第4章 第4讲 简单的三角恒等变换(配套作业)-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换公式应用，通过基础计算、化简及实际应用题型，培养运算能力与推理意识，构建公式推导与应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|单角与倍角互化、公式逆用|以二倍角、诱导公式为核心，从直接计算到变式化简| |综合拓展|9-13题|函数性质、比较大小、零点问题|连接三角变换与函数、不等式，体现知识迁移| |实际应用|12题|几何最值模型|将三角公式应用于扇形面积与矩形最值，发展应用意识|

参考答案 第四章·第4讲　简单的三角恒等变换 （AI生成·待复核） 1.D　【解析】θ∈(0,π/2),cos θ=3/5,故 sin θ=4/5,sin 2θ=2sin θcos θ=2×(4/5)×(3/5)=24/25。故选D项。 2.B　【解析】sin 160°=sin 20°;又 1+sin^2 35°=1+(1-cos 70°)/2=(3-sin 20°)/2,故原式=(3-sin 20°)/[(3-sin 20°)/2]=2。故选B项。 3.A　【解析】分子 2cos^2α-1=cos 2α;分母 2tan(π/4-α)·sin^2(π/4+α)=2·[sin(π/4-α)/cos(π/4-α)]·cos^2(π/4-α)=2sin(π/4-α)cos(π/4-α)=sin(π/2-2α)=cos 2α,故原式=1。故选A项。 4.B　【解析】设 β=α+π/6,则 2α-π/6=2β-π/2,sin(2β-π/2)=-cos 2β=-(2cos^2β-1)=-[2×(1/16)-1]=7/8。故选B项。 5.B　【解析】tan 2θ=2sin θcos θ/(2cos^2θ-1)=3cos θ/(2-sin θ),θ∈(π/2,π)时 cos θ≠0,约去 cos θ 得 2sin θ(2-sin θ)=3(1-2sin^2θ),即 4sin^2θ+4sin θ-3=0,解得 sin θ=1/2(负根舍去)。又 θ∈(π/2,π),故 θ=5π/6,cos θ=-√3/2。故选B项。 6.C　【解析】a=tan θ/(tan^2θ+1)=sin θcos θ=(1/2)sin 2θ;b=1/2-(1/2)cos 2θ=sin^2θ;c=1/cos θ-cos θ=sin^2θ/cos θ。b/a=tan θ>1(θ>π/4),故 b>a;c/b=1/cos θ>1,故 c>b。综上 c>b>a。故选C项。 7.ABD　【解析】sin(-11π/6)=sin(π/6)=1/2。A:2sin 15°cos 15°=sin 30°=1/2,正确;B:cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos 60°=1/2,正确;C:2cos^2 15°-1=cos 30°=√3/2,错误;D:tan 22.5°/(1-tan^2 22.5°)=(1/2)tan 45°=1/2,正确。故选ABD项。 8.CD　【解析】f(x)=sin^2(x+π/4)=[1-cos(2x+π/2)]/2=(1+sin 2x)/2。设 t=lg 5,则 a=(1+sin 2t)/2,b=f(-t)=(1-sin 2t)/2。故 a+b=1,a-b=sin 2t=sin(2lg 5)。故选CD项。 9.5/9　【解析】sin(α-π/4)=(sin α-cos α)/√2=√2/3,故 sin α-cos α=2/3,平方得 1-sin 2α=4/9,故 sin 2α=5/9。 10.1/7;π/3　【解析】cos^2α=4/7,cos 2α=2×(4/7)-1=1/7;sin α=√21/7,sin 2α=2sin αcos α=4√3/7。由 sin β=3√3/14,β 为锐角得 cos β=13/14。cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=13/98+36/98=1/2;sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=52√3/98-3√3/98=√3/2,故 2α-β=π/3。 11.(1)2/sin α;(2)cos 2x/2　【解析】(1)设 t=tan(α/2),tan α=2t/(1-t^2)。原式=(1/t-t)[1+2t^2/(1-t^2)]=[(1-t^2)/t]·[(1+t^2)/(1-t^2)]=(1+t^2)/t=cot(α/2)+tan(α/2)=1/[sin(α/2)cos(α/2)]=2/sin α。(2)分子=2cos^4x-2cos^2x+1/2=2(cos^2x-1/2)^2=2(cos 2x/2)^2=cos^2 2x/2;分母同(1)中结论为 cos 2x,故原式=cos 2x/2。 12.(1)120000π m^2;(2)120000√3 m^2　【解析】(1)扇形圆心角 120°=2π/3,面积 S_扇=(1/2)r^2θ=(1/2)×600^2×(2π/3)=120000π(m^2)。(2)设 OC=OD=x,C,D 分别在半径 OA,OB 上,则 CD=2x sin 60°=√3x;点 C 到对称轴(∠AOB 平分线)的距离为 (√3/2)x,沿平分线的投影为 x/2。设矩形高为 h,则顶点 F 在弧上,有 [(√3/2)x]^2+(x/2+h)^2=600^2,得 h=√(360000-3x^2/4)-x/2。矩形面积 S=√3x[√(360000-3x^2/4)-x/2],令 x=600t,则 S=√3×360000[t√(1-3t^2/4)-t^2/2],求导得 t^2=1/3 时取最大,此时 x=200√3,h=200√3,S_max=600×200√3=120000√3(m^2)。(注:本题配图未获取,按"矩形一边在扇形内、C,D 在两条半径上且 OC=OD"的常规模型推断,待复核) 13.BC　【解析】f(x)=cos 2x+cos 3x=2cos(5x/2)cos(x/2)。x∈(0,π)时 x/2∈(0,π/2),cos(x/2)>0,故零点由 cos(5x/2)=0 给出,x=π/5 或 3π/5,即 x_1=π/5,x_2=3π/5。A:2π/5 不是零点,错误;B:x_2=3x_1=3π/5,正确;C:cos(π/5)+cos(3π/5)=cos 36°-cos 72°=(√5+1)/4-(√5-1)/4=1/2,正确;D:cos(π/5)cos(3π/5)=(√5+1)/4×[-(√5-1)/4]=-1/4,错误。故选BC项。 14.3sin α-4sin^3α;(√5+1)/4　【解析】sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcos α+cos 2αsin α=2sin α(1-sin^2α)+(1-2sin^2α)sin α=3sin α-4sin^3α。令 α=18°,则 3α=54°,sin 54°=cos 36°,即 3s-4s^3=1-2s^2(其中 s=sin 18°),整理得 4s^3-2s^2-3s+1=0,即 (s-1)(4s^2+2s-1)=0,由 s>0 且 s≠1 得 s=(√5-1)/4,故 cos 36°=1-2s^2=1-2×[(√5-1)/4]^2=(√5+1)/4。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　简单的三角恒等变换 (限时训练:50分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.(2025·大连模拟)设θ∈,若cos θ=,则sin 2θ等于 (　　) A. B. C. D. 2.的值等于 (　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.化简等于 (　　) A.1 B.-1 C.cos α D.-sin α 4.(2024·齐齐哈尔模拟)已知cos=,则sin等于 (　　) A.- B. C. D.- 5.(2024·福州模拟)若θ∈,tan 2θ=,则cos θ等于 (　　) A.- B.- C. D. 6.已知<θ<,若a=,b=-cos 2θ,c=-cos θ,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 7.(2025·中山模拟)(多选)下列选项中,与sin的值相等的是 (　　) A.2sin 15°cos 15°　 B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42° C.2cos215°-1　 D. 8.(多选)已知函数f(x)=sin2,若a=f(lg 5),b=f,则 (　　) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=sin(2lg 5) 9.已知sin=,则sin 2α=　　　　.  10.已知α,β均为锐角,cos α=,sin β=,则cos 2α=　　　　,2α-β=　　　　.  11.化简: (1); (2). 12.某城市一扇形空地的平面图如图所示,为了方便市民休闲健身,政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量,扇形空地的半径为600 m,∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区,且OC=OD. (1)求扇形空地的面积; (2)求矩形场地CDEF的最大面积. 13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)=cos 2x+cos 3x,x∈(0,π),若f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),则 (　　) A.∈{x1,x2} B.x2=2x1 C.cos x1+cos x2= D.cos x1cos x2= 14.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗,为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°,利用三倍角公式恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得sin 3α=　　　　(用单角α的正弦值表示);再求得cos 36°=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $