1.4 正方形的性质与判定 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级上册“1.4正方形的性质与判定”新授课同步练，以“基础巩固—综合应用—探究创新”分层设计，覆盖性质判定、图形综合及动态问题，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形、矩形、菱形性质判定|单选1-6题辨析对角线性质，夯实概念理解| |中档|性质与判定综合应用|填空11-13题结合折叠、动点，提升空间观念| |提升|跨情境探究与创新|解答19-20题涉及翻折、旋转，发展推理与模型意识|

1.4 正方形的性质与判定 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（   ） A．22.5° B．30° C．35° D．45° 3．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 5．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 6．下列命题中，真命题的是（     ） A．平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 7．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（    ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，则四边形是菱形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是菱形 9．如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    12．如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为_____． 13．如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，于点E，于点F，，，则m，n满足的数量关系是__________． 14．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________． 15．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________． 三、解答题 16．如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．      (1)在图中，在上找一点F，使； (2)在图中，在上找一点G，使． 17．如图，点E在正方形内，且满足，，，求图中阴影部分的面积．    18．已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 19．四边形是一张正方形纸片，点E为边上一点，如图1，将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，交于点M． (1)__________； (2)折痕与存在什么数量关系，并说明理由； (3)如图2，点G为边上一点，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明． 20．综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D B D C C B B 1．【答案】D 【知识点】正方形性质理解、利用菱形的性质证明、矩形性质理解 【分析】因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：根据矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选D． 故选：D． 【点睛】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 2．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据正方形的性质可得∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠E＝∠CAE=45°， ∵CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 3．【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先解直角三角形求出，然后根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 5．【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 6．【答案】D 【知识点】正方形性质理解、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明、矩形性质理解、判断命题真假 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质逐一判断命题真假即可． 【详解】解：A．只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，普通平行四边形的对角线不平分一组对角，因此A是假命题； B．矩形对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，因此B是假命题； C．菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，因此C是假命题； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，符合正方形的性质，因此D是真命题； 7．【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用、根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵ ∴， 同理剩余的三个黑色直角三角形与与之对应的白色直角三角形全等， ∴图中四个黑色直角三角以及四个白色直角三角形彼此全等， ∴， ， ， ，解得， 正方形的面积． 8．【答案】C 【知识点】根据正方形的性质证明、根据菱形的性质与判定求角度、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分及得出，判定四边形为平行四边形，再结合特殊平行四边形的性质逐项判断． 【详解】解：连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 即． ∵，， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意． 若四边形是菱形， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故B不符合题意． 若四边形是矩形， ∴． ∵、是对角线上的两点（不与点、重合）， ∴， 即． ∴四边形不是矩形，故C符合题意． 若四边形是正方形， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故D不符合题意． 9．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题 【分析】根据正方形的折叠的性质，利用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】∵正方形纸片的边长为， ∴，， 根据折叠的性质可得：， 设， 则，，， ∵在中，， 即，解得：， ∴，． 10．【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】根据，可得四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理对各个条件进行逐一判断． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． 对于①，若，分别是，的中点，则，，无法得出，故错误； 对于②，，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，故②正确； 对于③，平分， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形，故③正确； 对于④，，， 平分， 由③知四边形是菱形，但无法得出，故④错误． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 11．【答案】 【知识点】点到直线的距离、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 12．【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH=HQ，OH=HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB=30°，OB=4， ∴OH=2， ∴PH=1, ∴PQ=2PH=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 13．【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、正方形性质理解 【分析】根据正方形的性质可得∠CAD=∠BDA=45°，由等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的判定和性质得PE=AE、PF=OE，由此可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD=∠BDA=45°，AC⊥BD， ∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F， ∴△APE为等腰直角三角形，四边形PEOF为矩形， ∴PE=AE，PF=OE， ∴AC=2OA=AE+OE=PE+PF， ∵AC=m，PE+PF=n， ∴． 故答案为：． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 14．【答案】正方形 【知识点】证明四边形是正方形、中点四边形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 15．【答案】或； 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 16．【答案】(1) 如图1，即为所求    (2) 如图2，即为所求．      【知识点】正方形性质理解、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接即可完成作图； （2）连接即可完成作图． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查几何作图，考查了正方形的对称性．掌握正方形的性质是关键． 17．【答案】76 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，再计算正方形的面积，从而得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是． 的面积是， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长． 18．【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 19．【答案】(1) (2)，理由如下： ∵四边形是正方形，且， ∴有，即， ∴在和中有， ∵， ∴ ， ∴． (3)猜想：， 证明： 过点G作，交线段于点P， 由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴， ∵， ∴有，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在和中有， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、正方形折叠问题 【分析】（1）根据翻折的性质找出垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可． （2）利用（1）的信息找出等角，进而找出全等三角形即可． （3）根据翻折的性质找出垂直平分线，得出，通过（2）的启发构造全等三角形转化线段，再结合正方形四边相等的性质进行代换即可. 【详解】（1）由翻折的性质可得由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴． （2）略． （3）略． 20．【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $