2.2.2 用公式法解一元二次方程 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以考向分层，覆盖公式法应用、根的判别式判断及参数求解，形成从基础运算到综合应用的巩固路径，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |考向1|公式法解方程的步骤与直接应用|含中考真题及步骤纠错，强化运算能力与符号意识| |考向2|根的判别式判断根的情况|结合新定义运算，发展推理意识与逻辑思维| |考向3|根据根的情况求参数取值|涉及参数范围及根的分布，提升抽象能力与应用意识|

2.2.2 用公式法解一元二次方程 考向1 用公式法解一元二次方程 1.（2025-2026学年张家口初二下学期期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2.一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ） A. 3，―1，―2 B. ―2，―1，3 C. ―2，3，1 D. ―2，3，―1 3.我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4.下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 5.解方程： （1）（2026无锡中考）； （2）； （3）． 考向2 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 1.（2026广安中考）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 2.（2026上海中考）下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3.（2026浙江中考）关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4.（2026内江中考）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5.（2026阳江一模）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 6.（2025-2026学年烟台初二下学期期末）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 考向3 根据一元二次方程根的情况求参数 1.（2026广元中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年张家口初二下学期期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 3.（2026嘉峪关二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 4.（2025-2026学年菏泽初三上学期期末）如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5.（2026甘孜州中考）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 6.（2026安徽三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 用公式法解一元二次方程 考向1 用公式法解一元二次方程 1.（2025-2026学年张家口初二下学期期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 2.一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ） A. 3，―1，―2 B. ―2，―1，3 C. ―2，3，1 D. ―2，3，―1 【答案】D 【解析】 【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案． 【详解】∵， ∴， 则a =-2，b =3，c =-1, 故选： D ． 3.我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 4.下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 【答案】一 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【详解】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 5.解方程： （1）（2026无锡中考）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：这里，，． ∴， ∴， 即， 【小问3详解】 解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 考向2 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 1.（2026广安中考）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 2.（2026上海中考）下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 3.（2026浙江中考）关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4.（2026内江中考）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 5.（2026阳江一模）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 6.（2025-2026学年烟台初二下学期期末）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 考向3 根据一元二次方程根的情况求参数 1.（2026广元中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 2.（2025-2026学年张家口初二下学期期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 3.（2026嘉峪关二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 4.（2025-2026学年菏泽初三上学期期末）如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得且，再解出方程可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0， ∴且， ∴且， ， 解得： 当时，，则，，不满足一个根大于而小于0，不符合题意； 当时，， 解得：； 综上所述，m的取值范围是． 故选：D 5.（2026甘孜州中考）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 6.（2026安徽三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $