专题4：整数乘法（二）（思维拓展）北师大版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题4： 整数乘法（二） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：两位数乘两位数笔算与应用 3 考点二：三位数乘两位数笔算与应用 4 考点三：积的变化规律 6 考点四：乘法数字规律与巧算 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：乘数十位相乘数位对错 9 易错点 2：连续进位忘记加 9 易错点 3：积的变化倍数相加 9 易错点 4：末尾 0 的个数数错 9 易错点 5：规律应用条件忽略 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版四年级上册第三单元《整数乘法（二）》核心内容，以 “算理建构→笔算规范→规律探索→拓展应用” 为主线，系统覆盖两位数乘两位数笔算、三位数乘两位数笔算、积的变化规律、乘法数字规律与计算器四大核心模块，渗透转化思想、对应思想、模型思想、探究思维等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从两位数乘两位数的口算与笔算入手，理解乘法竖式的算理，掌握两位数乘两位数的笔算方法；延伸到三位数乘两位数的笔算，掌握多位数乘法的竖式规范；探索积的变化规律，能运用规律简便计算；认识计算器，能用计算器进行大数计算，探索乘法中的数字规律；延伸错中求解、巧算速算、数字规律探究等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，为后续小数乘法、整数除法奠定计算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 两位数乘两位数笔算 算理（拆分法）；竖式计算；实际应用 拆分法、竖式法 第二个因数十位相乘对错位；忘记加进位 三位数乘两位数笔算 竖式算法；算理迁移；实际问题 迁移法、对位法 三位数的数位对错；连续进位出错 积的变化规律 因数变化引起积的变化；规律应用 规律推导法、对应法 一个因数变与两个因数变混淆；扩大缩小搞反 乘法数字规律与计算器 计算器使用；有趣算式规律；巧算模型 枚举验证法、规律法 规律总结错误；计算器按键错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 拆分法 两位数乘两位数算理 ①拆第二个因数；②分别相乘；③相加得积 拆因数，分别乘，加起来，得总数 竖式法 乘法笔算 ①相同数位对齐；②从低位乘起；③错位相加 数位对齐，低位乘起，满十进一，错位相加 规律对应法 积的变化规律 ①找不变因数；②看变化因数；③积对应变 一个不变，另一个乘几，积就乘几 巧算法 特殊乘法巧算 ①识别头同尾合十等模型；②套用公式；③验证结果 头同尾合十，尾数相乘放后面，头乘头加一放前面 枚举验证法 数字规律 ①枚举算式；②观察特点；③总结规律 举例子，找特点，总结律 三、数学思维提升 1. 转化思想 核心要点：将两位数乘两位数转化为表内乘法和整十数乘法，将新知转化为旧知，培养转化迁移能力。 专题示例：把 14×12 拆成 14×10+14×2，就是转化思想的体现。 2. 对应思想 核心要点：建立 “因数变化 — 积变化” 的一一对应关系，能根据因数的变化快速判断积的变化，培养对应思维。 专题示例：一个因数乘 2，另一个不变，积也乘 2，就是对应思想的应用。 3. 模型思想 核心要点：建立乘法竖式的计算模型，掌握头同尾合十等巧算模型，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：两位数乘两位数的竖式模型，头同尾合十的巧算模型，就是模型思想的体现。 4. 探究思维 核心要点：通过计算、观察、猜想、验证的过程，探究乘法中的数字规律，培养探究能力与归纳思维。 专题示例：探究 11 乘两位数的规律、探究特殊结构乘法的巧算方法，就是探究思维的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：两位数乘两位数笔算与应用 能力进阶（★★★）—— 笔算算理与实际应用 题目：四年级进行队列表演，一共有 12 行，每行有 14 人。一共有多少人参加队列表演？用竖式计算并说一说每一步的意思。 解题步骤： ① 列式：。可以把 12 拆成 10 和 2，先算 2 行的人数，再算 10 行的人数，最后相加。 ② 竖式计算： 1 4 × 1 2 ---------- 2 8 → 14×2=28，表示2行有28人 1 4 → 14×10=140，表示10行有140人（结果末位对齐十位） -------- 1 6 8 → 28+140=168，表示一共168人 ③ 验证：，结果正确。 【答案】一共有 168 人。 【知识点睛】本题考查两位数乘两位数的笔算算理与应用，对应教材核心重难点。 核心算理：两位数乘两位数，先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，得数末位和个位对齐；再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数，得数末位和十位对齐；最后把两次乘得的数加起来。 易错警示：十位相乘的结果末位对齐个位，导致数位错误。 思维拓展（★★★★）—— 错中求解 题目：小马虎计算一道两位数乘两位数时，把第二个因数 23 个位上的 3 看成了 5，结果比正确的积多了 24。正确的积是多少？ 解题步骤： ① 分析错误原因：第二个因数个位上的 3 看成 5，多算了个第一个因数，对应的积多了 24。 ② 第一个因数：③ 正确的积：验证：，，符合题意。 【答案】正确的积是 276。 【知识点睛】本题是乘法错中求解的经典奥数题型，考查乘法算理与差量推理。 解题方法：看错的数位上，数字差 × 第一个因数 = 积的差，反过来用积的差 ÷ 数字差 = 第一个因数，再计算正确的积。 易错警示：直接用，忽略是个位多算了 2 个第一个因数。 考点二：三位数乘两位数笔算与应用 能力进阶（★★★）—— 三位数乘两位数笔算 题目：一台榨汁机的售价是 136 元，商店购进 22 台，一共需要多少元？用竖式计算。 解题步骤： ① 列式：。三位数乘两位数，先用两位数个位乘三位数，再用十位乘三位数，最后相加。 ② 竖式计算： 1 3 6 × 2 2 -------- 2 7 2 → 136×2=272 2 7 2 → 136×20=2720（末位对齐十位） -------- 2 9 9 2 → 272+2720=2992 ③ 验证：，，，正确。 【答案】一共需要 2992 元。 【知识点睛】本题考查三位数乘两位数的笔算方法，对应教材重难点。 笔算方法：相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数末位和个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，得数末位和十位对齐；最后相加。 易错警示：三位数的百位和两位数十位相乘时，忘记进位，或者数位对错。 思维拓展（★★★★）—— 行程实际应用 题目：一列火车平均每小时行驶 118 千米，从甲地到乙地需要行驶 24 小时。甲乙两地相距多少千米？如果火车速度提升到每小时 125 千米，22 小时能到达吗？ 解题步骤： ① 计算原来的路程：路程 = 速度 × 时间 （千米） ② 计算提速后 22 小时行驶的路程： （千米） ③ 比较：，所以 22 小时不能到达。 验证：，，，正确。 【答案】甲乙两地相距 2832 千米；22 小时不能到达。 【知识点睛】本题是三位数乘两位数的实际应用奥数题型，考查行程问题与乘法计算结合。 核心公式：路程 = 速度 × 时间。 解题关键：分别计算路程再比较，注意单位统一。 易错警示：速度乘时间数位对错，导致计算错误。 考点三：积的变化规律 能力进阶（★★★）—— 积的变化规律基础 题目：根据，直接写出下面算式的结果。 解题步骤： ① ：第一个因数 16 不变，第二个因数 24 变成 48，乘了 2，积也乘 2：。 ② ：第二个因数 24 不变，第一个因数 16 变成 32，乘了 2，积也乘 2：。 ③ ：第一个因数 16 不变，第二个因数 24 变成 12，除以 2，积也除以 2：。 验证：分别计算，，，符合规律。 【答案】768；768；192。 【知识点睛】本题考查积的变化规律，对应教材重难点。 核心规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也乘（或除以）几。 易错警示：两个因数都变化时，直接把变化的倍数相加，应该相乘。 思维拓展（★★★★）—— 积不变规律 题目：把下面的算式补充完整，你发现了什么规律？ 解题步骤： ① 第一个算式：第一个因数 18 乘 2，要使积不变，第二个因数要除以 2，所以□填 2。 ② 第二个算式：第一个因数 18 除以 3，要使积不变，第二个因数要乘 3，所以□填 3。 ③ 规律：两个数相乘，一个因数乘几（0 除外），另一个因数除以相同的数，积不变。这叫做积不变规律。 验证：；；，积都不变，正确。 【答案】2；3；积不变规律见解析。 【知识点睛】本题是积不变规律的奥数拓展题型，考查积的变化规律的延伸。 核心规律：积不变规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0 除外），积不变。 拓展应用：可以用这个规律进行简便计算，比如。 易错警示：一个乘 2 一个除以 4，认为积不变，必须乘除相同的数。 考点四：乘法数字规律与巧算 能力进阶（★★★）—— 11 乘两位数的规律 题目：用计算器计算下面各题，你发现了什么规律？ 解题步骤： ① 计算结果： ；；；。 ② 观察规律：两位数乘 11，积的百位是两位数的十位，积的个位是两位数的个位，积的十位是两位数的十位加个位。 口诀：两边一拉，中间相加。 ③ 验证：，5 和 4 拉开，中间，符合规律。 【答案】121；253；385；462；规律见解析。 【知识点睛】本题考查乘法数字规律探究，对应教材拓展重难点。 巧算口诀：两位数乘 11，两边一拉，中间相加，满十进一。 易错警示：中间相加满十时，忘记向百位进一。 思维拓展（★★★★）—— 头同尾合十巧算 题目：观察下面的算式，你发现了什么规律？用规律计算。 解题步骤： ① 观察特点：两个因数十位相同，个位相加等于 10，叫做 “头同尾合十”。 规律：积的末两位是两个因数个位相乘的积，不满十前面补 0；积的前半部分是十位数字乘（十位数字 + 1）。 ② 计算： 个位：，写在末两位； 十位：，写在前面； 结果：1225。 ③ 验证：，符合规律。 【答案】规律见解析；。 【知识点睛】本题是头同尾合十的经典奥数巧算题型，考查乘法规律探究与巧算方法。 模型特征：头相同，尾合十（个位相加等于 10）。 计算方法：尾 × 尾作后两位，头 ×(头 + 1) 作前半部分。 易错警示：个位相乘是一位数时，不补 0，比如，应该写成 09。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：乘数十位相乘数位对错 错误示例：，，末位对齐个位，结果出错。 正确分析：十位相乘的结果末位要和十位对齐，因为是乘 10 得到的。 修正方法：个位乘对齐个，十位乘对齐十，最后加起来。 易错点 2：连续进位忘记加 错误示例：，进 1，，忘记加进位 1，得 672。 正确分析：每一位相乘后，要加上后一位的进位，正确结果 272。 修正方法：每算一步，先加进位，再写得数，标记进位。 易错点 3：积的变化倍数相加 错误示例：一个因数乘 2，另一个乘 3，积乘 5。 正确分析：积乘，积的变化倍数是因数变化倍数的乘积。 修正方法：一个不变另一个变，积乘几；两个都变，积乘倍数积。 易错点 4：末尾 0 的个数数错 错误示例：，只有两个 0。 正确分析：，再加上两个 0，是 6000，三个 0。 修正方法：先算 0 前面的数，再把所有末尾的 0 加上。 易错点 5：规律应用条件忽略 错误示例：一个因数乘 2，另一个除以 2，积不变，除以的数可以是 0。 正确分析：0 不能作除数，所以要 0 除外。 修正方法：所有积的变化规律，都要注明 0 除外。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. （ ），（ ）。 2. 的积是（ ）位数。 3. 根据，直接写：（ ），（ ）。 4. 最大的两位数乘最小的三位数，积是（ ）。 5. 一个因数不变，另一个因数乘 4，积（ ）。 6. 竖式计算：（ ）。 7. 每套校服 125 元，四年级 32 套一共（ ）元。 8. 用 11 的规律计算：（ ）。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎做乘法时，把第二个因数 32 十位上的 3 看成了 5，结果多了 480，正确的积是多少？ 10. 用头同尾合十规律计算： 11. 一个长方形，长乘 4，宽除以 2，面积怎么变？ 12. 用计算器计算： 你发现了什么规律？ 13. 商店运来 24 箱苹果，每箱重 125 千克，每千克 8 元，一共可以卖多少元？（用简便方法） 14. 找出规律填数：找出规律填数：，，，（ ）×9+（ ）=11111。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】143；300 解题步骤： ① （两边一拉，中间相加：1 和 3 拉开，中间 1+3=4）； ② 。 【知识点睛】考查两位数乘法与巧算。核心：运用规律简便计算。易错警示：11 乘的中间进位漏加。 2. 【答案】四 解题步骤： ① ，是四位数。 【知识点睛】考查三位数乘两位数。核心：估算或计算判断位数。易错警示：三位数。 3. 【答案】400；300 解题步骤： ① 25 不变，4 乘 4，积乘 4：； ② 4 不变，25 乘 3，积乘 3：。 【知识点睛】考查积的变化规律。核心：一个不变另一个变，积对应变。易错警示：积不变。 4. 【答案】9900 解题步骤： ① 最大两位数 99，最小三位数 100，。 【知识点睛】考查整数认识与乘法。核心：确定最大最小数再计算。易错警示：最小三位数写成 111。 5. 【答案】也乘 4 解题步骤： ① 积的变化规律：一个因数不变，另一个乘几，积也乘几。 【知识点睛】考查积的变化规律。核心：对应变化。易错警示：除以 4。 6. 【答案】3264 解题步骤： ① ，竖式计算验证。 【知识点睛】考查三位数乘两位数笔算。核心：数位对齐进位加。易错警示：十位对错位。 7. 【答案】4000 解题步骤： ① 元。 【知识点睛】考查简便计算。核心：125×8=1000 凑整。易错警示：直接笔算。 8. 【答案】682 解题步骤： ① 两边一拉，中间相加：6 和 2 拉开，中间 6+2=8，得 682。 【知识点睛】考查 11 乘两位数规律。核心：两边拉中间加。易错警示：满十不进位。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的积是 768。 解题步骤： ① 十位上 3 看成 5，多算了个第一个因数； ② 第一个因数：； ③ 正确积：。 【知识点睛】考查错中求解。核心：差量 ÷ 数位差 = 第一个因数。易错警示：差量除以 2。 10. 【答案】2024；5616 解题步骤： ① ：头同尾合十，，，得 2024； ② ：，，得 5616。 【知识点睛】考查头同尾合十巧算。核心：头乘头加一，尾乘尾。易错警示：个位乘积不补 0。 11. 【答案】面积乘 2（扩大到原来的 2 倍）。 解题步骤： ① 长方形面积 = 长 × 宽，变化后：（长 ×4）×（宽 ÷2）= 长 × 宽 ×4÷2 = 长 × 宽 ×2； ② 所以面积乘 2。 【知识点睛】考查积的变化规律与面积结合。核心：因数变化倍数相乘。易错警示：认为不变。 12. 【答案】142857；285714；428571；规律：142857 乘 1 到 6 的积，都是 142857 这几个数字循环移位。 解题步骤： ① ，，； ② 规律：积的数字都是 1、4、2、8、5、7 循环排列。 【知识点睛】考查数字规律探究。核心：计算观察总结。易错警示：计算错误。 13. 【答案】24000 元。 解题步骤： ① 简便计算：元。 【知识点睛】考查乘法结合律简便计算。核心：125 和 8 凑整。易错警示：按顺序算。 14. 【答案】1234；5 解题步骤： ① 规律：第一个因数依次是 1、12、123……，后面加的数依次是 2、3、4……，结果依次多一位 1； ② 下一个：。 【知识点睛】考查数字规律递推。核心：观察前后算式的变化。易错警示：加的数写错。 1 学科网（北京）股份有限公司 $