有（ ）个长方形。 6. 7 个同学握手，每两人握一次，一共握（ ）次。 7. 一条直线上有 5 个端点，一共有（ ）条线段。 8. 3 个小朋友比赛乒乓球，每两人赛一场，一共赛（ ）场。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 直线上有 20 个端点，一共可以组成多少条线段？ 10. 一条铁路线共有 10 个站点，往返一共需要多少种不同的车票？ 11. 大三角形从顶点向底边引出线段，底边上一共有 5 个端点（顶点与每个端点都相连），一共有多少个三角形？ 12. 5 行 5 列的方格中，一共有多少个长方形？ 13. 4 行 5 列的方格中，指定格子在第 2 行第 3 列，包含这个格子的长方形一共有多少个？ 14. 一次聚会，每两人握手一次，一共握了 55 次，一共有多少人参加聚会？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】15 解题步骤： ① 条。 【知识点睛】考查线段计数公式。核心：。易错警示：答 6 条。 2. 【答案】10 解题步骤： ① 种。 【知识点睛】考查单程车票。核心：站点对应端点。易错警示：答 5 种。 3. 【答案】15 解题步骤： ① 个。 【知识点睛】考查角的计数。核心：同线段公式。易错警示：答 6 个。 4. 【答案】10 解题步骤： ① 底边 5 个端点，线段数，对应 10 个三角形。 【知识点睛】考查三角形计数。核心：底边线段数 = 三角形数。易错警示：答 5 个。 5. 【答案】60 解题步骤： ① 长线段数：；宽线段数：； ② 总数：个。 【知识点睛】考查长方形计数。核心：长线段 × 宽线段。易错警示：答 12 个。 6. 【答案】21 解题步骤： ① 次。 【知识点睛】考查握手问题。核心：转化为线段问题。易错警示：答 7 次。 7. 【答案】10 解题步骤： ① 5 个端点，条。 【知识点睛】考查线段计数。核心：有序计数。易错警示：答 4 条。 8. 【答案】3 解题步骤： ① 场。 【知识点睛】考查比赛场次。核心：单循环赛 = 线段数。易错警示：答 6 场。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】190 条。 解题步骤： ① 条。 【知识点睛】考查 n 点线段公式。核心：。易错警示：答 380 条。 10. 【答案】90 种。 解题步骤： ① 单程：种； ② 往返：种。 【知识点睛】考查往返车票。核心：单程 ×2。易错警示：答 45 种。 11. 【答案】10 个。 解题步骤： ① 底边 5 个端点，线段数，对应 10 个三角形。 【知识点睛】考查三角形计数。核心：对应底边线段。易错警示：答 3 个。 12. 【答案】225 个。 解题步骤： ① 长线段数：；宽线段数：； ② 总数：个。 【知识点睛】考查网格长方形计数。核心：长宽线段数相乘。易错警示：答 25 个。 13. 【答案】54 个。 解题步骤： ① 指定格在第 2 行第 3 列：上边界有 2 种选法，下边界有 4−2+1=3 种选法，左边界有 3 种选法，右边界有 5−3+1=3 种选法； ② 总数：2×3×3×3=54（个）。 【知识点睛】考查包含指定格的长方形计数。核心：上边界种数等于行号，下边界种数等于总行数减行号加 1，左、右边界同理，四个方向的选法数相乘。易错警示：把下边界、右边界的种数算少。 14. 【答案】11 人。 解题步骤： ① 设 n 人参加，握手次数，则； ② 计算得。 【知识点睛】考查握手问题逆向。核心：公式逆推人数。易错警示：答 10 人。 1 学科网（北京）股份有限公司 $