精品解析：湖南省衡阳市第八中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

衡阳市八中2026年高二年级入学考试 数学试卷 命题人：赵耀华 审题人：蒋金元 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积，古希腊数学家海伦在著作《测地术》中最早出现公式，其中（海伦公式），该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美．已知的三边长a，b，c分别是7，8，9，利用海伦公式求得的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列关于概率的命题中，正确的是（ ） A. 若事件满足，则为对立事件 B. 若事件满足，事件和事件互斥，则 C. 若事件满足，则相互独立 D. 若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件 7. 设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则一定是等边三角形 11. 如图，已知正方体的棱长为，点是的中点，点是正方体内（含表面）的动点，且满足，则（ ） A. 动点在底面内轨迹的长度是 B. 点所在平面截正方体所得截面的面积为 C. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当，时称为“凹数”（如），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________. 13. 函数的单调递减区间为_____． 14. 如图，从开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移，而一条移动路线由若干次移动构成，如从移动到，就是一条移动路线.从移动到数字（，，…，）的不同路线条数记为，从移动到的事件中，经过数字（，，…，）的事件概率记为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形，，，，记，，，且． （1）若，求的值； （2）当取最小值时，求与夹角的余弦值． 16. 如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，其中，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）M为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为S，求S的最小值. 17. 已知函数，其中，为常数且满足，. （1）求，的值； （2）证明函数在区间上是减函数，并判断在上的单调性（不要证明）； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． （1）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； （2）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2026年高二年级入学考试 数学试卷 命题人：赵耀华 审题人：蒋金元 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的意义，向量的夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由， 又， 所以当且仅当时，成立． 充分性：由，得或，则不一定成立，所以充分性不成立； 必要性：由，得，则，所以必要性成立． 所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则， 所以. 3. 在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积，古希腊数学家海伦在著作《测地术》中最早出现公式，其中（海伦公式），该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美．已知的三边长a，b，c分别是7，8，9，利用海伦公式求得的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意得，， 所以的内切圆半径为 4. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 5. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 6. 在下列关于概率的命题中，正确的是（ ） A. 若事件满足，则为对立事件 B. 若事件满足，事件和事件互斥，则 C. 若事件满足，则相互独立 D. 若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义逐一验证各选项的正误. 【详解】对A：举出反例：投掷均匀骰子，设事件为“点数小于等于”， 事件为“点数为偶数”，此时，即有， 但不为对立事件，故A错误； 对B：若事件和事件互斥，则，故B错误； 对C：，故相互独立，故C正确； 对D：举出反例：投掷均匀骰子，设事件为“点数为”，事件为“点数为”， 互斥，但为“点数为”，此时， 故与不互斥，故D错误. 7. 设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，将整理成二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求得正确答案. 【详解】令， 是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值， 即. 故选：A. 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以5个球的表面积之和为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案 【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则一定是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由三角形中大角对大边，结合正弦定理即可判断选项A；选项B，由正弦定理可得，则无解，所以选项B错误；选项C，易知边最大，则角最大，利用反证法，假设，结合勾股定理可得与已知条件矛盾，即可判断选项C；选项D，由已知条件和正弦定理，可得，即可判断选项D. 【详解】已知在中，角，，所对的边分别为，，， 选项A：因为在中，由可得，由正弦定理（为外接圆半径），即，A正确； 选项B：由正弦定理，得，则无解，B错误； 选项C：由可知为最大边，故为最大角，假设，由余弦定理，，两边同乘以，得， 因为，，所以，，，则，这与矛盾，假设不成立，即是锐角三角形，C正确； 选项D：由和正弦定理，可得，即，因为，所以，D正确. 11. 如图，已知正方体的棱长为，点是的中点，点是正方体内（含表面）的动点，且满足，则（ ） A. 动点在底面内轨迹的长度是 B. 点所在平面截正方体所得截面的面积为 C. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直可确定动点在底面内轨迹及其长度，进而可得的点所在平面截正方体所得截面，求得面积，利用割补法可四棱锥体积，判断C选项，根据正方体的性质，可得线面角的最值，进而判断D选项. 【详解】A选项：如图所示， 分别取，中点，，连接，，，，，由正方体性质可知，，则，即，又平面，则，，，平面，所以平面，又平面，则，又，，，，平面，所以平面，平面所以，又，，平面，所以平面，所以在平面的轨迹为，A选项错误； B选项：如图所示， 连接，，则，所以的轨迹为四边形的边界及其内部，可知，，则四边形为等腰梯形，，其面积为，B选项正确； C选项：如图所示， 由已知可得三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥，连接，则，C选项正确； D选项： 连接，，则，，，所以当与点或点重合时，直线与平面所成的角最大，为和，在中，，则，在中，，则，故D选项错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当，时称为“凹数”（如），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中定义，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】，且互不相同所组成的三位数的所有可能情况为，共6个数， 其中是“凹数”的有共2个数， 故所求概率为. 13. 函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，则.根据复合函数单调性的判断方法即可得出答案. 【详解】令，则， 由，得或，故函数的定义域为. 因为在单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：． 14. 如图，从开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移，而一条移动路线由若干次移动构成，如从移动到，就是一条移动路线.从移动到数字（，，…，）的不同路线条数记为，从移动到的事件中，经过数字（，，…，）的事件概率记为，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知：，， 若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到， 那么， 据此可得，，，，，， 由于到共有，，，，五条不同的路线， 因此经过的路线共有条，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形，，，，记，，，且． （1）若，求的值； （2）当取最小值时，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）方法一：先利用线段比例把用基底表示，再借助数量积定义求得之间的夹角，最后代入模长与数量积即可求得结果； 方法二：建立直角坐标系写出各点的坐标，得到向量的坐标后，利用坐标运算公式即可求得结果； （2）方法一：借助向量的基底运算把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角； 方法二：借助坐标运算公式把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角. 【小问1详解】 方法一：在平行四边形中，因为， 所以， 因为， 所以，又，所以． 所以． 方法二：因为， 所以，又，故． 以为原点建立如图直角坐标系， 所以，，，， 因为，所以，所以，， 当时，，， 所以． 【小问2详解】 方法一：因为， 所以当时，取到最小值为4，即 取到最小值为2． 此时， 所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0． 方法二：由（1）可得：， 所以， 当时，取到最小值为4，即取到最小值为2． 此时，所以， 所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0． 16. 如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，其中，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）M为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为S，求S的最小值. 【答案】（1）证明：由是圆的直径，则， 又平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，再根据平面可得，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作，结合（1）的结论，可得即二面角的平面角，在中，即可求出二面角的余弦值； （3）设，将面积表示出来，可得面积为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，连接， 由（1）平面，平面，则， 因，，平面，故平面， 又平面，则，即二面角的平面角， 因，在中，，由面积相等可得， 在中，，则； 【小问3详解】 因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，，，则， 则，则， 在中，， 则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则 ， 则， 因，故当时，. 17. 已知函数，其中，为常数且满足，. （1）求，的值； （2）证明函数在区间上是减函数，并判断在上的单调性（不要证明）； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 由（1）得：， 设， 则， 又由，则，，， 必有，即， 即函数在上为减函数； 在上是增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据，列方程，求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）判断函数的奇偶性，化简得不等式，将存在性问题转化为最值问题，求解即可. 【小问1详解】 根据题意，函数中， 有，，解得，， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，若， 则有， 又由，则， ， 即， 又由（2）可得，在区间上是减函数，上是增函数， 则有最小值， 若存在，使得， 即成立， 则有， 解得， 故的取值范围为． 18. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． （1）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； （2）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列举法应用古典概型计算即可； （2）应用对立事件求概率，再应用互斥事件和概率公式及独立事件概率乘积公式计算. 【小问1详解】 样本空间，共有10个样本点， 设“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故． 【小问2详解】 记丙得分的事件为，丁得分为，其中 由题意； 记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为，易知 由题意 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，分与代入计算，求解不等式，即可得到结果； （2）（ⅰ）将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时，根的个数，从而可得的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得，再由对勾函数的单调性，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为． 当时，不等式等价于，显然满足条件； 当时，不等式等价于，即， 解得． 综上，的解集为， 即当的取值范围为时，成立． 【小问2详解】 （ⅰ）令 原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）． 当时，即为，所以至多一个实根①； 当时，即为，所以至多两个实根②． 由①知，，所以，此时①有一解； 由②知，所以即求的交点个数， 即，为椭圆的一部分，过椭圆的上顶点， 当过点时，；当过点时，； 所以当若或或时，②有一个根或两个相等的根；若或时，②有两个根； 综上所述，当时，的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为， 显然，所以． 易得函数在上单调递减，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $