25.2 降次—解一元二次方程《典例全解·题型通关》2026-2027学年九年级上册数学（人教版）

**基本信息** 围绕一元二次方程解法及应用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，覆盖从概念辨析到实际应用的知识路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|解法与判别式|选择3根的判别式等概念辨析题，夯实运算能力| |中档|参数与应用|解答17自由落体问题，体现模型意识与应用能力| |提升|新定义与综合|解答18差根方程新定义问题，发展创新意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 25.2 降次—解一元二次方程（分层作业19题） 一、选择题 1．若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 2．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 3．一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 4．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 5．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 6．在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 二、填空题 8．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 9．如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 11．解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 12．新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 13．将边长为的正方形与边长为的正方形如图摆放，点G恰好落在线段上．连接，则长为________． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求的值． 17．意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 19．【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 25.2 降次—解一元二次方程（分层作业19题） 一、选择题 1．若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】由，可得． ∵ 方程的根是有理数， ∴ ，且是有理数的平方． A选项，，不符合要求，选项A错误； B选项，不是有理数的平方，根为无理数，选项B错误； C选项，，不符合要求，选项C错误； D选项中，，根为，是有理数，选项D正确． 2．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 3．一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】C 【分析】明确一元二次方程的两个实数根包含相等与不等两种情况，结合根的判别式的取值范围判断． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， 包括两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况， 当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式． 当方程有两个相等的实数根时，根的判别式． 综上，根的判别式的值为非负数． 4．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 5．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 6．在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，解分式方程，分母有理化． 通过计算每个方程的实数解情况，选项A的一元二次方程判别式为负，无实数解；选项B有无数实数解；选项C经求解和检验有实数解；选项D有实数解． 【详解】解：选项A：，判别式，无实数解； 选项B：是二元一次方程，有无数组实数解，有实数解； 选项C：，去分母得，解得或，但使分母为零为增根，为实数解，即有实数解； 选项D：，解得为实数，有实数解； 故选：A． 7．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 二、填空题 8．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 9．如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根 该方程为一元二次方程，且根的判别式 可得 解不等式， 移项得，， 系数化为得，， 综上可得：的取值范围是且． 11．解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是． 12．新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 【答案】或 【分析】先根据新定义，比较与的大小，得到的值，再将等式整理为一元二次方程，求解得到的值． 【详解】解：， ， 根据新定义运算：当时，， 可得， 由题意得：， 整理得：， 因式分解：， 解得：，． 13．将边长为的正方形与边长为的正方形如图摆放，点G恰好落在线段上．连接，则长为________． 【答案】1 【分析】连接，设和相交于点O， 先推导出， ，，证明，得到，，进而推导出，得到，代入数值求解即可． 【详解】解：如图，连接，设和相交于点O， ∵四边形、四边形都是正方形， ∴， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 化简，得 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）确定方程各项系数，计算判别式，代入一元二次方程求根公式求解； （2）移项后提取公因式分解因式，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ， 解得，； （2）解：， 移项，得， 分解因式，得， 可得或， 解得，． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ，即， 解得； （2）解：是方程的一个根， 设方程的另一个根为， ， 解得， ， 解得． 17．意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 【答案】铁球的落地时间约为 【分析】将已知数值代入自由落体关系式，解关于t的一元二次方程，根据实际意义舍去负数解，再对算术平方根取近似值，精确到． 【详解】解：由题意得，，， ， 化简得， ， ， 答：铁球的落地时间约为． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 19．【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】(1) (2) (3)2026 (4)8 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $