3.2探索相似三角形的条件同步练习2026-2027学年北师大版九年级上册课时练习

**基本信息** 北师大版九年级数学上§3.2同步练，以“基础巩固-综合应用-实践拓展”分层，覆盖相似三角形判定全知识点，梯度衔接紧密，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一判定（两角、两边夹角等）|选择/填空聚焦概念辨析（如第9题等腰直角三角形相似判断）| |中档|综合应用（多图形结合、面积计算）|解答题融合几何图形（如第21题菱形中相似证明）| |提高|实践拓展（尺规作图、动态问题）|拓展题融入操作探究（如第22题对称点作图与相似推理）|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.2探索三角形相似的条件 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（  ） A．B．C．D． 2．（本题3分）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（  ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 4．（本题3分）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 5．（本题3分）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（  ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 6．（本题3分）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（  ） A． B． C． D． 9．（本题3分）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 10．（本题3分）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（   ）对． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 12．（本题3分）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 13．（本题3分）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 14．（本题3分）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 15．（本题3分）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证：(1)．(2)若，求的值． 17．（本题7分）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 18．（本题8分）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 19．（本题8分）如图，，，点B是线段上的一点，且．    (1)证明：； (2)若，，．求线段的长． 20．（本题8分）如图，线段与相交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（本题9分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 22．（本题9分）综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.2探索三角形相似的条件 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（  ） A．B．C．D． 解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似．故选:C 2．（本题3分）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（  ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 3．（本题3分）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 解：在和中，为公共角． 选项A：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且， ∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件， ∴不能判定． 故选：D． 4．（本题3分）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 5．（本题3分）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 6．（本题3分）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（） A． B． C． D． 解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 7．（本题3分）如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 解：设米，则米， 又， ， 整理得：．故选:A 8．（本题3分）如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（  ） A． B． C． D． 解：A、，， ， 故A选项不符合题意； B、，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 故C选项不符合题意； D、，， 不能判定， 故D选项符合题意； 故选：D． 9．（本题3分）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误．故选:C 10．（本题3分）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（   ）对． A．4 B．3 C．2 D．1 解：①如图所示， ∵，， ∴，符合题意； ②如图所示， ∵，且，即， ∴，符合题意； ③如图所示， ∵，， ∴，符合题意； ④如图所示， 该图中给出条件无法得出阴影部分的三角形与原相似； 综上，阴影部分的三角形与原相似的有3对， 故选：B． 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 12．（本题3分）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 13．（本题3分）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 14．（本题3分）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴．故答案为： 15．（本题3分）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）． 解：①两个等腰三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意； ②两个直角三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意； ③两个等边三角形的三个内角都等于，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似；故符合题意； ④两副三角板中的含角的直角三角形的三个内角分别为，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似，故符合题意； ⑤各有一个内角是的两个等腰三角形，可能一个是底角为，另一个是顶角为，则这两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； 其中一定相似的是③④， 故答案为：③④． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． (1)证明：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 17．（本题7分）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． (1)证明：∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 18．（本题8分）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 19．（本题8分）如图，，，点B是线段上的一点，且．    (1)证明：； (2)若，，．求线段的长． (1)证明：，， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 20．（本题8分）如图，线段与相交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． (1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 21．（本题9分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． （1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，，， ， 即菱形的边长为． 22．（本题9分）综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． (1)解：如图，如图，连接并延长，以点为圆心以为半径画弧，交的延长线与点， ∵点O为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形．点D即为所求， (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． $