湖南株洲市第一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

株洲市一中2026年下期高二开学考 数学试题卷 考生注意： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效； 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 6. 甲、乙、丙三人各自独立破解同一密码，成功率分别为0.5，0.6，0.4.现定义事件为“甲和乙至少有一人成功”，事件为“丙未成功”，则（ ） A. 0.28 B. 0.36 C. 0.42 D. 0.48 7. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知的面积为20，且，点在其内部，满足的面积之比为.若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为零，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，的角平分线交于点，则（ ） A. 的最小值为1 B. 当最小时， C. 当为锐角三角形时， D. 当时，的面积为 11. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（ ） A. 线段AB与GH所在的直线是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A，B相互独立，且，则_______． 13. 在中，D为的中点，，，，则________． 14. 矩形中，，，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为60°，点是线段的中点，则三棱锥外接球半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 16. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 17. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O的直线交边AB于点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求面积的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，． （i）求点到平面的距离； （ii）若点在上，且∥平面，求的值． 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 株洲市一中2026年下期高二开学考 数学试题卷 考生注意： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效； 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】0.16 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3）95克 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面， 平面，所以，又，， 平面，所以平面， 平面，所以平面平面. （2）（i） （ii） 【19题答案】 【答案】（1）在区间上单调递减. 证明：设，则 ， 因为所以，，， 所以，即， 故在区间上单调递减. （2）（i）， 又定义域为，关于对称， 故曲线关于点对称； （ii）由结合（1）易知在，，上单调递减， 函数有三个零点，则，，， 由，可得， 而，， 所以， 由，则， 则， 又，在上单调递减， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $