第5章 第1讲 平面向量的概念及线性运算-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量概念、线性运算及共线定理等高考核心考点，按概念定义、运算法则、定理应用的逻辑层次梳理知识，通过考点填空、方法总结、真题演练及例题精讲，帮助学生构建系统知识网络，突破向量几何意义与共线条件等难点。 资料以数学思维培养为核心，创新融入等和线定理等解题策略，如通过平行四边形中向量分解实例，引导学生用数学眼光抽象几何关系，结合分层对点训练和近5年全国卷真题，高效提升学生向量运算与推理能力，为教师提供精准复习节奏把控的教学资源。

第1讲　平面向量的概念及线性运算 [课标要求]1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算,并理解其几何意义及向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有　　　　又有　　　　的量  平面向量是自由向量 长度(模) 向量的　　　  记作|a|或|| 零向量 长度为0,其方向是任意的 记作　　　  单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向　　　　或　　　　的非零向量  0与任意向量　　　　(或共线)  相等向量 长度　　　　且方向　　　　的向量  两向量不能比较大小 相反向量 长度　　　　且方向　　　　的向量  0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律:a+b=　　　　;  结合律:(a+b)+c=　　　  减法 a-b=a+(-b) 数乘 |λa|=　　　　,当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　　;  当λ<0时,λa的方向与a的方向　;  当λ=0时,λa=　　　  设λ,μ为实数,则 λ(μa)=　;  (λ+μ)a=　;  λ(a+b)=  3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·全国甲卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·新课标全国Ⅰ卷)设向量a=,b=,则 (　　) A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件 3.(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a=,b=,若⊥,则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 4.(2021·全国甲卷)已知向量a=,b=,c=a+kb.若a⊥c,则k=　　　　.  5.(2020·全国卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　.  熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+). (2)在△ABC中,点P满足++=0⇔P为△ABC的重心⇔=(+). (3)=λ+μ(λ,μ为实数,点O,B,C不共线),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1. (4)对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 平面向量的基本概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)下列四个命题中正确的有 (　　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中,一定有= D.若a为平面内的某个向量,a0为单位向量,则a=|a|a0 (2)如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 平面向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. (4)是与非零向量a同方向的单位向量. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是 (　　) A.若|a|=0,则a=0 B.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C.对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b| D.若a∥b,则存在唯一实数λ,使a=λb (2)在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1). ①是共线向量的有　　　　;  ②方向相反的向量有　　　　;  ③模相等的向量有　　　　.  平面向量的线性运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　向量加、减法的几何意义 【例2】若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为 (　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 角度2　向量的线性运算 【例3】(2025·四川成都模拟)在△ABC中,+2=0,则= (　　) A.+ B.+ C.+ D.- 平面向量线性运算的解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义. (2)在△ABC中,D为BC上一点,若=,则=+. 【对点训练2】(1)设D,E为△ABC所在平面内两点,=,=2,则= (　　) A.-+ B.- C.- D.-+ (2)若||=7,||=4,则||的取值范围是 (　　) A.[3,7] B.(3,7) C.[3,11] D.(3,11) 共线定理及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】(1)已知e1,e2是两个不共线的向量,若2e1+λe2与μe1+e2(λ,μ为实数)是共线向量,则 (　　) A.=-2 B.λμ=-2 C.=2 D.λμ=2 (2)如图,在△ABC中,=,P是BN上的点,若=m+,则实数m的值是　　　　.  利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. (3)已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R),则A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1. 【对点训练3】(1)(2025·广东深圳模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为 (　　) A.-8 B.8 C.6 D.-6 (2)如图所示,在△ABC中,O是BC的中点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N,若=m,=n,m,n∈R,则m+n的值为　　　　.  等和(高)线定理 如图,由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1,由△OAB与△OA'B'相似,必存在一个常数k,k∈R,使得=k,则=k=kλ+kμ,设=x+y(x,y∈R),∴x+y=kλ+kμ=k;反之也成立. 平面内一个基底{,}及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上,则λ+μ=k(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时,k=1; ②当等和线在点O和直线AB之间时,k∈(0,1); ③当直线AB在点O和等和线之间时,k∈(1,+∞); ④当等和线过点O时,k=0; ⑤若两等和线关于点O对称,则定值k1,k2互为相反数; ⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比. 【例5】(1)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ= (　　) A.1 B. C. D. (2)如图,圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆,其与BC边相切于点D,点M为圆上任意一点,=x+y(x,y∈R),则2x+y的最大值为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b. (　　) (2)单位向量都相等. (　　) (3)若a=b,b=c,则a=c. (　　) (4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立. (　　) 2.下列命题正确的是 (　　) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.若|a|=|b|,则a=b或a=-b C.向量与是平行向量 D.平行向量不一定是共线向量 3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,则+++= (　　) A. B.2 C.3 D.4 4.已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta与a-b共线,则实数t=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章　平面向量与复数 第1讲　平面向量的概念及线性运算 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.大小,方向;大小;0;相同,相反;平行;相等,相同;相等,相反 2.b+a,a+(b+c);|λ||a|,相同,相反,0;(λμ)a,λa+μa,λa+λb; 3.b=λa 高考溯源 1.D　2.C　3.D　4.-　5.5　 【精准练·题型剖析】 [例1](1)C　(2)D 解析:(1)A不正确,若b=0,则由a∥b,b∥c,无法得到a∥c.B不正确,当|a|=|b|且a∥b时,a,b的方向可能相反,此时a与b是相反向量,即a=-b;当a=b时,a与b的模相等且方向相同,即|a|=|b|且a∥b,故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件.C正确,平行四边形ABCD对边平行且相等,且和的方向相同,故=.D不正确,向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同. (2)方法一(排除法): ,不共线,,不共线,故A,B错误;,的方向相反,C错误.故选D. 方法二:在等腰梯形ABCD中,,不平行,,不平行,故A,B错误; ∵AB∥CD,∴=,则=, 即=,即=, ∵EF∥AB,∴===, ∴PE=PF,即P为EF的中点, ∴=,故C错误,D正确. [对点训练1](1)AC　(2)①a和d,b和e　②a和d,b和e　③a,c,d 解析:(1)对于A,若|a|=0,则a=0,故A正确; 对于B,若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在同一条直线上,故B错误; 对于C,若a,b的方向相同,则|a+b|=|a|+|b|,若a,b的方向相反,则|a+b|<|a|+|b|, 若a,b不共线,则|a+b|<|a|+|b|, 所以对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|,故C正确; 对于D,若a≠0,b=0,则a∥b,此时不存在实数λ,使a=λb,故D错误. (2)①a∥d,b∥e,故a和d,b和e是共线向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d. [例2]B　解析:+-2=(-)+(-)=+,-==-, ∴|+|=|-|. 故A,B,C为矩形的三个顶点,即△ABC为直角三角形. [例3]C　解析:因为+2=0, 所以D为线段BC上靠近C的三等分点,如图所示, 故=+=+=+(-)=+. [对点训练2](1)B　(2)C 解析:(1)如图, 因为=,=2,所以=,=, 所以=+=+ =+(-)=-. (2)由题意知||=7,||=4,且||=|-|, 当,同向时,||取得最小值,||=|-|=|||-|||=|4-7|=3; 当,反向时,||取得最大值,||=|-|=||+||=4+7=11; 当,不共线时,3=|||-|||<||<||+||=11, 故||的取值范围是[3,11]. [例4](1)D　(2) 解析:(1)由题意,可设2e1+λe2=t(μe1+e2),t∈R, 又e1,e2是两个不共线的向量, 故解得λμ=2. (2)因为=,所以=3, 所以=m+=m+, 又B,P,N三点共线, 所以m+=1,所以m=. [对点训练3](1)B　(2)2 解析:(1)根据题意,得=-=e1-4e2, 若A,B,D三点共线,则可设=t, 则有2e1-ke2=t(e1-4e2)=te1-4te2, 所以所以k=8. (2)连接AO(图略), 则=(+)=+, 因为M,O,N三点共线, 所以+=1,所以m+n=2. [例5](1)B　(2)2 解析:(1)方法一(常规方法):∵E为线段AO的中点, ∴=(+)= =+=λ+μ, ∴λ=,μ=,则λ+μ=. 方法二(等和线法):如图,AD为值是1的等和线,过点E作AD的平行线,设λ+μ=k,则k=. 由图易知,=,即λ+μ=k=. (2)如图,点D,E,N分别为BC,AB,AC的中点,点P为DE与BN的交点, =x+y=2x·+y=2x+y, 设2x+y=k,作出定值为1的等和线DE,AC是过圆上的点最远的等和线, 当点M在点N所在的位置时,2x+y取得最大值, 则kmax==2,所以2x+y的最大值为2. 【提能力·模拟精练】 1.(1)×;(2)×;(3)√;(4)√ 2.C　3.D　4.　 学科网（北京）股份有限公司 $