1.2菱形的性质与判定新课预习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从菱形性质与判定的基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固，培养推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形性质（对角线、面积）、判定条件|选择1-6直接考查概念，填空12-13强化面积计算| |能力提升|性质应用（角度、线段计算）、判定推理|选择7-10结合图形变换，填空14-15涉及多结论判断| |综合应用|作图、证明与实际情境|解答题16-23含尺规作图、折叠问题及纸伞实际应用，培养数学思维|

· 1.2 菱形的性质与判定新课练习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．菱形的对角线相等 C．等边三角形是中心对称图形 D．命题一定有逆命题 2．如图，为菱形的对角线，已知，（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 3．如图，在菱形中，与交于点O，，，则菱形的面积为（　　）    A．20 B．24 C．28 D．48 4．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 5．如图，在菱形中，对角线，，则菱形的周长为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90° D．∠1=∠2 7．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（　　）    A． B． C． D．4 9．如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，菱形的对角线，相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，，，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，在平行四边形中，点分别在上，．若不添加辅助线，添加一个条件即可证明四边形是菱形，则这个条件可以是______．（写出一个即可）． 12．菱形两条对角线长为和，则菱形面积为________． 13．如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是______．    14．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 15．在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则______． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．如图，已知． (1)请用尺规作图作出的平分线交于点； (2)请用尺规作图作出线段的垂直平分线交于点，交于点； (3)连接和，直接写出四边形的形状． 17．如图，菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：．    18．如图，在四边形中，．求证：四边形是菱形． 19．规定：一组邻边相等，另两边也相等的四边形叫筝形． 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且，求证：四边形为筝形． 20．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上．请在图中画出满足如下条件的图形． (1)在图1中画出一个平行四边形，点C，D在小正方形的顶点上． (2)在图2中画出一个菱形，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形的面积等于4． 21．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 22．如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 23．如图，在平行四边形中，点O是对角线中点，过点O作交于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D B C C C A B 1．D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断， 根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题解答即可. 【详解】解：因为“两直线平行，内错角相等”，所以A是假命题； 因为“菱形的对角线互相垂直，且平分”，所以B是假命题； 因为等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C是假命题； 因为命题一定有逆命题，所以D是真命题. 故选：D. 2．C 【分析】此题主要考查了菱形的性质，直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】根据菱形的对角线互相平分，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴菱形的面积为； 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相平分，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：D． 5．B 【分析】根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，且与互相平分， ∴，， 在中，， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6．C 【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC=90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确； D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADB=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 7．C 【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长． 【详解】如下图，AE与BF交于点O，连接EF    由作图可知，AE与BF相互垂直平分 ∵BF=6，∴BO=3 ∵AB=5 ∴在Rt△ABO中，AO=4 ∴AE=8 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分． 8．C 【分析】由菱形的性质和勾股定理得，再由，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 9．A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，，则可证明都是等边三角形，可得，再由平行线的性质得到，则可证明都是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴都是等边三角形， ∴图中一共有4个等边三角形， 故选：A． 10．B 【分析】根据菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定，由平行四边形的性质得出，结合得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定、平行四边形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：这个条件可以是， 理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 12．24 【分析】本题考查了菱形的性质，主要利用菱形的面积的求法．根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可解答． 【详解】解：根据题意：菱形的面积为， 故答案为：24． 13． 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于的面积，因为的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 【详解】解：设与相交于点．    四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． 则，，， ∴， ∴， 阴影部分的面积等于的面积． 的面积等于菱形的面积的一半， 菱形的面积， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键． 14．①②③ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； 由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，③正确；由即可证明，则②正确． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ∵， ， ， 是的中位线， ，故①正确； 连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵、是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， 综上，①②③都正确， 故答案为：①②③． 15． 【分析】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形 【分析】（1）根据作已知角的平分线画出图形，即可求解； （2）根据作已知线段的垂直平分线的作法即可求解； （3）利用基本作图方法得出是线段的垂直平分线，进而得出，同理可得：，可证明四边形是平行四边形，即可判定菱形． 【详解】（1）解：如图，平分； （2）解：如图，垂直平分； （3）如图所述，设，交于点， 垂直平分， ，，， 平分， ， ， ≌， ， ． 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查角平分线，垂直平分线的基本作图，平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握作已知角的平分线和作已知线段的垂直平分线的作法及菱形的判定定理是解题的关键． 17． 证明：四边形是菱形， ，， ， ， 即， ， ． 【分析】根据菱形的性质，证明，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的对角相等，邻边相等，证明三角形全等，是解题的关键． 18．见解析 【分析】先根据对角线相互平分的四边形是平行四边形可证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 19． 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为筝形． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的全等的判定和性质，先判断出，再得到，然后判断出即可． 【详解】略 20．(1) 如图，平行四边形即为所作（答案不唯一）． (2) 如图，菱形即为所求； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定以及题目的条件画出图形即可； （2）依据面积为4，可作对角线分别为2，4的菱形，根据菱形的判定画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 21． 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1) 证明：在和中， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）先证明四边形是菱形，再根据勾股定理可得，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 23．(1) 证明：∵点O是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴，，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，, 在和中， ∴． ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)36 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，．再根据平行四边形的性质推导出得到，进而利用菱形的判定可得结论； （2）先由已知得到，再利用菱形的性质和勾股定理得到，进而求得，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 答案第4页，共14页 答案第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $