专题9：运用数量关系解决问题（思维拓展）北师大版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题9： 运用数量关系解决问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：总量与分量关系 3 考点二：单价、数量与总价 4 考点三：速度、时间与路程 5 考点四：相遇问题 6 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：总量分量概念混淆 9 易错点 2：单价数量不对应 9 易错点 3：行程单位不统一 9 易错点 4：相遇速度和搞反 9 易错点 5：过桥漏算车长 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版四年级上册第七单元《运用数量关系解决问题》核心内容，以 “关系建模→基础应用→行程拓展→综合提升” 为主线，系统覆盖总量与分量关系、单价数量总价、速度时间路程、相遇问题与综合应用四大核心模块，渗透对应思想、建模思想、转化思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从总量与分量的加减关系入手，建立 “总量 = 各分量之和” 的基本模型；延伸到单价、数量、总价的乘除关系，掌握购物问题的数量关系；再拓展到速度、时间、路程的行程模型，掌握行程问题的基本公式；最后学习相遇问题，理解相向运动的数量关系，能解决综合实际问题；延伸和差问题、盈亏问题、火车过桥、相遇中点等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升数量关系分析与问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 总量与分量关系 总量与分量的加减关系；和差问题；还原问题 线段图法、倒推法 总量分量混淆；倒推时加减搞反 单价数量总价 单价 × 数量 = 总价；购物问题；盈亏问题 对应法、差额法 单价数量不对应；总差额计算错误 速度时间路程 速度 × 时间 = 路程；普通行程问题；火车过桥 公式法、路程分析法 单位不统一；过桥漏算车长 相遇问题与综合应用 相遇问题基本公式；相遇中点问题；综合应用 速度和法、路程差法 速度差算成速度和；相遇路程算错 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 线段图法 和差、还原、行程问题 ①画线段表示数量；②标条件和问题；③分析关系 先画图，标条件，找关系，列式算 倒推法 还原问题 ①从结果出发；②逆运算倒推；③得原数 倒着算，反着来，加变减，乘变除 对应法 盈亏问题 ①找两种方案的差；②对应数量差；③求单量 总差额 ÷ 数量差 = 单量 公式法 行程基本问题 ①确定已知量；②选对应公式；③计算结果 路程 = 速度 × 时间，知二求一 速度和法 相遇问题 ①求速度和；②用总路程除以速度和；③得相遇时间 相遇走全程，速度加起来，总程除以和，得相遇时间。 三、数学思维提升 1. 对应思想 核心要点：建立 “单价 — 数量 — 总价”“速度 — 时间 — 路程” 的一一对应关系，能根据已知量选择对应公式，培养对应思维与量感意识。 专题示例：知道单价和数量求总价，知道速度和时间求路程，就是对应思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立各类数量关系的数学模型，掌握固定的解题公式，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：总价模型、路程模型、相遇模型，都是典型的数学模型，直接套用即可解题，就是建模思想的体现。 3. 转化思想 核心要点：将复杂的问题转化为基本的数量关系，将未知转化为已知，培养转化迁移与问题转化能力。 专题示例：把相遇问题转化为速度和的路程问题，把盈亏问题转化为差额对应问题，就是转化思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用数量关系解决生活中的购物、行程、工程等实际问题，体会数学模型的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算购物总价、计算出行时间、计算相遇时刻，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：总量与分量关系 能力进阶（★★★）—— 和差问题 题目：学校图书馆共有图书 1200 本，其中故事书有 560 本，其余是科技书和漫画书。已知科技书比漫画书多 80 本，科技书和漫画书各有多少本？ 解题步骤： ① 先求科技书和漫画书的总量：总量减去故事书的数量。 （本） ② 这是和差问题，科技书数量 =（和 + 差）÷2，漫画书数量 =（和 - 差）÷2。 科技书：（本） 漫画书：（本） ③ 验证：本，本，符合条件。 【答案】科技书 360 本，漫画书 280 本。 【知识点睛】本题考查总量与分量的关系及和差问题，对应教材核心重难点。 核心关系：总量 = 分量 + 分量；分量 = 总量 - 另一分量。 和差公式：大数 =（和 + 差）÷2，小数 =（和 - 差）÷2。 易错警示：直接用总量加差除以 2，忽略科技书和漫画书的和不是总量。 思维拓展（★★★★）—— 还原问题 题目：一筐苹果，卖掉一半多 5 千克后，还剩 25 千克。这筐苹果原来有多少千克？ 解题步骤： ① 画线段图分析：卖掉一半多 5 千克，剩下的 25 千克加上多卖掉的 5 千克，正好是总质量的一半。 一半的质量：（千克） ② 总质量：（千克） ③ 验证：卖掉一半 30 千克，多卖 5 千克，共卖 35 千克，千克，符合题意。 【答案】原来有 60 千克。 【知识点睛】本题是还原问题的经典奥数题型，考查总量与分量的逆推推理。 解题方法：从结果倒推，多卖的加回去，少卖的减回去，得到一半量，再乘 2 得总量。 解题技巧：画出线段图，清晰表示一半和多卖的部分，避免搞反加减。 易错警示：直接用 25×2+5，忽略多卖的 5 千克是从一半里卖掉的。 考点二：单价、数量与总价 能力进阶（★★★）—— 购物总价计算 题目：学校采购体育用品，足球和篮球各买 12 个，足球每个 45 元，篮球每个 55 元。一共需要花多少元？ 解题步骤： ① 方法一：分别计算足球和篮球的总价，再相加。 足球总价：（元） 篮球总价：（元） 一共：（元） ② 方法二：先算 1 个足球和 1 个篮球的总价，再乘数量。 一套价格：（元） 一共：（元） ③ 验证：两种方法结果一致，正确。 【答案】一共需要花 1200 元。 【知识点睛】本题考查单价、数量、总价的数量关系，对应教材重难点。 核心公式：单价 × 数量 = 总价；总价 ÷ 数量 = 单价；总价 ÷ 单价 = 数量。 解题技巧：当数量相同时，可以先算单价和，再乘数量，运用乘法分配律简便计算。 易错警示：单价和数量不对应，用足球单价乘篮球数量。 思维拓展（★★★★）—— 盈亏问题 题目：小明买练习本，买 8 本还剩 3 元；买 10 本还差 5 元。每本练习本多少元？小明带了多少钱？ 解题步骤： ① 两种购买方案的总差额：剩下的 3 元加上差的 5 元，就是多买 2 本的总价。 总差额：（元） 数量差：（本） ② 单价：（元） ③ 总钱数：（元） 验证：元，一致。 【答案】每本 4 元，小明带了 35 元。 【知识点睛】本题是盈亏问题的经典奥数题型，考查单价数量总价的拓展应用。 解题规律：一盈一亏问题，总差额 = 盈 + 亏，单价 = 总差额 ÷ 数量差。 易错警示：总差额只算 5-3，忽略一盈一亏是相加的关系。 考点三：速度、时间与路程 能力进阶（★★★）—— 普通行程问题 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 75 千米，行驶了 4 小时后，距离乙地还有 35 千米。甲乙两地相距多少千米？ 解题步骤： ① 先计算已经行驶的路程：速度 × 时间 = 路程。 已行驶：（千米） ② 总路程 = 已行驶路程 + 剩余路程。 总路程：（千米） ③ 验证：335 千米减去 35 千米等于 300 千米，千米 / 时，符合速度。 【答案】甲乙两地相距 335 千米。 【知识点睛】本题考查速度、时间、路程的基本关系，对应教材重难点。 核心公式：路程 = 速度 × 时间；速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。 易错警示：速度和时间单位不统一，直接计算导致错误。 思维拓展（★★★★）—— 火车过桥问题 题目：一列火车长 200 米，每秒行驶 15 米。全车通过一座长 2800 米的大桥，需要多少秒？ 解题步骤： ① 全车通过大桥，火车行驶的总路程 = 桥长 + 火车自身长度。 总路程：（米） ② 时间 = 路程 ÷ 速度。 时间：（秒） ③ 验证：200 秒行驶米，减去桥长 2800 米，剩下 200 米正好是车长，正确。 【答案】需要 200 秒。 【知识点睛】本题是火车过桥的经典奥数题型，考查行程问题的拓展应用。 解题关键：火车过桥、过隧道，行驶的总路程都要加上车身自身的长度。 易错警示：直接用桥长除以速度，忽略火车长度。 考点四：相遇问题 能力进阶（★★★）—— 基础相遇问题 题目：甲、乙两车从相距 360 千米的两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。几小时后两车相遇？ 解题步骤： ① 相向而行，每小时两车一共行驶的距离就是速度和。 速度和：（千米 / 时） ② 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和。 相遇时间：（小时） ③ 验证：3 小时甲车行驶千米，乙车行驶千米，千米，正好走完总路程。 【答案】3 小时后相遇。 【知识点睛】本题考查相遇问题的基本解法，对应教材重难点。 核心公式：总路程 = 速度和 × 相遇时间；相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和；速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间。 解题关键：相遇问题，两车共同走完全程，用速度和计算。 易错警示：用总路程除以快车速度，错误理解相遇的运动关系。 思维拓展（★★★★）—— 相遇中点问题 题目：甲、乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 50 千米。相遇时距离中点 20 千米。两地相距多少千米？ 解题步骤： ① 相遇时距离中点 20 千米，说明甲车超过中点 20 千米，乙车还差 20 千米到中点，甲车比乙车多走了千米。 路程差：（千米） ② 每小时速度差：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） ③ 总路程 = 速度和 × 相遇时间： （千米） 验证：总路程一半是 220 千米，相遇时甲走千米，千米，符合距离中点 20 千米。 【答案】两地相距 440 千米。 【知识点睛】本题是相遇中点的经典奥数题型，考查相遇问题的拓展推理。 解题规律：相遇时距离中点 n 千米，路程差就是 2n 千米；先算速度差，求相遇时间，再算总路程。 易错警示：路程差算成 20 千米，忽略快车超过中点、慢车不到中点，差是两倍的距离。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：总量分量概念混淆 错误示例：科技书比漫画书多 80 本，总量 1200 本，科技书有本。 正确分析：科技书和漫画书的和是 640 本，不是 1200 本，应该用 640 计算。 修正方法：先确定和是多少，再用和差公式。 易错点 2：单价数量不对应 错误示例：足球每个 45 元，买 12 个篮球，总价。 正确分析：单价和数量必须对应，篮球的总价用篮球单价乘数量。 修正方法：单价对数量，一一对应再相乘。 易错点 3：行程单位不统一 错误示例：速度 60 千米 / 时，行驶 30 分钟，路程。 正确分析：30 分钟 = 0.5 小时，路程千米。 修正方法：计算前先统一单位，速度时间单位匹配。 易错点 4：相遇速度和搞反 错误示例：相遇时间 = 总路程 ÷ 速度差。 正确分析：相向而行共同走完全程，用总路程除以速度和。 修正方法：相遇用速度和，追及用速度差。 易错点 5：过桥漏算车长 错误示例：火车过桥时间 = 桥长 ÷ 速度。 正确分析：全车通过，行驶路程是桥长加车长。 修正方法：过桥过隧道，路程加车身。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 班级有男生 24 人，女生比男生少 3 人，全班一共（ ）人。 2. 每支钢笔 8 元，买 15 支钢笔一共（ ）元。 3. 汽车每小时行驶 80 千米，行驶 3 小时，一共行驶（ ）千米。 4. 两地相距 240 千米，两车相向而行，速度和是 80 千米 / 时，（ ）小时相遇。 5. 一袋大米，吃了一半少 2 千克，还剩 12 千克，原来（ ）千克。 6. 买 5 个文具盒花了 60 元，每个文具盒（ ）元。 7. 路程 200 千米，速度 50 千米 / 时，需要（ ）小时。 8. 科技书和故事书共 80 本，科技书比故事书多 10 本，科技书（ ）本。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小朋友分糖，每人分 4 颗剩 9 颗；每人分 5 颗少 1 颗。有多少个小朋友？多少颗糖？ 10. 火车长 180 米，每秒行 20 米，全车通过 360 米的隧道，需要多少秒？ 11. 甲乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 50 千米，相遇时距离中点 30 千米。两地相距多少千米？ 12. 一根绳子，第一次剪去一半多 3 米，第二次剪去剩下的一半，还剩 5 米。绳子原来长多少米？ 13. 商店运来苹果和梨共 500 千克，苹果卖出 50 千克后还比梨多 30 千克。原来苹果和梨各多少千克？ 14. 小明从家到学校，每分钟走 60 米，走了 10 分钟后，离中点还有 200 米。小明家到学校有多少米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】45 解题步骤： ① 女生：人；全班：人。 【知识点睛】考查总量与分量。核心：总量 = 分量 + 分量。易错警示：直接 24-3 算全班。 2. 【答案】120 解题步骤： ① 总价 = 单价 × 数量：元。 【知识点睛】考查单价数量总价。核心：单价 × 数量 = 总价。易错警示：8×15 算成 100。 3. 【答案】240 解题步骤： ① 路程 = 速度 × 时间：千米。 【知识点睛】考查行程基本公式。核心：速度 × 时间 = 路程。易错警示：80×3 算成 220。 4. 【答案】3 解题步骤： ① 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和：小时。 【知识点睛】考查相遇问题。核心：总路程 ÷ 速度和。易错警示：240÷(80÷2)。 5. 【答案】20 解题步骤： ① 一半：千克；原来：千克。 【知识点睛】考查还原问题。核心：少的加回去是一半。易错警示：(12+2)×2。 6. 【答案】12 解题步骤： ① 单价 = 总价 ÷ 数量：元。 【知识点睛】考查单价数量总价。核心：总价 ÷ 数量 = 单价。易错警示：10 元。 7. 【答案】4 解题步骤： ① 时间 = 路程 ÷ 速度：小时。 【知识点睛】考查行程公式。核心：路程 ÷ 速度 = 时间。易错警示：2.5 小时。 8. 【答案】45 解题步骤： ① 科技书：本。 【知识点睛】考查和差问题。核心：大数 =(和 + 差)÷2。易错警示：35 本。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】10 个小朋友，49 颗糖。 解题步骤： ① 总差额：颗；数量差：颗； ② 人数：个；糖：颗。 【知识点睛】考查盈亏问题。核心：总差额 ÷ 数量差 = 人数。易错警示：9-1 算差额。 10. 【答案】27 秒。 解题步骤： ① 总路程：米； ② 时间：秒。 【知识点睛】考查火车过桥。核心：总路程 = 桥长 + 车长。易错警示：360÷20=18 秒。 11. 【答案】360 千米。 解题步骤： ① 路程差：千米；速度差：千米 / 时； ② 相遇时间：小时；总路程：千米。 【知识点睛】考查相遇中点问题。核心：路程差 = 2× 中点距离。易错警示：30 千米路程差。 12. 【答案】26 米。 解题步骤： ① 第一次剪完剩下：米； ② 原来的一半：米；总长：米。 【知识点睛】考查多次还原。核心：从后往前倒推。易错警示：(5×2+3)×2。 13. 【答案】苹果 290 千克，梨 210 千克。 解题步骤： ① 苹果卖出 50 千克后共千克，此时苹果比梨多 30 千克； ② 梨：千克；原来苹果：千克。 【知识点睛】考查和差综合。核心：先算现在的和，再用和差。易错警示：(500+30)÷2。 14. 【答案】1600 米。 解题步骤： ① 10 分钟走了米； ② 一半路程：米；总长：米。 【知识点睛】考查行程中点问题。核心：已走路程 + 距离中点距离 = 一半路程。易错警示：(600+200) 算总长。 1 学科网（北京）股份有限公司 $