第5章 第5讲 复数-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义围绕复数专题，覆盖定义、分类、几何意义、四则运算及应用等高考核心考点，按“概念—几何意义—运算—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（填空巩固基础）、方法指导（如概念问题转化为实部虚部条件）、真题训练（近五年全国卷真题）及分层练习，帮助学生系统突破难点，体现复习针对性。 资料采用“问题转化”与“数形结合”策略，如复数概念问题转化为实部虚部方程培养数学思维，利用模的几何意义结合圆知识提升几何直观，设置基础到综合的分层练习。通过典型例题（如复数模的取值范围）和即时反馈，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第5讲　复　数 [课标要求]1.通过方程的解,认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义. 1.复数的有关概念 (1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是　　　　,虚部是　　　　.  (2)复数的分类: 复数z=a+bi(a,b∈R)分类如下: 复数 (3)复数相等:a+bi=c+di⇔　　　　(a,b,c,d∈R).  (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔　　　　(a,b,c,d∈R).  (5)复数的模:向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=　　　　(a,b∈R).  ⦾提醒　(1)一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0. (2)复数z=a+bi(a,b∈R) 在复平面内对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b). (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　;  ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　;  ③乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=　　　　;  ④除法:===　　　　(c+di≠0).  (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任意z1,z2,z2∈C,有z1+z2=　　　　,  (z1+z2)+z3=　　　　.  (3)复数乘法的运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有z1z2=　　　　;(z1z2)z3=　　　　;z1(z2+z3)=　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2020·全国卷)复数的虚部是 (　　) A.- B.- C. D. 2.(2023·全国甲卷)设a∈R,=2,则a= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.(2017·全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是 (　　) A.(1+i)2 B.i2(1-i) C.i(1+i)2 D.i(1+i) 4.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·= (　　) A.-2 B. C.- D.2 5.(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i= (　　) A.10i B.2i C.10 D.2 6.(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知z=,则z-= (　　) A.-i B.i C.0 D.1 7.(2023·新课标全国Ⅱ卷)在复平面内,对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.(1±i)2=±2i;=i;=-i. 2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*). 3.==z·. 4.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环(包含边界); (2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆. 复数的有关概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·黑龙江模拟)已知复数z1=4+3i,z2=a-i且z1·是实数,则实数a=(　　) A. B. C.- D.- 2.已知m为实数,若复数z=(m2-4)+(m+2)i为纯虚数,则复数z的虚部为 (　　) A.2 B.-2i C.4 D.-4i 3.记复数z的共轭复数为,则写出一个满足|-i|=的复数z=　　　　.  解决复数概念问题的方法 复数的概念及分类问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可求解. 注意解题时一定要先看复数是不是a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. 复数的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)(2024· 新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i (2)复数z满足z+=2,z=4,则|z-|=　　　　.  复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算,可类比于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的项看作一类同类项,不含i的项看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式,这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)设z=i2 025-1(i是虚数单位),则z2-2= (　　) A.-2 B.-2+4i C.2 D.4-i (2)若i为虚数单位,则=　　　　.  复数的几何意义 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(1)(2025·安徽合肥模拟)已知复数z满足z(2-i)=(1+i)2,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=1,则|z+i|的取值范围为　　　　.  复数的几何意义及应用 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)是一一对应关系. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关 系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 【对点训练2】(1)(2025·江苏常州模拟)已知复数(1+i)(2-mi)在复平面内对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围为 (　　) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,2) (2)已知三个复数z1,z2,z3,并且|z1|=|z2|=|z3|=1,z1,z2所对应的向量,满足·=0,则|z1+z2-z3|的取值范围是　　　　.  复数与方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】已知复数z=m+2+(m-2)i(m∈R),为z的共轭复数,且z+=6. (1)求m的值; (2)若z-3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,求该一元二次方程的另一复数根. 复数集内一元二次方程根的情况 (1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化,仍然适用;其虚根往往成对出现且互为共轭虚数. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程,判别式失去了判断根的功能,求根时,一般设出根的代数形式,代入方程,利用复数相等来解决. 【对点训练3】(1)(多选)方程x3-x2+x-1=0的一个根是 (　　) A.-i B.1 C.2i D.i (2)已知方程x2-2x+p=0(p∈R)的一个根是1+i(i是虚数单位),则p=　　　　.  拓视野　复数模的性质 设z1,z2是复数,则|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,即两个复数相乘、相除后的模等于它们各自的模相乘、相除,运用这一性质求模,可以不计算复数的乘除法直接求模,达到简化计算的效果. 复数的四则运算中只有乘法和除法可以用上面的性质,加法和减法则没有上述性质,绝大多数情况下,|z1±z2|≠|z1|±|z2|.根据复数的几何意义可知,复数z1在复平面内对应向量,复数z2对应向量,复数加减法对应向量加减法,故|z1-z2|和|z1+z2|分别为以和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度,所以|z1-z2|≤|z1|+|z2|,|z1+z2|≤|z1|+|z2|. 【例4】(1)(多选)已知z为复数,下列说法正确的是 (　　) A.z= B.z=z2 C.|z-|≤2|z| D.|z+|≥2|z| (2)若z=1+2i,则|z2-3z|=　　　　.  【对点训练4】(1)设复数z=-+2,其中i为虚数单位,则|z|=　　　　.  (2)若=1,其中i为虚数单位,则实数a=　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024· 新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 2.(必修第二册P95T1改编)已知复数z=i3(1+i),则z在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(多选)若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是 (　　) A.z的虚部为-i B.z2为纯虚数 C.z的实部为1 D.z+i是实数 4.(必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是 　　　　.  5.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　复　数 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)a　(2)b　(3)a=c且b=d　(4)a=c且b=-d　(5) 3.(1)①(a+c)+(b+d)i　②(a-c)+(b-d)i　③(ac-bd)+(ad+bc)i　④+i (2)z2+z1,z1+(z2+z3) (3)z2z1,z1(z2z3);z1z2+z1z3 高考溯源 1.D　2.C　3.A　4.D　5.A　6.A　7.A 【精准练·题型剖析】 1.C　解析:由于a 为实数,则z2=a-i 的共轭复数=a+i,则z1·=(4+3i)(a+i)=(4a-3)+(4+3a)i,又z1·为实数,所以4+3a=0,所以a=-. 2.C　解析:因为复数z=(m2-4)+(m+2)i 为纯虚数,所以m2-4=0,解得m=±2, 当m=-2 时,z=0,不符合题意,舍去;所以m=2,即z=4i,所以复数z 的虚部为4. 3.1+i(答案不唯一,满足z=a+bi,a2+(b+1)2=5即可) 解析:令z=1+i,则=1-i,故|-i|=|1-2i|==. [例1](1)C　(2)2 解析:(1)因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i. (2)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由z+=2,z=4,得解得所以|z-|=|2bi|=2. [对点训练1](1)C　(2) 解析:(1)因为z=i2 025-1=i506×4+1-1,所以z=-1+i,=-1-i,所以z2-2=(-1+i)2-2(-1-i)=1-2i-1+2+2i=2. (2)因为====-i,所以==. [例2](1)C　(2)[-1,+1] 解析:(1)由z(2-i)=(1+i)2,可得z(2-i)=1+2i+i2=2i,所以z====-+i,所以=--i.所以复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第三象限. (2)设在复平面内z 对应的点为Z(x,y),由复数的几何意义可知,|z-2|=1表示点Z 的集合是以(2,0)为圆心,1为半径的圆,即(x-2)2+y2=1,|z+i|的几何意义是圆上的点到点(0,-1)的距离,如图,点C(2,0)到点(0,-1)的距离是,所以|z+i| 的最小值是-1,最大值是+1,即|z+i|的取值范围为[-1,+1]. [对点训练2](1)C　(2)[-1,+1] 解析:(1)因为复数(1+i)(2-mi)=m+2+(2-m)i 在复平面内对应的点位于第二象限,所以解得m<-2. (2)由·=0,得⊥,以向量,的方向分别为复平面内x 轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系如图所示,由|z1|=|z2|=1,得z1=1,z2=i,则z1+z2=1+i,令复数z1+z2 对应的点为Z,有||=,由|z3|=1,得复数z3 对应的点Z3 的轨迹是以原点O为圆心,1为半径的圆,因此,|z1+z2-z3|=||=|-|≤||+||=1+,当且仅当,反向共线时取等号,||=|-|≥|||-|||=-1,当且仅当,同向共线时取等号,所以|z1+z2-z3| 的取值范围是[-1,+1]. [例3]解析:(1)由z=m+2+(m-2)i, 得=m+2-(m-2)i, 由于z+=6,则m+2+(m-2)i+m+2-(m-2)i=2m+4=6,解得m=1. (2)由(1)可知,z=3-i, 将z-3i=3-4i 代入方程x2+ax+b=0 可得(3-4i)2+a(3-4i)+b=0, 即(-7+3a+b)-(4a+24)i=0, 得解得 代入一元二次方程中得x2-6x+25=0, 解得x1==3+4i,x2==3-4i, 即该一元二次方程的另外一个复数根为3+4i. [对点训练3](1)ABD　(2)4 解析:(1)原方程可化为(x-1)(x2+1)=0,所以x=1 或x=±i. (2)因为方程x2-2x+p=0(p∈R)的一个根是1+i,所以方程x2-2x+p=0(p∈R)的另一个根是1-i,所以(1+i)(1-i)=p,所以p=4. 拓视野　复数模的性质 [例4](1)AC　(2)2 解析:(1)对于A,设z=a+bi(a,b∈R),则z=(a+bi)·(a-bi)=a2+b2,=a2+b2,所以z=,所以A正确;对于B,结合A,z2=a2-b2+2abi(a,b∈R),z=a2+b2,显然z≠z2,所以B错误;对于C,因为|z|=||,所以|z-|≤|z|+||=2|z|,所以C正确;对于D,因为|z|=||,所以|z+|≤|z|+||=2|z|,所以D错误. (2)方法一:z=1+2i⇒z2-3z=(1+2i)2-3(1+2i)=1+4i+4i2-3-6i=-6-2i⇒|z2-3z|==2. 方法二:z=1+2i⇒z-3=-2+2i,所以|z2-3z|=|z(z-3)|=|z|·|z-3|=×2=2. [对点训练4](1)　(2)±1 解析:(1)z=-+2==,|z|====. (2)由题意可得,||===1,解得a=±1. 【提能力·模拟精练】 1.C　2.D　3.BCD　4.-3-4i　5.3　 学科网（北京）股份有限公司 $