精品解析：湖南省娄底市涟源市部分学校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

6学科网列组卷网 湖南省涟源市部分学校2026年下学期 高二入学考试数学试题 (考试时长：90分钟，共100分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1已知a,b为两条不洞直线，aB,y为三个不同Y面，下列命题：O若a1,a1y,则B1y:② ”,则 若a1a,a/B,则B,③老a1y,BLy.则LB :④若ala,b1a,则a/ ”其中正 确命题序号为() A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行的性质和判定，结合线面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析即可 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，者0/.a/?,则B1y ，故①正确： 若a/laa1lp a,B ,平面可能相交，故②错误； 若a17,BLy,则a, 可能平行，故③错误： 由线面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两直线平行，故④正确： 综上所述，正确的是①④： 故选：C 【点睛】本题考查面面平行的判定和性质，涉及线面垂直的性质，属综合基础题 2.已知a,6c心是空间的一组基底，则能与Q+b构成另一组基底的是（) 第1页/共23页 命学科网命组卷网 A.b+c,atc B.b+c.a-c C.c,a+b-2c D.b-c a+c 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A,假设存在实数元，4，使得i+b=26+c+(a+)=μa++(亿+)e A=1 则 九=1，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 2+4=0 元4 所以a+b,万+C,a+C不共面，能构成一组基底，故A正确： 对于选项B,假设存在实数1,4，使得+b=2⑤++4(a-c)=a+5+(2-)e, 4=1 则 九=1 ,解得“=1，即存在实数，使得上式成立， 2-4=0 2=1 2μ 所以a+b,万+c,a-C共面，不能构成一组基底，故B错误： 对于选项C,假设存在实数1，u,使得a+b=E+(a+b-2)=ui+b+(2-24） A=1 4=1 则2-2μ=0，解得2=2，即存在实数2，μ使得上式成立， 所以a+6,C,a+6-22共面，不能构威组基底，故C错误： 对于选项D,假设存在实数元，u,使得d+b=6-c+(ā+c)=a+5+(u-)e. 4=1 则 2=1 ，解得山=1，即存在实数，使得上式成立， 4-九=0 2=1 u 所以a+b,b-C,a+C共面，不能构成一组基底，故D错误， 第2页/共23页 学科网命组卷网 3.某位同学参加歌唱比赛，有8位评委.歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3.又加入一个 、2 特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为天，方差为，则() A元=552>3 B.x=5s2<3 cx>5s2<3 D.F>5s2>3 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数和方差的计算公式可判断 【详解】某位同学参加歌唱比赛，有8位评委，歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3. 又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为x，方差为s2, =g65+8×5列=5.2=g0+8x3)-83 则 3 故选B, 【点睛】本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题. 4.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形AB'CD'.己知AB=4,CD'=2,则下列说 法正确的是( O(A B A.AB=2 B.AD=2v2 C四边形ABCD的周长为4+2V2+2W5 D.四边形MBCD的面积为6N2 【答案】D 【解析】 第3页/共23页 命学科网命组卷网 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知4B=4,AD'=V2,AD=22 四边形ABCD的周长为6+2V2+25,四边形ABCD的面积为2 (4+2)x22=6N2 故选：D. D (4) B x 5.在△MBC中，D是线段BC的中点，E是线段MD的中点，则BE=() 1AB-3AC 3AB-14C A. 4 B.44 c4+4c 4 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解。 AD-14B+1AC 【详解】因为D是线段BC的中点，所 2 2 因为E是线段4D的中点，所以AE=2D=B+A0 4 4 E=A花-AB=-3AB+AC .1 则 4 4 故选：D 第4页/共23页 6学科网 命组卷网 6,已知某圆台的上、下底面半径分别为个，5，且5=2，若半径为2的球与因合的上、下底面及侧面均 相切，则该圆台的体积为() 28π 40π 56π 112π A.3 B.3 C.3 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，片，然后代入圆合体积公式求解即可 【详解】如图， O G B 设圆台上、下底面圆心分别为 0,02 ,则圆台内切球的球心0一定在O0的中点处， 设球O与母线AB切于M点，所以OM1AB,所以OM=O0=O0,=2 所以△MO0与△AOM全等，所以4M=斤，同理BM=5,所以4B=万+5=3， 过A作4GLB0,垂足为G,则BG=5-万=，4G=00,=4, 所以AG2=AB2-BG,所以16=(3-片=8，所以5=2，所以5=2V2 2元+8元+4m)x4=56 所以该圆台的体积为3 故选：C 7.如图，△MBC的外接圆的圆心为0，AB=2,AC=3,BC=V7,则A0.BC等于() 第5页/共23页 6学科网命组卷网 A.2 B.3 C.2 【答案】D 【解析】 【分析】取BC的中点为D,连接 OD,AD,则 A0BC可转化为 (4D+DO)BC-AD.RC--AB 【详解1取BC的中点为D,连接 连接OD,D,则OD⊥BC, AO-BC=(AD+DO)BC-AD.BC+DO.BC )(C-A)D 0 B D 【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：()利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角； (2)利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（③）利用基底向量来 第6页/共23页 命学科网命组卷网 计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计 算；(4)靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向 量 f(x)+f()= 8.若函数f(x)的定义域内存在，x2(x≠x2),使得2 成立，则称该函数为“完整函数” 8知V= () A.2,+o) B.3,+0) C.[3,5] D.[4,+o) 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知f()=s血@x,再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为 [π3π f(:)在x[22]上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范 围 【详解】由题意可得：f(x)=-V3 2 sin 3sin ox+cosl 62 --sin ox+ =-sin(ox+π)=sin @x 66 π3π π3π 即f(x)=sin0x是L2'2上的“完整函数，所以存在，x∈ 2’2 第7页/共23页 6学科网命组卷网 f(x)+f(s= 使得 成立： π3π 即存在22， 使得f(x)+f(x)=2成立： 又因为f()x=1,因此f()=f(名)=1 π3π 即f(x)=sinx在x[2'2]小上至少存在两个最大值，点 3π-元≥T=2m 所以22 0,解得0≥2： 3m-元≥2T=4 当22 ,即0≥4时，一定满足题意： π3元 若250<4，因为22]， r<0x≤1 30m 0>0,所以2 2, 元≤0r<2元，3m<30r<6m 又易知·2 2 9元30m<6 所以只需保证2二2 即可，解得3≤0<4， 综上可知0之3」 故选：B. 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9设复数z满足21+i25）=2i z为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是() 第8页/共23页 6学科网6组卷网 A=2 B.z的虚部为-i ct是个纯店数 D.复数对应的点位于复平面的第二象限 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，=（付）i=i, 2i-2i-》-i0-=1+i,则=+i=5,A对 由+)-2i可得2=1+i0+0- 对于B选项，z=1-1,故2的虚部为1，B错： 对于C选项，2=（0+=1+2i+=2i,故2为纯嘘数，C对 1,1) 对于D选项，复数2在复平面对应的点的坐标为 ,位于第一象限，D错 10.如图，在棱长为2的正方体 BCD-4B,CD中，E为线段CG的中点，F为线段4B上的动点 (含端点)，则下列结论正确的有() B B A存在点F,使得GF∥平面4D,C F,D,E三点的平面截正方 B.过 ABCD-ABCD 所得截面的面积最大为5 4 C.当F在线段AB上运动时，三棱锥C-ADF的体积为定值，且定值为3 第9页/共23页 6学科网组卷网 D.FA+FC的最小值为2V2+V2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，证得4G∥平面4D,C和BG'平面4D,C,得到平面4BC/Y面4DC,可州 平面 定A正确：得到过点 F,D,E 的截面为平行四边 MNED,结合 m=2S,ms,可判定B不正确； 证得4B/平面D,C,得到点F和B到平面4D,C的距离相等，结合r=4-,可判定C正 确：将等腰直角△4B展开到与矩形4DCB在同一个半商内，在4BC中，利用余花定型，可定D 正确。 【详解】对于A,如图(1)所示，分别连接4C,BC,AD,AC,AC 在正方体 BCD-4BCD中，可每4G11AC,BCIIAD 因为4Cc平面4D,C.4Gg平面MDC,所以4G/平面4D,C 同理可证： BC/平面D,C, 因为4GnBC=G.且4G,BGC平面4BC,所以平面4BG∥平面4，C, 又因为GFC平面4BG,所以GF1/平面D,C,所以A正确： A 图(1) 第10页/供23页 6学科网命组卷网 对于B,如图(2)所示，过点F在平面 BBA内，作MN/DE 交M,BB分别为M,N,则过点B,D,E的截面为平行四边形NED 设4M=t,其中0≤1≤1，可得DN=VAD+AM2=V4+,D,E=MN=V5, 当1=0时，即点F与4重合时，DM=NE=2,此时∠MDE=90 所5m=25ms=2x40-nE=2×*2x5=25<5 当0<t≤1时，可得∠MDE<90且D,N=V4+≤V5, 8am=2双m-2×40-n5m∠An<2x5x5-5 综上可得，截面平行四边形 MNED的面积S<5,所以B不正确： D A E M D B 图(2) 对于C,如图3)所示，因为4B/DC,且DCC平面D,C,4Bg平面D,C, 所以4B/平面ADC 平面 为F∈4B,所以点F到平面AD,C的距离等于点8到平面 又因 D,C的距离， 所kw=ac=ae=-x专eDn-x3x2x2x2=号 1 32 第11页/共23页 6学科网命组卷网 x 所以三棱锥C-ADF的体积为定值，且定值为3，所以C正确； B D =” B 图(3) 对干D,如图④)所示，将等樱直角△41B展并到与矩形4DCB在同个平面内。 此时点A为点A',则满足FA+FC=FA'+FC=A'C, A,F,C 当且仅当 三点共线时，取得等号， 在△M'BC中，AB=2,BC=2,∠ABC=∠ABA+∠ABC=135° 则C-B+Bc-2iB,Bcw乙f8c-2+2-2x2x2x( =V8+4v2=2W2+V2 所以FA+FC的最小值为2N2+V2,所以D正确： D By B 图(4) 三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上） 第12页/供23页 6学科网 命组卷网 1L如图，以长方体1BCD-ABCD的颐点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标铂，建 立空间直角坐标系，若DB的坐标为(4,32)，则1G的坐标为 D (-4,3,2) 【答案】 【解析】 【详解】因为DB的坐标为(4,32)，所以DA=4,DC=3,DD,=2, 所以A(4,0,0),G(03,2),故AC=(-4,32) B B P BC ABC 12. AABC .PA PB PC 为 所在平面外一点.0为尸在平面 上的射影若 、 与平面 所成的角相 等，则O是△ABC的 心 【答案】外 【解析】 【分析】由条件证明OA=OB=OC,由此判断O是△ABC的外心 【详解】如图，因为为'在平面MBC上的射，所以P01平面ABC,又OA,OB,OCC平 ,又 平面ABC 第13页/供23页 6学科网命组卷网 所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,即∠POA=∠POB=∠POC, 因为POL平面BC,所∠PMC,∠PBO,∠PC0分别为PA,PB.PC与平面ABC 所成的角的平面 角， 由已知可得∠PAO=∠PBO=∠PCO,又PO=PO=PO, 所以△PAO=APBO=△PCO,所以OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心， 故答案为：外 P B 四、解答题（本大题共4小题，共8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为的样 本，构成频率分布直方图，且成绩在区间(50,60)的人数为5. 频率 个组距 0.036- 0.024-- 0.020 0.008 05060708090100分数 (1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x: (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数： (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间 [90,100]的概率是多少？ 第14页/共23页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)n=25,x=0.012 (2)71.4 7 (3)10 【解析】 【分析】（4)由成绩在区间(50,60)的频率为0.2，求得样本容量，频率分布直方图中领率和为1求得x: (2)根据频率分布直方图估计平均数； (3)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率. 【小问1详解】 5=25 成绩在区间(50,60）的频率为0.2，”=0 由频率分布直方图可得第4组的频率为 1-0.2-0.24-0.36-0.08=0.12x=0.012 ,故 【小问2详解】 先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为 (55×0.02+65×0.024+75×0.036+85×0.012+95×0.008)×10=71.4 (分)， 估计全年级学生竞赛成绩的平均数为714： 【小问3详解】 得分成绩在80,90)有0.012x10x25=3(人)， 这组的3名学生分别为a,b,c, 得分在区间[90,100]有0.008×10×25=2（人）， 这组的2名学生分别为d,e, 随机抽取两人，所以可能的结果为 第15页/供23页 命学科网命组卷网 (a,b).(a,c),(a,d,(a,e),(b,c)(b,d),(b,e,(c,d)(c,e(d,e共10种， 所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的结果为 (a,d,(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e(d,e共7种， P、7 故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是10， 14记△ABC的南A,B,C ，已知a-2 a,b,c 心的内角 的对边分别为 4)若A=45,b=V6,求B: (2)若D是BC的中点，且AD=V5,∠ABC=2∠D1C,求c: (3)者im(1-B)=c=30 4 求△ABC的面积 【答案】(1)B=60成B=120 (2)2: 5+V5 (3) 6· 【解析】 【分析】(1)应用正弦定理求角的大小： ②由c0∠ADB+cos∠ADC=0及余弦定理得5+C2=8,法-：应用正余弦定理每b2+2=36 C 即可求边长；法二：延长DB至点E,使得BE=BA,连接AE,易得△ACD~△ECA,利用等比例性质 求边长： (3)在∠BAC内作∠BAH=∠ABC,再由正弦定理、三角形面积公式求面积 【小问1详解】 第16页/供23页 6学科网列组卷网 a b 26 在A4BC中，由正弦定理sind sinB,即sin45°sinB,解得sinB=v3 2 所以B=60或B=120 或 【小问2详解】 1+N3-C+1+N3y6=0,化简得+c2=8@ 因为cos∠ADB+cos∠ADC=0:即2x1xV3T2x1xV3 1 b 法一：在△ACD中，由正弦定理，sin∠CAD sin∠ADC, 5 在AABD中，由正弦定理，sin∠ABD sin.∠4ADB, 又sin∠4ADC=sin∠ADB,∠ABC=2∠CAD,所以2cos<CAD=V3b c, 在a1CD中，由余张定理可得0s∠CMD=+2 b2+23b 2V36,所以2 236c,则b2+2=3 c②. 联立0@得c3-3x2-10c+24=0,即(c-2(c-4(c+3)=0,解得c=2或c=4(舍)或c=-3 (舍)· 所以C=2 法二： 延长DB至点E,使得BE=BA,连接AE, CD AC 1 b 由题意△ACD~△ECA,则ACCE,即b2+c,整理得b2=2+c③. 第17页/共23页 学科网命组卷网 c2+c-6=0 联立①③， 解得0=2或=-3合) 所以c=2, 【小问3详解】 在∠BAC内作∠BAH=∠ABC,所以HA=HB,设AH=t, 2-t 1 CH AH 1 -1 4 在AAHC中，由正弦定理知sin(A-B)sin∠ACB,即4 2·知1= 3 所以si∠4C=sim(A-B+30'）=5+5 8 所以S.c=3Sme=3xx4×2x5+5_5+5 2338 6 15.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”·竞赛共分两轮，即每位参赛 32 选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为4,3；在第二轮比赛中， 选手甲，乙胜出的概率分别为P,q.假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 5 (1)若9= 6,求乙恰好有一轮胜出的概率； 9 6 (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为50，甲，乙两轮都胜出的概率为25. ①求P,q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率. 第18页/共23页 6学科网 命组卷网 7 【答案】(1)18 3 4 223 2)0p=5, 9-1 5:②300 【解析】 【分析】(1)利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可： (2)①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两 轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件A=“第一轮比赛中甲胜出”，事件4=“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件月=“第一轮比赛中乙胜出”，事件B,=“第二轮比赛中乙胜出”， 超羽4,4.4.品相T,且P4)-.P6)=D.PA)号，Pa)-g. 记事件C=“乙恰好有一轮胜出”，则C=BB+BB,又BB,B,B互斥， 5 所以，当9=6时，PC=P(BB,+RB,)=P(BB)+P(EB) P(B)P(B.)+P()P(B)=36+361 21,157 因此，当9=6时，乙恰好有一轮胜出的概率为18 【小问2详解】 ①事件D=“甲，乙各有一轮胜出”，事件E=“甲，乙两轮都胜出”， 则D-P属+44Paa+4a)-[0-p+0-+写]-品. 第19页/供23页 6学科网 命组卷网 326 PE)=P(44BB,)=4P×39= 25, 1.12 49+3P=5 5 则 12 p9=25 ,解得3， P= 4 59=」 ②事件G=“甲两轮都胜出”，事件H=“乙两轮都胜出”， 事件K=“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， P(G)-3x3-9 4520, P-号×考言. 248 KW=AGA+rG)+G0=20×5+20XS+20XG30 9×7+11×8+9×8_63+88+72_223 300 16.如图，在四棱台 1BCD-ABGD中，底面ABCD是正方形.DDL平面ABCD,DD=2, AB=4 AB=2 D A B D AA (1)求证： 平面SBD (2)求直线4A到平面CBD 的距离； (3)若点P是正方形ABCD 内的动点（不含边界），且满 BD⊥B,P,设直线 DP与平面ABCD所 成角为8，求tan8的取值范围. 【答案】(1) 第20页/共23页 6学科网6组卷网 A 还接1C交0F0,连接4G,则40= 4c AB1 ,因为AB2, 由四楼台的性质可得4C10,且4G=A0,故四边形4C01为平行四边形. 放M4/CO,:MM￠平面BDC,COC面BDC,故M∥面BDG 4v3 (2)3 (3)25tanos v2 1 2 【解析】 【分析】(1)连接4C交BD于O,则可得4G 0,进而得到四边形4C0A为平行四边形，利用线面 CBD 平行的判断即可证得 AA∥ 平面 (2)利用等体积法可求线面距离： (3)由空同中垂直关系的转化可得点P的轨迹为4C,根据线面角的定义可知∠DPD为DP与面 ABCD tan 所成的平面角，然后可得 的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 :MM∥面BDC,“直线MA到平面BDC的距窝等价于点A到平 BDC的距离， 第21页/供23页 6学科网命组卷网 1 V=7CAD,SADDC·dA-BDG=3八△MBD·dG-ABD7 SAARD=8 de-4BD =DD=2 DC=22 DB=42 取DC中点E,连GE.EB 可得GEDD,GE=DD=2,而DDL平面ABCD, 故GEL平面ABCD,由BEc平面MBCD, 故GE LBE,“BE=25,得CB=V4+20=26 CB2+CD2=BD2,DC⊥BC,故 am=x22x26=45 3x45dm=写x8x2,数4m= 1 4V3 3 【小问3详解】 4B_1 连接BD,B,O,因为AB2,由四棱台的性质可得BDIIDO,BD=DO, 放四边形DB,0D 平行四边形，故 BOIDD 放BOL平面ABCD,而BDC平面ABCD,枚BOLBD 又BD⊥AC,BOnAC=0,BO,ACC平面4CB,故BD1平面BAC BDLBP,点P在面ABCD内的动点，点P∈面ABCD∩面1CB=AC ~DD上面ABCD,∠DPD为DP与面ABCD所成的平面角， tan∠D,PD=D0=2 D0D0,D0最小为2W2,最大为4 第22页/供23页 6学科网命组卷网 <nos 则2 2」 第23页/共23页 湖南省涟源市部分学校2026年下学期 高二入学考试数学试题 （考试时长：90分钟，共100分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③ 2. 已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 5. 在中，是线段的中点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的外接圆的圆心为,,,,则等于(　) A. B. 3 C. 2 D. 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设复数满足，为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 是个纯虚数 D. 复数对应的点位于复平面的第二象限 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A. 存在点，使得平面， B. 过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上） 11. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________ 12. 为所在平面外一点，为在平面上的射影.若､､与平面所成的角相等，则是的___________心. 四、解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． （1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x； （2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数； （3）从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ 14. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若是的中点，且，求； （3）若，求的面积. 15. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率； （2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 16. 如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）若点P是正方形内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $