第5章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示，涵盖定理意义、正交分解、坐标运算及共线条件等高考核心考点，按概念梳理、方法提炼、真题解析、例题精讲的逻辑展开，通过填空巩固、易错警示、分层训练等环节帮助学生构建知识体系，突破向量分解与坐标运算难点。 资料以数学思维培养为核心，如例1通过基底判断训练逻辑推理，例3结合坐标共线条件强化运算能力，设置从基础填空到高考真题的梯度练习，助力学生用数学语言精准表达向量关系，高效提升解题技能，为教师把控复习节奏提供系统教学方案。

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.不共线, λ1e1+λ2e2 2.互相垂直 3.(1)(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(λx1,λy1), (2)①终点　②(x2-x1,y2-y1)　 4.x1y2-x2y1=0 高考溯源 1.B　2.B　3.　 【精准练·题型剖析】 [例1](1)D　(2) 解析:(1)A选项,b-a=-(a-b),所以a-b,b-a共线,不能作为基底. B选项,2a+b=2,所以2a+b,a+b共线,不能作为基底. C选项,6a-4b=-2(2b-3a),所以2b-3a,6a-4b共线,不能作为基底. D选项,易知a+b,a-b不共线,可以作为基底. (2)由题图可设=x(0<x<1), 则=x(+)=x =+x. 因为=λ+μ,且与不共线, 所以λ=,μ=x,所以=. [对点训练1](1)B　(2)B 解析:(1)因为BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n. (2)因为点D在边AB的延长线上,AB=2BD,所以=2,即-=2(-),所以=+.又=m+n,所以m=,n=. [例2](1) C　(2)C 解析:(1)因为在平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,所以=-=-(+)=. (2)以图中向量a,b的始点为坐标原点,a的方向为x轴的正方向,b的方向为y轴的方正向,建立平面直角坐标系(图略),则a=(1,0),b=(0,2),C(2,5),D(5,4). -+=+==(-3,1). 令=ma+nb,得(-3,1)=m(1,0)+y(0,2)=(m,2n),解得m=-3,n=. 所以-+=-3a+b. [对点训练2](1)D　(2)B 解析:(1)因为A(0,1),B(2,3),所以=(2,2), 所以=+=(2,2)+(-3,1)=(-1,3). (2)在正方形ABCD中,以点A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图, 令AB=2,则B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),所以=(2,2),=(2,1),=(-2,2),则λ+μ=(2λ-2μ,λ+2μ), 因为=λ+μ,所以 解得λ=,μ=,即λ+μ=. [例3](1)B　(2)(3,3) 解析:(1)因为向量a=(3,m),b=, a∥b,则3×=-m,即m=-1. (2)由题意得,=(4,0),=(4,4),=(2,6), 由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),λ∈R,则=-=(4λ-4,4λ).又=-=(-2,6), 由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以==(3,3), 所以点P的坐标为(3,3). [对点训练3](1)A　(2)或 解析:(1)因为a=(2,3),b=(2,sin α-3), 所以a+b=(4,sin α), 又c=(2,cos α)且(a+b)∥c, 所以4cos α=2sin α,则tan α==2. (2)因为a=(1,4),b=(2,3), 所以a-b=(-1,1), 因为c∥(a-b),且|c|=1,所以c=±, 又|a-b|=,所以c==或c=-=. [对点训练4](1)A　(2)D 解析:(1)设P(x,0),则λ==-. (2)由题知=2,所以P分有向线段所成的比是λ=2,设O为坐标原点,所以=+, 则P,即P(2,4). 【提能力·模拟精练】 1.(1) ×;(2) √;(3) √;(4)√ 2.B　3.A 4.(1,5)　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 [课标要求]1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　.  若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个　　　　的向量,叫做把向量作正交分解.  3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　　　　,a-b=　　　　,λa=　　　　,|a|=　　　　.  (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则　　　　坐标即为向量的坐标.  ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=　　　　,||=　　　　.  4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足=1,=2,且⊥b,则= (　　) A. B. C. D.1 2.(2023·北京卷)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足=,=,则=　　　　.  1.熟记以下常用结论 (1)如果对于一个基底{e1,e2},有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到即基底给定,同一向量的分解形式唯一.特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. (2)已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G点的坐标为. 2.谨防三个易误点 (1)基底{e1,e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量,所以不能作为基底中的向量. (2)a∥b的充要条件不能表示为=,因为x2,y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的. 平面向量基本定理的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)(2025·江苏盐城模拟)若{a,b}是平面内的一个基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 (　　) A.a-b,b-a B.2a+b,a+b C.2b-3a,6a-4b D.a+b,a-b (2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),则=　　　　.  (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (2)在△ABC中,点D在边AB的延长线上,AB=2BD,=m+n,m,n∈R,则 (　　) A.m=,n= B.m=,n= C.m=,n= D.m=-,n= 平面向量的坐标运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(1)在平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为 (　　) A. B. C. D. (2)如图,在7×5正方形网格中,向量a,b满足a⊥b,则-+= (　　) A.2a+b B.-2a-b C.-3a+b D.3a-b (1)利用向量的坐标运算解题,主要是利用加法、减法、数乘运算法则,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,化归为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,可以使很多几何问题转化为我们熟知的数量运算. 【对点训练2】(1)已知点A(0,1),B(2,3),向量=(-3,1),则向量= (　　) A.(1,-2) B.(-1,2) C.(1,-3) D.(-1,3) (2)(2025·四川成都模拟)在正方形ABCD中,M是BC的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 (　　) A. B. C. D.2 向量共线的坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】(1)已知向量a=(3,m),b=,若a∥b,则m= (　　) A.1 B.-1 C.9 D.-9 (2)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R). 【对点训练3】(1)(2025·江西景德镇模拟)已知向量a=(2,3),b=(2,sin α-3),c=(2,cos α),若(a+b)∥c,则tan α的值为 (　　) A.2 B.-2 C. D.- (2)已知向量a=(1,4),b=(2,3),若c∥(a-b),且|c|=1,则c的坐标为　　　　.  定比分点坐标公式 定比分点是中点、三等分点的延伸拓展,在解决平面向量和解析几何题目中都有应用. 如图,线段P1P2的端点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),点P是直线P1P2上异于P1,P2的点,当=λ(λ≠0且λ≠-1)时,=+,点P的坐标是,当λ>0时,点P在线段P1P2上,称为内分点;当λ<0且λ≠-1时,点P在线段P1P2的延长线上,称为外分点. 【对点训练4】(1)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P,则点P分有向线段所成的比λ的值为 (　　) A.- B.- C. D. (2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则P点的坐标为 (　　) A.(-14,16) B.(22,-11) C.(6,1) D.(2,4) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底. (　　) (2)设{a,b}是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. (　　) (3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当x2y2≠0时,a∥b与=等价. (　　) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔x1=x2且y1=y2. (　　) 2.设平面向量a=(-1,0),b=(0,2),则2a-3b= (　　) A.(6,3) B.(-2,-6) C.(2,1) D.(7,2) 3.在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 (　　) A. B.- C.1 D.-1 4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $