湖南省株洲市第二中学2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

株洲市第二中学2026年下学期高二年级入学考试参考客案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 B B D A BD ACD ABD 填空答案：12.-2<x<2且x￥1 13.2027 14.2√2+3 8.【详解】将函数f内)=0ox的图象向右平移之元个单位长度，得y=c08x-仍)的图象， 由题得g(x)=cos(aox ，周期T=2红， 6 因为8()在怎上没有零点，所以受子 222 得T≥2x,即2亚≥2x,得0<0≤1， 假设函数似在（任）上有零点， 令g)=0,得ox-红=+版keZ,解得x=匹+红keZ, 62 03w 则经告+名c受用号告tez 93 3 又0<0<1，当k=0时，得8<0≤1， 当k=-1时，得2<@< 9 3 所以函最8在行 上没有零点时，®的取值范围是 故选：A 10.ACD 【详解】f(x+)为奇函数，故f(-x+)=-f(x+1),即f(-x+2)=-f(x)①， 又f(x+2)为偶函数，故f(-x+2)=f(x+2)②， 则由①②可得，-∫(x)=f(x+2), 则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)的-个周期为4， 在①中令x=0有f(0)=-f（2), 又当xe(0,2习时，f(x)=x-l,则f(2)=1f(0)=0,则f(0)=-l, 所以f(2024=f(4×506)=f(0)=-1,f(2025)=f(4×506+1)=f()=0, 故A正确； 由②可得，f(x)=f(-x+4),则f(-)=f(-x+4)=f(x), 即函数f(x)是定义在R上的偶函数， 因x∈(0,2]时，f(x)=x-1,则f(x)是(0,2)上的增函数， 则f(x)是(-2,0)上的减函数， 因8是f(x)的一个周期，则f(x)是(6,8)上的减函数，故B错误： 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)=f(x+8), 所以f(x)的图象关于直线x=4对称，故C正确： 函数y=f(x)-ogx的零点个数可以转化为y=f(x)与y=Iogx图象的交点个数， 由题意得y=f(x)与y=logx的图象如下： y=logex -10 v=f(x) 当x=时，f8 1 81=1-1+1= -1og888 >0， 8 11-1 当x=时.份) 11 3 <0, 6 当x=1时，f()-log1=0, 结合图象可知，函数y=f(x)-logx在(0,1)上存在1个零点， 当x=6时，f(6)-1og6=f(2)-log6=1-1og6>0, 当x=10时，f(10)-log10=f(2)-log10=1-log10<0, 由此可得y=f(x)与y=logx的图象有5个交点， 所以y=f(x)-logx有5个零点，故D正确， 故选：ACD. 0 11.【详解】对A选项，设平面PCD与棱BB交于H点，连接CH,如图： 因为CDI∥AB,CD平面ABBA,ABc平面ABB,A,所以CD∥平面ABB,A. 又因为CDc平面CDPH,平面CDPH∩平面ABB,A=PH,所以CDIIPH 因为点P是棱AA的中点，所以点H是棱BB,的中点，因此CD=PH,所以四边形CDPH是 平行四边形 又因为在正方体中，CD⊥AD,CD⊥DD,AD∩DD=D,AD,DDC平面ADDA, 所以CD⊥平面ADDA,PDc平面ADD,A,所以CD⊥PD,因此平行四边形CDPH是矩 形 在直角三角形ADP中，AP=1,AD=2,所以PD=√AP2+AD2=√5， 所以矩形CDPH的面积ScoW=CD·PD=25,故A正确； ◆M 对B适项，因为S心宁om=5,设点M到平面CDPH的距离为，如图： 设过C点作CN⊥CH交CH于N. 因为在正方体中，CD⊥BC,CD⊥CC,BCnCC=C,BC,CCC平面BCCB, 所以CD⊥平面BCCB,CNC平面BCCB,所以CD⊥CN. 又因为CN⊥CH,CH∩CD=C,CH,CDC平面CDPH,所以C,N⊥平面CDPH. 所以CN就是C点到平面CDPH的距离，当且仅当M与C重合时，M到平面CDPH的距 离h有最大值， 因为GN⊥CH,∠BCH=∠CCN,cos∠CCN=cos∠BCH=BC-8C2 CH PD5 在直角三角形CC,N中，GN=CC,·cos∠CCN=4 ，所以=4」 5 所以三棱候P-DCw的体职aw=o8mA≤兮ma5x专子 1 B正确； 对C选项，连接HM,由B选项分析知CD⊥平面BCC,B,且CDIIPH, 所以PH⊥平面BCC,B,因此∠PMH就是PM与侧面BCCB所成角，即∠PMH= 在直角三角形PM中，∠PMH=年，所以M=P阴=2. 在侧面BCC,B,中，动点M到定点H的距离为2，因此动点M在一段圆弧上，如图： 由圆的几何性质，线段CM≥CH-2=VGBR+BH2-2=V5-2,故C错误： 对D选项，取棱AD的中点F,连接FD,FQ,再过M点作ME∥F 因为P,F是棱AA,AD的中点，所以AP=FD,AD=DD,PD=FD, 因此△PAD≌△FDD,所以∠PDA=∠FDD,D,F⊥PD, 由A选项分析知CD⊥平面ADD,A,D,FC平面ADDA,所以CD⊥DF 因为DF⊥PD,CD⊥D,F,PDOCD=D,PD,CDC平面CDPH,因此DF⊥平面CDPH. 又因为MEIIFO,F2I/CD,所以ME∥CD,且M是动点， 所以ME∥平面CDPH或MEc平面CDPH,且DF⊥平面CDPH, 故∠D,ME就等于D,M与平面DPC所成角. 在直角三角形D,ME中，D,E=x,x∈[0,5]，sin∠DME= DE DM 当x=0时，sin∠DMB=0: 1 当x∈0，V5]时，√x2+4 1+ 综上所述，sin∠D,ME 5 03 即D,M与平面DPC所成角正弦值的取值范围为 0 故D正确. 14.【详解】由16-(xg+ye)P6-(x,g+y)1(x,%∈R)可知： 当x=,y=%时，1i-(xg+y)引有最小值1， B+(e+ye)-B'-2xB.g-2yb.ej+xgty+2xyec 因为G,名是空间单位向量，日G-空间向量6满足不名=2，不写 3 所5+网+%f--4-+++g(++0-2-7+6, 显然当 x+2生4-0时，6+网+有最小值，最小值为1，所以1=-7+， 2 y-2=0 x=1 6=1 解得： y=2, 即当%=2时成立，因此+6+-3+22， 2=8 阿=2w2 故答案为：3+2N2 15.0a=082众数为105，中位数为1057g)月 【详解】(1)依题意，(0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10=1,解得 a=0.008, 4 (2)数学成绩的众数为105 由频率分布直方图知，分数在区间[80,100)、[80,110)内的频率分别为0.34,0.62， 所以该校数学成绩的中位数m∈[100,110)，则(m-100)×0.028=0.16,解得m≈105.7；8 （3)抽取的5人中，分数在30,140)内的有008+0.02 0.08 ×5=4（人），在140,150]内的有 1人，记在[30,140)内的4人为a,b,c,d,在140,150内的1人为A, 从5人中任取3人，abc,abd,abA,acd,acA,adA,bcd,bcA,bdA,cdA,共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中，有abA,acA,adA,bcA,bdA,cdA,共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在[40150中的概率是P=6=3 105 13 160管a42-5. 【详解】(1)因为 cosA sin2B 2sin Bcos B sin B 1+sin A 1+cos2B 2cos2 B cos B' 1 sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cosC= 2 而0<B< 3， 所以B= .6 63 (2)由()知，s血B=-osC>0,所以经<C<%0<B<受 而sinB=-cosC=sin -引 所以C-受+8，即有4-子-2B,所以B引c(径) 8 所以由正弦定理得。+62_im2A+sim2B_cos22B+1-c0s'2B c2 sin2C cos2 B (2cos'B-1)+1-cos'B C082B +c02B-522W8-5=4W2-5 -=4c0s2B+2 当且仅当cB=受时取等号，所以心少的最小值为4反-5。 .15 2 17.(1)如图所示，取AB的中点Q,连接CO, :DC=AO,=2,AB/DC,,四边形DCOA为平行四边形，∴.CO=AD=2, 又：BC=OB=2,∴.△BCO为正三角形，即有∠ABC=60°， 在等腰梯形中，∠BCD=120°，AD=CD=BC=2,AB=4, 则BD=√BC2+CD2-2 BC-CDcos120°=√4+4-2×2×2cos120°=2N5, AD2+BD2=AB2,,AD⊥BD, PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,,PD⊥BD, :ADOPD=D,AD,PDc平面PAD,,BD⊥平面PAD, :PAc平面PAD,.BD⊥PA, 5 (2)(i)AD=AO=2,∠DAB=60°，△AOD为等边三角形，. “OD=QA=QB=OC=2,即O为四边形ABCD外接圆的圆心， O为△BCD的外接圆圆心，半径r=OA=2,且OO⊥平面ABCD, PD⊥平面ABCD,∴.PDI/OO,且OP=OD=OA=OB=OC, ∴球O的半径R=OD PD +2 =4R2=25mR=2小 5 (PD 2 +r2=R2=25 .PD=3 .10 (i)方法一：过D作DE⊥AB于E, AB⊥PD,DE,PDc平面PDE,DE∩PD=D,∴.AB⊥平面PDE, 又，PEc平面PDE,AB⊥PE,∴∠PED为二面角C-AB-P的平面角， 12 n∠PED-PD=3=N3,二面角C-AB-P的平面角的余弦值为5 “平面PAB与平面ABC夹角的余弦值为) 153 方法二：如图所示，建立以D为坐标原点，DA,DB,DP方向为x,y,z轴正方向的空间直角坐 标系， ∴P(0,0,3),4(2,0,0),0,23,0，PA=(2,0,-3),丽=(-2,23,0， 易知平面ABC的一个法向量为元=(0,0,1)， 设平面PAB的法向量为m,则PA.m=Bm=0, m=6,5,2刘，kos佩列-丽4乞” m列21 :平面PAB与平面ABC夹角的余弦值为2： 15 18.0k=0或k=1回a<-号或0≥1606) 【详解】(1)解：函数fx)=x++2,keZ的定义域为R,则-k2+k+2>0, 所以(k-2)(k+1)<0,解得-1<k<2,又keZ, 所以k=0或k=1; 4 (2)解：因为-k2+k+2=-k(k-)+2且keZ, 若k为奇数，则k-1为偶数，则-k(k-1)+2为偶数， 若k为偶数，则k-1为奇数，则-k(k-1)+2为偶数， 且-+2-g 因为f4)>f(-3),所以f(x)在(-∞，0)上单调递减， 若k2+k+2=2,即k=0或k=1时f(x)=x2符合题意， 若-k2+k+2=0,即k=-1或k=2时f(x)=x°，不符合题意， 若-大+k+2<0,则f)=x2为偶函数且在(0，+o)上单调递减，则f(x)在(-o,0)上单调 递增，不符合题意： 所以f(x)=, .6 则不等式(a2-1)f(x)+(a-1)f(丙+2>0恒成立，即(a2-1)x+(a-1)x+2>0恒成立， 因为(x)=(a2-1)x2+(a-1+2为偶函数，由h(x)>0恒成立，只需研究x≥0的情况即可， ①当x=0时显然成立， .7 ②当x>0时(a2-1)x2+(a-1)x+2>0恒成立， 若a2-1=0解得a=1或a=-1,当a=1时显然成立，当a=-1时不等式即-2x+2>0,解得 x<1,不符合题意； 若a2-1<0,即-1<a<1时，显然不成立， 若a2-1>0,即a>1或a<-1时，函数g(x)=(a2-1)x2+(a-1x+2的对称轴为x= -1 2(a+1)' 开口向上， 当a>≥1时x20+<0,又go=2>0,所以g倒-(a2-r+e-x+2>0x0,t回j -1 恒成立，符合题意， -1 当a<1时x 20+>0,则a=(a--8c-<0,解得a>1(舍去)或a<-号， 综上可得：a<-号或a21 .10 (3)解：由(2)可得2f(x-1)-√f(x)fx-1)+2mx2=0, 即2(x-1)2-x(x-1+2mx2=0, 因为方程2fx-)-√f(x)/(x-)+2mx2=0在(0，+oo)上有4个不同的根， 即2(x-1-x-+22=0在(0，+oo)上有4个不同的根， 令m倒--，xe0,to), 当x>1时，m(=实=1， 所以m(x)在Q,+o)上单调递增，则m(x)e(0,1): 当0<x<1时，m()=1-x=上-1， xX 所以m(x)在(0，D上单调递减，则m(x)e(0,+∞). 方程20x-y2-k-1+2mr2=0可变形为2k-上_k-+2m=0, 12 即2m2(x)-m()+2m=0, 令5=m(),则方程为2s2-5+2m=0,要使得原方程有4个不同的正根， 则关于s的方程2s2-s+2m=0在(0,1)上有两个不等的根，2， [1-16m>0 所以{2m>0 解得0<m<6 2×12-1+2m>0 故实数m的取值范围为 179 19.(1)f(x)=cosx,g(x)=sinx; 日02sa≤号m21 【详架1ei升品a-升a@ 数r(小g(imx+引n-引a) =aea-引9+}2， 因为f(x),g(x)分别为定义在R上的偶函数与奇函数， 所以f(x)=f(x),g(x)=-g(), 故r回+r)-Viw-引+升z@r 式子①+②得2f(x)=2cosx--sinxsin2x, 2f (x)=2cosx-sin xsin2x=2cosx-2sinxcosx=2cosx(1-sin'x)=2cosx, 所以f(x)=cosx, 式子②-①得2g(x)=2sinx-2 sin xcos2x=2sin3x, 所以g()=sinx, 4 (2),(x)=[fc)+g(c”+[UKg〗” =(simx+cosx)”+(cosx-sinx)°， (i)当n=2时，(x)=(sinx+cosx)}2+(cosx-sinx)=2, 不等式化为2+3 acosx-2a≥0， 令1=COSxE[-l,1],则需2+3at-2a≥0对任意te[-1,]恒成立， 设p(d)=2+3at-2a, 要想2+3at-2a20对任意t∈[-1,1恒成立，只需 p(-1)=2-3a-2a≥0 p(1)=2+3a-2a≥0 期将-2sa5号 综上，当n=2时，-2≤a≤ 2 7 下证若2引 则对任意正整数n,不等式hn(x)+3 acoSx--2a20不恒成立， 克，(x)=(sinx+cosx)”+(cosx-sinx)”, 若a>子，取x=,此时nx=0,osx=-1,(创=(-+(-少=2或-2， 当为裔数时，及)=2，代入不等式得2-3a-2a20,解得a≤-号， 与4>号牙盾， 当为偶数时，么（因=2，代入不等式得2-3a-2a之0，解得@≤号，与a>号矛盾， 5 若a<-2,取x=0,此时sinx=0,cosx=1,hn(x)=2, 代入不等式可得2+3a-2a≥0，解得a≥-2，与a<-2矛盾， 2 因此，当-2≤a≤二时，存在n=2,使得hn(x)+3 acoSx--2a≥0对任意的x∈R恒成立10 (i)对任意的x∈R恒有h,(x)≤2026，只需h,(x)≤2026， 令u=osx+血x=5知+牙引，v=oasx-nx=5cos+引】 则2+=2，设(x)的最大值为Mn, 12 当n=1时，么(x)=2cosx≤2，此时对任意的x∈R恒有(x)≤2026， 当n≥2时，u+v≤4+州”，且在约束条件u2+v2=2下， -( smr++es(+到， 最大值为4”+M=(V2”,故M,=(2, 14 例如，当x=时，目-(， 故只需(2≤2026，即2i≤2026，号≤og,2026,n≤21og,2026, 其中og,2026cos,10245,i8:2048-(川， 故2log22026e(21,22), 若对任意的xeR恒有h(x)s2026,则n的最大值为21. 179株洲市二中2026年下学期高二年级入学考试 数学试题 命题人：高二数学组审题人：高二数学组时量：120分钟分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1.复数z=sinl+icosl,则z=() A.1 B.2 C.3 D.4 :C619:B 以0089 2.若向量ā=(m,-3),6=(3,1),则“m≥-9”是“向量a,6的夹角为锐角”的（) 才的张( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )面平甚8k1面平张( C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a 10g,3’3=2,则30-=（) .3先，444元=（分158 2 6 ǒ A. C. 27 边出为农，D,40宝始()八=（婴函(0 4。两个实习生每人各加工一个零件，加工为一等品的摄率分别是号和，两个零作是否加工为一等品相 互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率是(）关臀时.m这火前背，不拼茶m(S)市( B. c. 5 1 图球卧速D,2来谢五油可不个管 5.已知血(a+)-号，na=2am0,则如(a-例=（) A月 B. 5 c.名的1月D.3限代3八联5Q叫 5 6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OAB'C,且O'A∥B'C,OA'=2,A'B=1, 将该平c面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为(。) C B B✉ c. 7√2：()8晾 3元 D. 3π A 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为4的正方形，PA=4,E,F 分别是棱CD,AD的中点，M是侧面PCD内的一个动点，若BD⊥平面MEF,则动点M的轨迹长度为 () :周说 水，∂S032(x),N言量分3x的孩}软卷(i) A.22 B.√5 C.2 D.2W5 试卷第1页，共1页 8.将函数f(x)=cosx的图象先向右平移π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为 原来的二（@>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(9)在22 元3元 上没有零 点，则①的取值范围是() ,关本晚与， A([. D. (0, 3,3说5， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分 9.已知m”是两条不重合的直线，口，A,y是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，，四 高水学中某，重区增华谢均得一不支端比，2 其中正确的命题是() A.若m11Bn11B,m,nca,则a/1B8西测)本料式}是氨学境的学同个002T体阙 B.若a1,B上，a0B=m,n9Y,则m士n.(0c1.0il,(0f100.(00.0e.(02,08 C.若m⊥a,a⊥B,anB=n,则m/n :不间图时圆氏直济公率测 D.若m/1a,mcB,a∩B=n,则m/1n 00 10.已知函数f(闪)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当xe(0,2]时，0。 f(x)=x-1.则下列结论正确的是() 10.0 688 A.f(2024)+f(2025)=-1 B.f(x)在区间(6,8)上单调递增 00.0 C.f(x)的图象关于直线x=4对称 D.函数y=f(x)-logx有5个零点 面的。来(1 11.如图，若正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，点M是正方体ABCD-AB,C2侧面行S BCC,B,上的一个动点（含边界），日点P是棱4的中点，则下列结论正确的是（华）料从() A.平面PCD截该正方体的截面面积为25坐迷数人E出脉中尘 B B。三棱锥P-DCM体积的最大值为号 M C.若PM与侧面BCCB所成角为景，则线段GM长度最小值为2-5武 D B D.若点2为棱BC中点，点M在线段OC上移动（含端点），则DM与平面DPC所成普 静小是的 +S 角正弦值的取值范围为 0, 试卷第2页，共3页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 中向状家￥的=)况为￥.8 12.要使分式-少有意义，则x的取值范围为一一 √4-x2 13.已知样本出，x04平均数为2，方差为2023，则x,号，4的平均数 14、已知可，弓是空间单位向量，名马-，者若空间向量石满足石：写=2不高-多且对任意x、 y∈R,石-（馆+y间）以6(，名+，)非1(x,少∈R),则x+%+同=山E兰本 烈货安， 水要目题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩， 随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80,150]内），将所得成绩分成7组： [80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],整理得到样本 频率分布直方图如图所示： 个频率组距 的，8=周O98三地，，附法. 0.028 .03 类题以(S+)變丽微贵任+)八且·式慰艾实(x)飞婆赋与0 0.022 0.018 ()景的前五射顺不题.1一=（) 8816 (8ò)☒(.8 I-=(2c0S)+(0c)八.A 0.002元 01 8090100110120130140150数学成绩 林恢多=x积直干关雅圈增（区）八.) (1)求a的值 (2)估计本次联考该校数学成绩的众数和中位数：（中位数精确到0.1）P8武五，图【 (3)从样本内数学分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学)○ 生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成 绩在[140,150]中的概率. 长大量喻只○0一9辩过三. 16.记416c的内角BC的对边分别为a,66,已知02D营 sin 2B (4)若C=,求B,4,0,(微舍)群土0圆整M点点中门8刻武0点苍.口 2)求+的最小值。 2 c2 .0 比萨卦理的乳使食 试卷第3页，共3页 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD上平面ABCD,AB/DC,BC=CD=AD=2,AB=4. 强学烟 0八个：是相健单塘上高：人遗南节婚“名：人很传 个四的出触测小喻方.代帅共，代已黑心办，融小8生跟本属强单， (…腹，场o+说ss克， (1)证明：PA⊥BD: (2)若P,B,C,D均在球O的球面上，且球O的表面积为25π. 呗，(1，，(8-，m}=6量 (i)求PD的长： (i)求平面PAB与平面ABC夹角的余弦值， 丹第裂次不价杀， 州染驱不出代茶不期@ 价浓要奈. 18.己知f()=x+t2,keZ. ）E做，C=E =D决白 (I)若函数y=f(x)的定义域为R,求k的值； 品(2)若f(-4)>f(-3),个且(a2-1)fx)+(a-1f丙)+2>0恒成立，求实数a的取值范围：卖个两 (3)在(2)的条件下，若存在实数m,使得关于x的方程2f(x-1)-√f(x)f(x-D+2m=0.恰立壁 有4个不同的正根，求实数m的取值范围. 8 4 (0-5,a项 8=o◆。=（得+）2联5c 19.已知f(x),g(x)分别为定义在R上的偶函数与奇函数，且满足 f()-含(e)-万o+升要（女如x.直断=酒面半童划年水个 精周一脚减或○0食直其龄湖图面。平 (1)求f(x)和g(x): E A (2)定义h,(x)=[f(x)+g(x]”+[f(x)-g(x],cnN平L4,中@8-4带四8 (i)若存在正整数m,使得h,(x)+3 aCOSx-2a≥0对任意的xeR恒成立，求实数a的取值 范围； (i)若对任意的x∈R恒有hn(x)≤2026，求n的最大值. Es.d E.a sls.A 试卷第4页，共3页