专题01 二次函数 十四大题型突破- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数14大核心题型，从概念到综合应用构建完整知识链，题型覆盖全面，逻辑递进清晰，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|3题型|概念辨析与参数求解|从定义本质到实际问题建模，强化符号意识| |图像性质|7题型|图像性质与变换|从特殊到一般式性质探究，结合几何直观| |综合应用|4题型|交点与方程不等式关系|函数与方程不等式转化，发展推理意识|

专题01 二次函数常考十四大题型突破 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 【题型12：二次函数的交点个数问题】 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 3．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 4．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 5．已知关于x的二次函数，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如，a、b、c是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且，解得：． 故选：B． 6．如果函数是二次函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数定义，根据二次函数的定义得到且，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得． 故选：A． 7．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数，解题的关键是掌握二次项系数不为0． 根据二次项系数不为0得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：D． 【题型03：列出二次函数关系式】 8．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 9．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 10．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 11．正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 12．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 13．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数顶点式的对称轴与的对应关系，判断各选项对称轴是否在轴左侧． 【详解】解：A选项，的对称轴为直线，在轴左侧，符合题意； B、C选项对应的二次函数对称轴均为轴，不符合题意； D选项，的对称轴为直线，在轴右侧，不符合题意． 14．关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 【详解】解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 15．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 16．已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次函数顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上的二次函数性质，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为：直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离相等则函数值相等，距离越大，函数值越大 ， ∴． 17．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 18．已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，进而可判断①②，当时，函数的解析式是，将代入判断是否为即可判断③，根据顶点坐标及开口方向即可判断④． 【详解】解：根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，故①错误； 顶点坐标是，开口向下，则函数的最大值是3，则②正确； 当时，函数的解析式是，将代入得，即函数不经过原点，故③错误； 顶点坐标是，开口向下，则该抛物线和x轴总有两个公共点，故④正确． 故选：C． 19．关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（     ） A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4 C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中参数与函数最值的关系是解题关键． 【详解】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式． 又∵． ∴抛物线开口向上，函数有最小值． ∵该函数的顶点坐标为． ∴当时，有最小值4． 故选：B． 20．已知二次函数，当随的增大而增大时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由于二次函数的图象开口向下，在对称轴左边满足随的增大而增大，求出此时的范围即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，图象开口向下， 时，随的增大而增大． 故选：D． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 21．如图，抛物线与矩形交于E、F两点，与矩形交于A、D两点，与矩形交于B、C两点，若点A的横坐标为，则图中阴影部分面积的和为__． 【答案】/0.75 【分析】把点A的横坐标代入函数解析式求出点A、B的纵坐标，从而求出的长度，再根据二次函数的对称性求出的长，并得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵点A的横坐标为， ∴，， ∴点，， ∴， 根据二次函数的对称性，， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键，也是本题的难点． 22．如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、矩形的性质等知识点，掌握抛物线的性质是解题的关键． 先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式组求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标M为， ∵，， ∴， ∴． 故选答案为． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点轴，点的坐标为，若抛物线在矩形内部的图象中，随的增大而减小，则的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】求出抛物线经过B、C两点时，m的值，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵矩形的对称中心为坐标原点轴，点的坐标为， ∴点，， 当抛物线经过点时，， 解得， 当抛物线经过点时，， 解得， 观察图象可知满足条件的m的值为， 故答案为： 【点睛】此题考查了中心对称、矩形的性质、二次函数的性质等知识，读懂题意，数形结合是解题的关键． 24．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ________． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质以及正方形的性质，根据“美丽抛物线”的定义，得出D的坐标为，再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴抛物线的顶点A的坐标为，点C的坐标为 ∵“美丽抛物线”的定义 ∴点D的坐标为 将代入， 得 解得（舍去）或． 故答案为：8 25．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为，，， ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故答案为：． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 26．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 27．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 28．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 29．点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】将两点横坐标分别代入二次函数解析式，计算出和的值，再比较大小. 【详解】解：∵ 在二次函数的图象上. ∴ 将代入解析式，得 . ∵ 在二次函数的图象上. ∴ 将代入解析式，得 . ∴ . 故选：B. 30．若抛物线 与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 31．抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（  ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，关键是利用抛物线上对称点的纵坐标相等确定对称轴，再结合对称轴两侧函数的变化趋势分析相关性质． 【详解】解：对于选项B：∵当和时，的值均为，这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线，故B选项正确； 对于选项A：观察表格可知，当从增大到时，从减小到，即对称轴右侧随的增大而减小，根据二次函数性质，可知抛物线开口向下，故A选项正确； 对于选项C：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，而非减小，故C选项错误； 对于选项D：已知对称轴为直线，对应表格中的， ∴抛物线的顶点坐标为，故D选项正确； 故选：C． 【题型07：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 32．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 33．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 34．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置判断 关系；利用抛物线对称性确定 时函数值的符号；根据顶点坐标公式变形判断等式；结合函数图象顶点纵坐标与直线 的位置关系判断方程根的情况 ． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，则 抛物线顶点坐标为 对称轴为直线 ，即 ，故②错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点在和之间 当时， ，故①正确； 顶点坐标为 ，故③正确； 抛物线顶点纵坐标为，且开口向下， 抛物线与直线有两个交点 一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 35．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 36．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 37．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 38．已知二次函数（为常数，且），当时，的最大值为24，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先对二次函数整理得到对称轴，根据a的正负判断当时，函数图象的增减性，确定最大值位置，列方程求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数对称轴为直线， 分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，在上随增大而增大，最大值在处取得， 将代入函数得：， 解得； 当时，抛物线开口向下，在上随增大而减小，最大值在处取得. 将 代入函数得：， 化简得，等式不成立，此情况无解． 综上，． 39．已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 40．已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围． 【详解】对抛物线配方得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为，在处取得最大值， ∵，且时取得最大值， ∴， 解得 ， 又时取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，到对称轴的距离为，因此区间右端点到对称轴的距离不超过3，即： 化简得， 解得 ， 取两个不等式的交集得， 故选：A． 【题型09：二次函数的平移变换】 41．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数的平移的规律是左加右减，上加下减，由此可解． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，自变量变为， 得到的抛物线解析式为． 42．抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，对原抛物线解析式进行变换即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循规律：左右平移改变自变量，左加右减，上下平移改变常数项，上加下减 原抛物线解析式为， 向左平移个单位长度，自变量加，得：， 再向下平移个单位长度，常数项减，得：． 43．将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 44．将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】分别求出原抛物线与y轴的交点，向左平移3个单位后与y轴的交点，向左平移4个单位后与y轴的交点，比较后即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移3个单位得到，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移4个单位后所得抛物线表达式为，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会先减小后增大． 45．把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，利用抛物线与x轴只有一个公共点时对应一元二次方程的判别式，即可求解的值． 【详解】解：根据二次函数图象平移规则，向上平移1个单位长度后， 所得抛物线的解析式为： ∵平移后抛物线与轴有且只有一个公共点 ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 46．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，先求出对称轴，再计算的值，最后代入点坐标求即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为， 对于抛物线，对称轴为 ， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得． 47．已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 48．若抛物线经过点，，则此抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握对称点与对称轴的关系是解题的关键． 由点和纵坐标相同，判断出这两个点关于对称轴对称，故对称轴为这两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵抛物线经过点和， 两点纵坐标相同，故关于对称轴对称， ∴对称轴为直线 故选C． 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 49．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出二次函数与x轴正半轴的交点． 根据二次函数的图像可知对称轴为，则可得二次函数与x轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程的正数解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且与x轴负半轴的交点为， ∴二次函数与x轴正半轴的交点为， ∴关于x的一元二次方程的正数解为1． 故选：A ． 50．已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，掌握顶点式的性质是解题关键． 利用顶点式求出对称轴，然后利用轴对称的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴对称轴为直线， 假设抛物线与x轴的另一个交点是， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故选：B． 51．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 5 0 5 … 关于的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，理解一元二次方程（，，是常数，）可以看成求二次函数（，，是常数，）与轴的交点横坐标是解题的关键． 把点和点代入，求得，再求的解． 【详解】解：把点和点代入， 即， 求得， ∴即， 解得， 故选：C ． 52．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】令，转化为一元二次方程，利用根的判别式，求解即可． 【详解】解：令，得， ， ∴抛物线与x轴有2个交点． 53．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 54．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 【题型12：二次函数的交点个数问题】 55．二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别令，求出的值，令，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴令时，则， ∴二次函数经过， ∴令时，则， ∴， 解得 ∴二次函数经过， 则二次函数与坐标轴的交点个数是有两个交点， 故选：B． 56．抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．令，根据判别式的符号求解即可． 【详解】解：令， 则， 故抛物线与x轴的交点个数为2， 故应选：C． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 57．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 58．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 59．如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的两个交点坐标为，可推出函数与函数关于y轴对称，则函数与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是， 故答案为：． 60．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 故答案为：． 61．已知二次函数，函数值和自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 2 … 则关于的一元二次方程的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， ∴点关于直线的对称点是点， ∴关于的一元二次方程的解是， 即关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 62．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 63．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 64．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 65．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 66．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 67．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，在点，之间的抛物线在直线下方， ∴时，， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数常考十四大题型突破 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 【题型12：二次函数的交点个数问题】 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 4．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 5．已知关于x的二次函数，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．0 6．如果函数是二次函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型03：列出二次函数关系式】 8．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B．C．D． 9．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 10．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 11．正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为________． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 12．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 13．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 14．关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 15．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 16．已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 17．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 18．已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 19．关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（     ） A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4 C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值4 20．已知二次函数，当随的增大而增大时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 21．如图，抛物线与矩形交于E、F两点，与矩形交于A、D两点，与矩形交于B、C两点，若点A的横坐标为，则图中阴影部分面积的和为__． 22．如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点轴，点的坐标为，若抛物线在矩形内部的图象中，随的增大而减小，则的取值范围是_________． 24．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ________． 25．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为____________． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 26．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 27．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 28．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 29．点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 30．若抛物线 与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 31．抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（  ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【题型07：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 32．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 33．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 36．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 37．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 38．已知二次函数（为常数，且），当时，的最大值为24，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 39．已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型09：二次函数的平移变换】 41．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B．C．D． 42．抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 43．将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 44．将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 45．把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 46．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 47．已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 48．若抛物线经过点，，则此抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线D．直线 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 49．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 50．已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 51．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 5 0 5 … 关于的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 52．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 53．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 54．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．，D．， 【题型12：二次函数的交点个数问题】 55．二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 56．抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 57．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 58．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 59．如图是函数的图像．则方程的解是___________． 60．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 61．已知二次函数，函数值和自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 2 … 则关于的一元二次方程的解是_____． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 62．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B．C．或D．或 63．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B．C．D．或 64．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B．C． D．或 65．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 66．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 67．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______．    1 学科网（北京）股份有限公司 $