专题02 二次函数的图象与性质（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

专题02 二次函数的图象与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 y=ax²的图象和性质 题型02 y=ax²+k的图象和性质 题型03 y=a(x-h) ²的图象和性质 题型04 y=a(x-h) ²+k的图象和性质 题型05 y=ax²+bx+c的图象和性质 题型06 一般式化成顶点式及其应用 题型07 函数值大小的比较问题 ▌题型01 y=ax²的图象和性质 1．图象形状：y=ax² 的图象是一条以原点(0,0)为顶点、y 轴为对称轴的抛物线。 2．开口与最值：a>0 时开口向上，顶点(0,0)是最低点，y 有最小值 0；a<0 时开口向下，顶点是最高点，y 有最大值 0。|a| 越大，开口越小。 3．增减性：a>0 时，对称轴左侧(x<0)y 随 x 增大而减小，右侧(x>0)y 随 x 增大而增大；a<0 时正好相反。 【典例1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． ▌题型02 y=ax²+k的图象和性质 1．图象与平移：y=ax²+k 的图象是顶点在(0,k)、对称轴为 y 轴的抛物线，可由 y=ax² 沿 y 轴平移得到（k>0 向上移 k 个单位，k<0 向下移）。 2．性质：开口方向由 a 决定，顶点坐标(0,k)，最值为 k（a>0 取最小值 k，a<0 取最大值 k）。 3．增减性：仍以 y 轴(x=0)为分界，a>0 时左减右增，a<0 时左增右减。 【典例2】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）对于二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2-3】（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（   ） A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方 C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方 ▌题型03 y=a(x-h)²的图象和性质 1．图象与平移：y=a(x−h)² 的图象是顶点在(h,0)、对称轴为直线 x=h 的抛物线，可由 y=ax² 沿 x 轴平移得到（h>0 向右移 h 个单位，h<0 向左移）。 2．性质：开口方向由 a 决定，顶点坐标(h,0)，对称轴为 x=h，最值为 0。 3．增减性：以对称轴 x=h 为分界，a>0 时左侧(x<h)减小、右侧(x>h)增大；a<0 时相反。 【典例3】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【变式3-1】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． ▌题型04 y=a(x-h) ²+k的图象和性质 1．顶点式：y=a(x−h)²+k 的图象是顶点在(h,k)、对称轴为直线 x=h 的抛物线。 2．性质：开口方向由 a 决定，顶点坐标(h,k)，对称轴 x=h，最值为 k。 3．平移规律：由 y=ax² 先沿 x 轴平移 h 个单位、再沿 y 轴平移 k 个单位得到，口诀"括号内左加右减、括号外上加下减"。 【典例4】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列叙述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随着x的增大而增大 D．图象经过点 【变式4-2】已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． ▌题型05 y=ax²+bx+c的图象和性质 1．一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，对称轴为直线，顶点坐标为。 2．系数与图象：a 决定开口方向与大小；c 是图象与 y 轴交点(0,c)的纵坐标；a、b 共同决定对称轴位置（对称轴在 y 轴左侧时 a、b 同号，在右侧时异号，即"左同右异"）。 3．与 x 轴交点：由判别式 Δ=b²−4ac 决定——Δ>0 有两个交点，Δ=0 有一个交点，Δ<0 没有交点。 【典例5】如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的两个交点为，，且，其部分图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式5-3】已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． ▌题型06 一般式化成顶点式及其应用 1．配方目标：把一般式 y=ax²+bx+c 化为顶点式 y=a(x−h)²+k，从而直接读出顶点、对称轴和最值。 2．配方步骤：①提出二次项系数 a；②括号内加上一次项系数一半的平方再减去，凑成完全平方；③整理括号外的常数项。 3．公式结论：，；配方后可直接写出顶点坐标和对称轴。 【典例6】把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知点在函数的图象上，当时，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数化为顶点式，并写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)描点画图，结合图象直接写出当时的取值范围． 【变式6-3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． ▌题型07 函数值大小的比较问题 1．基本思路：比较抛物线上不同点的函数值大小，关键看各点到对称轴的距离，再结合开口方向判断。 2．开口向上(a>0)：点离对称轴越远，函数值越大；开口向下(a<0)：点离对称轴越远，函数值越小。 3．利用对称性：关于对称轴对称的两点函数值相等，可先把点转化到对称轴同侧，再比较到对称轴的距离。 【典例7】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知函数的图象过点、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【变式7-2】已知二次函数（为常数，且）．它的图象经过，两点． (1)求二次函数的顶点坐标（用含的代数式表示）． (2)若，当，时，请比较，的大小． (3)若，，当时，求的最大值． 【变式7-3】已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴． (2)当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的图象与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 y=ax²的图象和性质 题型02 y=ax²+k的图象和性质 题型03 y=a(x-h)²的图象和性质 题型04 y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型05 y=ax²+bx+c的图象和性质 题型06 一般式化成顶点式及其应用 题型07 函数值大小的比较问题 ▌题型01 y=ax²的图象和性质 1．图象形状：y=ax² 的图象是一条以原点(0,0)为顶点、y 轴为对称轴的抛物线。 2．开口与最值：a>0 时开口向上，顶点(0,0)是最低点，y 有最小值 0；a<0 时开口向下，顶点是最高点，y 有最大值 0。|a| 越大，开口越小。 3．增减性：a>0 时，对称轴左侧(x<0)y 随 x 增大而减小，右侧(x>0)y 随 x 增大而增大；a<0 时正好相反。 【典例1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键． 通过计算点P和点Q的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误． 【详解】解：根据题意，， A、若，则， ∴，正确； B、若，则，， ， 解得，正确； C、若，则， ∴ ，即， ∴ ，正确； D、若，则，，， 解得，， 但不一定，如时，但， ∴ 错误； 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，对称轴为轴，顶点坐标为 (2) 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． ▌题型02 y=ax²+k的图象和性质 1．图象与平移：y=ax²+k 的图象是顶点在(0,k)、对称轴为 y 轴的抛物线，可由 y=ax² 沿 y 轴平移得到（k>0 向上移 k 个单位，k<0 向下移）。 2．性质：开口方向由 a 决定，顶点坐标(0,k)，最值为 k（a>0 取最小值 k，a<0 取最大值 k）。 3．增减性：仍以 y 轴(x=0)为分界，a>0 时左减右增，a<0 时左增右减。 【典例2】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）对于二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值及增减性． 由二次项系数判断开口方向；根据顶点式确定对称轴与最值；结合对称轴分析增减性． 【详解】解：对于二次函数． A、 ，图象开口向上，此选项不符合题意； B、顶点坐标为，函数最小值为1，此选项不符合题意； C、对称轴为，开口向上，故当时，随的增大而减小，此选项不符合题意； D、图象的对称轴为直线，并非，此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 【变式2-3】（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（   ） A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方 C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可． 【详解】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下： A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意； B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意； C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意； D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意； 故选：C． ▌题型03 y=a(x-h)²+的图象和性质 1．图象与平移：y=a(x−h)² 的图象是顶点在(h,0)、对称轴为直线 x=h 的抛物线，可由 y=ax² 沿 x 轴平移得到（h>0 向右移 h 个单位，h<0 向左移）。 2．性质：开口方向由 a 决定，顶点坐标(h,0)，对称轴为 x=h，最值为 0。 3．增减性：以对称轴 x=h 为分界，a>0 时左侧(x<h)减小、右侧(x>h)增大；a<0 时相反。 【典例3】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 【变式3-1】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答本题的关键． 根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵关于直线的对称点为，，，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． ▌题型04 y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．顶点式：y=a(x−h)²+k 的图象是顶点在(h,k)、对称轴为直线 x=h 的抛物线。 2．性质：开口方向由 a 决定，顶点坐标(h,k)，对称轴 x=h，最值为 k。 3．平移规律：由 y=ax² 先沿 x 轴平移 h 个单位、再沿 y 轴平移 k 个单位得到，口诀"括号内左加右减、括号外上加下减"。 【典例4】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列叙述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随着x的增大而增大 D．图象经过点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一判断开口方向、对称轴、增减性及点是否在图象上． 【详解】解：∵函数为，， ∴图象开口向上，A正确； 对称轴为直线，B正确； ∴当时，随增大而增大，C正确； 当时，， ∴图象不经过点，D错误． 故选：D． 【变式4-2】已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意，得到，，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的符号由的符号决定， 当时，，当时，．故B选项错误， ∴． ∵（二次函数中），且， ∴．故C选项正确，D选项错误； 无法判断的符号；故A选项错误； 故选C． ▌题型05 y=ax²+bx+c的图象和性质 1．一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，对称轴为直线，顶点坐标为。 2．系数与图象：a 决定开口方向与大小；c 是图象与 y 轴交点(0,c)的纵坐标；a、b 共同决定对称轴位置（对称轴在 y 轴左侧时 a、b 同号，在右侧时异号，即"左同右异"）。 3．与 x 轴交点：由判别式 Δ=b²−4ac 决定——Δ>0 有两个交点，Δ=0 有一个交点，Δ<0 没有交点。 【典例5】如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 【变式5-2】已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的两个交点为，，且，其部分图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图像的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故选项A错误： ∵如图：当时，， ∴，，故选项B错误； ∵， ∴，故选项C错误； ∵如图：当时，， ∴，即，故选项D正确． 【变式5-3】已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． ▌题型06 一般式化成顶点式及其应用 1．配方目标：把一般式 y=ax²+bx+c 化为顶点式 y=a(x−h)²+k，从而直接读出顶点、对称轴和最值。 2．配方步骤：①提出二次项系数 a；②括号内加上一次项系数一半的平方再减去，凑成完全平方；③整理括号外的常数项。 3．公式结论：，配方后可直接写出顶点坐标和对称轴。 【典例6】把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法对原式变形即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式6-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知点在函数的图象上，当时，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上， 点到对称轴的距离分别为： ，，， ∵开口向上， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∴ 故选：C． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数化为顶点式，并写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)描点画图，结合图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)，对称轴是直线，顶点坐标是； (2)作图见解析，当时，的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数的三种形式及二次函数的图象及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的三种形式及二次函数的图象及二次函数的性质． （1）利用配方法把一般式转化为顶点式，据此即可求解． （2）列表，描点，连线，即可画出图象；根据图象直接回答问题． 【详解】（1）解：， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：由抛物线解析式列表， 函数图象如图所示： 根据图象知，当时的取值范围为． 【变式6-3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为，当时，随的增大而增大. (2)的值为或. 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. ▌题型07 函数值大小的比较问题 1．基本思路：比较抛物线上不同点的函数值大小，关键看各点到对称轴的距离，再结合开口方向判断。 2．开口向上(a>0)：点离对称轴越远，函数值越大；开口向下(a<0)：点离对称轴越远，函数值越小。 3．利用对称性：关于对称轴对称的两点函数值相等，可先把点转化到对称轴同侧，再比较到对称轴的距离。 【典例7】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知函数的图象过点、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的函数值比较．解题的关键是通过代入点的坐标计算对应函数值．再比较大小求解．也可利用二次函数的对称性与增减性判断． 【详解】解：∵函数的图象过点、、 ∴将代入函数得． 将代入函数得． 将代入函数得． ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【变式7-1】已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先根据已知条件将表示为关于的二次函数，确定的取值范围，再根据二次函数的顶点位置的最值情况即可． 【详解】解：∵点在的图象上 ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，整理得 ， 配方得， ∵， ∴， 解得 或 ， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，S随的增大而减小， ∴， ∴当时，S随的增大而增大， ∴， ∴S没有最小值，也没有最大值． 【变式7-2】已知二次函数（为常数，且）．它的图象经过，两点． (1)求二次函数的顶点坐标（用含的代数式表示）． (2)若，当，时，请比较，的大小． (3)若，，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将二次函数一般式通过配方法化为顶点式，即为顶点坐标； （2）由（1）得抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，抛物线上点到对称轴距离越远，函数值越大，分别计算到对称轴的距离范围，对比距离大小即可判断； （3）把代入解析式求，把代入解析式求；将代入分式，化简得到只含的代数式；根据自变量范围，结合二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：抛物线对称轴为直线， ∵，故开口向上． ∵二次函数的图象经过，两点 ∴到对称轴的距离，到对称轴的距离 ∵， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∴到对称轴的距离， ∴， ∵开口向上时，距离对称轴越近函数值越小， ∴； （3）解：∵，， ∴将代入得，， 将代入得，， ∴， ∴， 令， ∵，故抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当取最小值时，取最大值， 即当时，取最大值，此时． 【变式7-3】已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴． (2)当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）求出y的最大值和最小值，即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到或，解不等式组即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在内， 当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ∵当时，y的最大值和最小值的差为4， ∴， 解得：； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时，， 解得：； 当在右侧时，， 解得：； ∴或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $