精品解析：湖南株洲市第一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

株洲市一中2026年下期高二开学考 数学试题卷 考生注意： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效； 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集的概念计算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知角终边经过点，记， 点到原点距离， 故． 4. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9， 由可知第30百分位数是第2个数据，即为. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 6. 甲、乙、丙三人各自独立破解同一密码，成功率分别为0.5，0.6，0.4.现定义事件为“甲和乙至少有一人成功”，事件为“丙未成功”，则（ ） A. 0.28 B. 0.36 C. 0.42 D. 0.48 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概率计算公式，以及相互独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】根据题意，， 所以，. 故选：D. 7. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 8. 记的内角的对边分别为，已知的面积为20，且，点在其内部，满足的面积之比为.若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的面积之比为，得是的中点，且，由余弦定理化简可得，即，在利用面积公式计算即可求解. 【详解】延长交于， 因为的面积之比为， 所以是的中点， 因为面积之和与面积之比为，所以， 又因为， 所以 又因为，求得， 所以， 则，又的面积为20， 所以，解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为零，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则判断ACD；举特例判断B. 【详解】对于ACD，设， 则，即， 而，即，故A正确， 而， ，则，故C正确， 而， ， 则，故D正确； 对于B，当时，， 而，故B错误. 故选：ACD. 10. 在中，，，的角平分线交于点，则（ ） A. 的最小值为1 B. 当最小时， C. 当为锐角三角形时， D. 当时，的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理结合二次函数性质计算可判断A；由角平分线性质计算可判断B；根据为锐角三角形可得，由三角形面积公式可得，根据函数单调性计算求解判断C；结合C代入计算可得，再根据三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，设，由余弦定理可得， 因为， 所以当时，有最小值为，故A错误； 对于B，由角平分线性质可得，即， 因为在上，所以，故B正确； 对于C，当为锐角三角形时，则三个角均为锐角， 当为锐角时，由余弦定理可得，即，解得， 当为锐角时，由余弦定理可得，即，解得， 因为， 即，化简可得， 因为在上单调递增， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，即，解得， 所以，故D正确. 11. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（ ） A. 线段AB与GH所在的直线是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把正方体的展开图还原为正方体，画出直观图，由异面直线的判断方法判断A，由体积公式判断B，利用余弦定理判断C，利用平面展开图判断D. 【详解】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示： 对于A：线段AB与GH所在的直线既不平行也不相交，故A错误； 对于B：因为的面积为定值，点到平面的距离也为定值， 根据三棱锥体积公式可知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C： 如图，连接，则， 设，由余弦定理可得 ， 而，由余弦定理可得， 故 , 故始终为钝角，故C错误. 对于D：取的中点为，连接，过作，垂足为， 由正方体的性质可得平面，而平面， 故，故，故平面， 故为到平面的距离， 将平展到一个平面中，如图所示， 在直角三角形中，斜边，故， 故，故的最小值即为到直线的距离， 该距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A，B相互独立，且，则_______． 【答案】0.16 【解析】 【分析】根据对立事件及相互独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】因为事件A，B相互独立，所以事件也相互独立. 因为，所以 所以. 13. 在中，D为的中点，，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】先通过正弦定理得到与的数量关系，再结合中线的向量性质及余弦定理计算BC的长度. 【详解】在中，由正弦定理， 结合已知，可得， 设，则， 因为为中点，故， 两边平方得： ，  代入，，， 得：  ，化简得，即， 在中由余弦定理：  ， 代入、、， 得：  ，将代入得， . 14. 矩形中，，，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为60°，点是线段的中点，则三棱锥外接球半径为______． 【答案】 【解析】 【详解】法1：如图，在矩形中，连接交于， 因为点是线段的中点，所以， 则，则， 因为，所以，所以，即，， 因为，四边形为矩形， 所以，， 由折叠可知 又，所以在中， 代入得 故. 并且，所以 因为，，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以． 在平面内过点作直线，则． 又平面，与交于，所以平面， 在底面中，，且， 设的外接圆半径为，则由正弦定理知 由于平面，外接球球心在外接圆圆心的垂线上． 设球心到平面的距离为，则由球心到与到底面三点距离相等，得所以 因此， 代入得 故 法2：如图，作，交于，，交于， 因为，四边形为矩形， 所以，，同理. ，所以. 连，因为为中点，为中点，所以. 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 因为二面角的大小为，所以， 设的坐标为，则，所以，， ，所以，即， ，所以. 设三棱锥外接球球心的坐标为， 则 解得，所以外接球的半径为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】（1） （2） （3）95克 【解析】 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【小问1详解】 频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. 【小问2详解】 各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. 【小问3详解】 由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 16. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，可判断出是等腰直角三角形，再结合已知条件可得出、的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 因为， 整理可得，可得， 因为，故. 因为，所以，故是等腰直角三角形， 因为，所以，， 故的周长为. 17. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O的直线交边AB于点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则及中点性质求解； （2）利用三点共线的充要条件建立方程求解； （3）利用三角形面积公式表示面积，再求解范围. 【小问1详解】 因为是中点，所以 ，又因为是中点， 所以，所以； 【小问2详解】 已知，， 将其代入 （1）的结论 所以三点共线，所以 ，得； 【小问3详解】 正三角形边长为，，由（2）知，， 面积是， 由，得， 在线段上，在线段上，，代入： 解不等式， ，，得； ，结合，得, 综上参数范围：，， 令，，由得，所以， 由对勾函数性质：在与处取最大值，在处取最小值， 时，； 或时，，所以， 因为，因此，所以面积的取值范围是 ． 18. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，． （i）求点到平面的距离； （ii）若点在上，且∥平面，求的值． 【答案】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面， 平面，所以，又，， 平面，所以平面， 平面，所以平面平面. （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明； （2）（i）根据等积变换，利用求解； （ii）证明当为中点时，∥平面，从而得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）平面平面，交线为，在上， ，故平面， 即到平面的高为. ， . 由（1）平面，所以， 中，， . 设点到平面的距离为，， ，所以. 所以点到平面的距离为. （ii）取的中点，连，因为是的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 当为中点时，连，则，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面，所以. 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 【答案】（1）在区间上单调递减. 证明：设，则 ， 因为所以，，， 所以，即， 故在区间上单调递减. （2）（i）， 又定义域为，关于对称， 故曲线关于点对称； （ii）由结合（1）易知在，，上单调递减， 函数有三个零点，则，，， 由，可得， 而，， 所以， 由，则， 则， 又，在上单调递减， 故． 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）（i）结合函数的对称性证明即可. （ii）根据零点存在定理判断，，范围，结合函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市一中2026年下期高二开学考 数学试题卷 考生注意： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效； 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 6. 甲、乙、丙三人各自独立破解同一密码，成功率分别为0.5，0.6，0.4.现定义事件为“甲和乙至少有一人成功”，事件为“丙未成功”，则（ ） A. 0.28 B. 0.36 C. 0.42 D. 0.48 7. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知的面积为20，且，点在其内部，满足的面积之比为.若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为零，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，的角平分线交于点，则（ ） A. 的最小值为1 B. 当最小时， C. 当为锐角三角形时， D. 当时，的面积为 11. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（ ） A. 线段AB与GH所在的直线是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A，B相互独立，且，则_______． 13. 在中，D为的中点，，，，则________． 14. 矩形中，，，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为60°，点是线段的中点，则三棱锥外接球半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 16. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 17. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O的直线交边AB于点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求面积的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，． （i）求点到平面的距离； （ii）若点在上，且∥平面，求的值． 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $