5.5.2 简单的三角恒等变换讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换 知识点一、半角公式 1.半角公式 （1）；（2）；（3）. 2.半角公式根号前符号的确定 （1）应用半角公式时 ①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号； ②若给出了的具体范围，则先求出的范围，再根据所在的象限确定符号. （2）若给出角所在的象限，则可根据下表确定符号. 第一象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － 第四象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － 知识点二、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 （1）. （2）. （3）. （4）. 2.和差化积公式 （1）. （2）. （3）. （4）. 知识点三、万能公式 （1）. （2）. （3）. 题型一：半角公式应用 例1.已知θ∈且sin θ＝，求sin ，cos ，tan 的值． 解：∵θ∈，且sin θ＝.∴cos θ＝－，∈， ∴sin ＝－， cos ＝－＝－，∴tan ＝＝2. 跟踪训练： 1.若α为第三象限角，且sinα，则tan（　　） A．﹣3 B． C．2 D．﹣2 解：因为α为第三象限角，且sinα，所以cosα，则tan3． 故选：A． 2.已知，则（　　） A． B． C． D． 解：因为，所以cosθ2cos21，所以cos， 则2cos．故选：A． 3.若cosα，α是第三象限的角，则（　　） A． B． C．2 D．﹣2 解：由，α是第三象限的角，∴可得， 则.故选：A． 4.若，且，则（　　） A． B． C． D． 解：若，且，所以， 则cosθ，则．故选：B． 5.（1）已知，且270°＜θ＜360°，试求即的值； （2）用半角公式求cos15°的值． 解：（1）∵270°＜θ＜360°，∴135°180°，∴0，0， ∴sin，cos； （2）cos15°． 题型二：积化和差与和差化积公式应用 例1.在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B． C． D． 解：cosAsinC[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）][sin（π﹣B）﹣sin（A﹣C）] sin（A﹣C）.因为﹣1≤sin（A﹣C）≤1，所以sin（A﹣C），即cosAsinC的取值范围为.故选：C． 例2.已知α，β为锐角，且，则sinαsinβ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：因为，又， 所以． ∵α，β为锐角，且，∴，即，∴， ∴，∴， ∴sinαsinβ的取值范围为．故选：A． 跟踪训练： 1.利用积化和差公式化简的结果为（　　） A． B． C． D． 解：sinαcosβ.故选：D． 2.求下列各式的值：　　 （1）；　　 （2）； （3）；　　 （4）. 解：（1） . （2） = . （3）原式. （5）原式. 3.设，则 . 解：，， .故答案为：. 4.求函数的值域. 解：， ， ， 由和角公式， 展开得：， 代入函数得：. 因为，代入函数计算最值： 最小值为：. 最大值为：. 综上，函数最大值为，最小值为，故函数值域为. 题型三：万能公式应用 例1.高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而被我们称之为 “万能”，例如：，根据以上 数学变形转换方法，运用类比的方法解答下题． （1）试推导，； （2）试求函数的取值范围； （3）试求函数的取值范围． 解：（1）由题意结合同角三角函数关系可得， ； （2）已知，设， 则，即f（x）的取值范围为[﹣1，1]； （3）由题意函数， 设，又，， 代入可得，整理得（7y﹣11）k2+2（3y+1）k+3y+1＝0， ①当7y﹣11＝0时，，， ②当7y﹣11≠0时，由方程有解可得Δ≥0，即[2（3y+1）]2﹣4（7y﹣11）（3y+1）≥0， 解得，综上，g（x）的取值范围为． 例2.（1）试用万能公式证明：． （2）已知，当α为第二象限角时，利用（1）的结论求的值． 解：（1）证明：由及得 故． （2）解：由为第二象限角得由（1）得． 跟踪训练： 1.已知，则 . 解：.故答案为：. 2.已知，则的值为 . 解：；；代入表达式：.故答案为：. 3.若，则 A. B. C. D. 解：故选：D. 4.求的值域（用万能公式解）. 解：∵，令t＝tan， 则y，即（y﹣1）t2﹣2t+3y﹣1＝0， 当y＝1时，方程有解； 当y≠1时，若方程有解，则Δ＝4﹣4（y﹣1）（3y﹣1）≥0， 解得：y∈[0，]，综上：y∈[0，]， 故的值域为（0，]． 题型四：三角恒等式的化简与证明 例1.化简与证明： （1）化简：； （2）证明：． 解：（1）证明：原式 ． （2） ，证毕． 例2.证明： （1）cos4α+4cos2α+3＝8cos4α； （2）； （3）已知sinθ+cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求证4cos22α＝cos22β． 证明：（1）由cos4α+4cos2α+3＝2cos22α﹣1+4cos2α+3＝2（cos2α+1）2＝8cos4α， 可得：cos4α+4cos2α+3＝8cos4α． （2）由2cos（α+β） =， 所以． （3）因为sin2θ+cos2θ＝1，可得（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ， 把sinθ+cosθ＝2sinα，sinθ•cosθ＝sin2β代入得4sin2α＝1+2sin2β， 即4（1﹣cos2α）＝1+2（1﹣cos2β）， 整理得4cos2α＝1+2cos2β，所以4cos2α﹣2＝﹣1+2cos2β， 所以2cos2α＝cos2β， 两边平方可得4cos22α＝cos22β． 跟踪训练： 1.证明下列恒等式： （1）1+sinα＝（sincos）2； （2）8sin4α＝cos4α﹣4cos2α+3； （3）； 证明：（1）右边左边，故1+sinα＝（sincos）2成立． （2）右边＝cos4α﹣4cos2α+3＝2cos22α﹣1﹣4cos2α+3＝2（cos2α﹣1）2＝2（2sin2α）2＝8sin2α＝左边，故8sin4α＝cos4α﹣4cos2α+3成立； （3）左边右边，故成立． 2.证明下列恒等式． （1）； （2）； （3）； （4）． 证明：（1）tantan； （2）； （3） ＝tan（）； （4）． 1.已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　) A. B.－ C. D. 解：∵α∈，∴∈，sin＝＝.故选：A. 2.化简（   ） A． B． C． D． 解：由二倍角的正弦公式可得.故选:B. 3.下列各式与tan α相等的是(　　) A. B. C. D. 解：＝＝＝tan α.故选：D. 4.已知α∈（0，π），且，则（　　） A． B． C． D． 解：因为α∈（0，π），所以0， 因为，则（舍负）．故选：C． 5.函数y＝－sin x＋cos x在[]上的值域是　　 ． 解：y＝－sin x＋cos x＝2sin.又∵－≤x≤，∴0≤－x≤.∴0≤y≤.故答案为：[0，]. 6.已知，则cosθ＝　　 ． 解：∵已知，∴，tan2． ∴cosθ，故答案为 ． 7.若，则　　 ． 解：∵，∴cos[（2）]＝cos（2）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×（）2．故答案为：． 8.化简：＝　　 ． 解：原式＝.故答案为：1. 1.设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 等于(　　) A. B. C.－ D.－ 解：∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin ＝－＝－.故选：D. 2.已知，且α∈（0，π），则（　　） A． B． C． D． 解：因为知，且α∈（0，π），所以sinα，tanα， 又因为，解得或，由于α∈（0，π），可得 ，可得．故选：A． 3. 的值为(　　) A．1 B. C. D．2 解：原式＝ ＝＝＝.故选：C. 4.设θ是锐角，，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 解：法一：由题意得， 可得（sinθcosθ+sin2θ）（cos2θ﹣sinθcosθ），即sinθcosθ+sin2θ＝cos2θ﹣sinθcosθ 所以2sinθcosθ+sin2θ﹣cos2θ＝0， 两边同除cos2θ，可得tan2θ+2tanθ﹣1＝0，解得 结合θ是锐角，tanθ＞0，可得． 法二：由题意得cos（θ）＝sin[（θ）]＝sin（θ）， 结合，可得sinθsin（θ）＝cosθcos（θ）， 所以tanθtan（θ）tanθtan（θ）， 可得tanθ•1，整理得tan2θ+2tanθ﹣1＝0， 结合θ是锐角，解得（舍负）．故选：B． 5.（多选）已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为2 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)关于x＝－对称 D．f(x)在(0，)上单调递增 解：∵f(x)＝sin 2x＋＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋. ∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π. 当x＝－时，sin＝－1，∴x＝－为对称轴． 当x∈(0，)时，2x－∈(，)，∴f(x)在(0，)上单调递增.故选：BCD. 6.在△ABC中，B，则sinA•sinC的最大值是（　　） A． B． C． D． 解：sinAsinC＝sinAsin（π﹣A﹣B）＝sinAsin（A）＝sinA（cosAsinA） sin2Acos2Asin（2A） ∵0∴2A∴2A时，sinAsinC取得最大值． 故选：D． 7.已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝，则sin ＝ ，tan ＝ . 解：∵sin(α＋270°)＝－cos α＝，∴cos α＝－，又90°<<135°， ∴sin ＝＝＝，tan ＝－＝－＝－3.故答案为：，－3. 8.已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos 的值为 . 解：因为θ∈(π，2π)，所以∈(，)，所以sin ＝＝， cos ＝－＝－，所以sin ＋cos ＝.故答案为：. 9.化简：　　 ． 解：由题意得．故答案为：tanθ． 10.化简得 . 解：原式＝1＋2sin cos ＋1－cos[2]＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2. 故答案为：2. 11.已知角α终边经过点（﹣3，4），则　 　． 解：由题意可得x＝﹣3，y＝4，则tan，则， 即22＝0，解得或， 又，则，故．故答案为：2． 12.化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝　 　． 解：原式＝ .故答案为：-1. 13.化简：＝ 　． 解：原式＝. 故答案为：. 14.化简求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 解：（1）. （2） . （3）已知，，，， 所以， . 15.证明下列等式： (1) (2). 解：（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 16.已知0＜βα，cos（2α﹣β），sin（α﹣2β），求sin的值． 解：∵0＜βα，∴2α＜π，β＜0，∴2α﹣β＜π． ∵cos（2α﹣β），∴sin（2α﹣β）． 同理可得：α﹣2β．又∵sin（α﹣2β），∴cos（α﹣2β）． ∴cos（α+β）＝cos[（2α﹣β）﹣（α﹣2β）] ＝cos（2α﹣β）cos（α﹣2β）+sin（2α﹣β）sin（α﹣2β） ＝（）， ∵α+β， ∴α+β，∴sin． 17.已知． （1）利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值； （2）求tanθ的值． 解：（1）因为sinθsin（θ）{cos[（θ）﹣θ]﹣cos[（θ）+θ]}[coscos（2θ）]cos（2θ）， 所以cos（2θ）， 解得； （2）由（1）可知， 即（cos2θ﹣sin2θ）， 所以cos2θ﹣sin2θ，即cos2θ﹣sin2θ﹣2sinθcosθ， 所以，， 整理得：tan2θ﹣5tanθ+6＝0，解得tanθ＝2或tanθ＝3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $5.5.2简单的三角恒等变换 知识点梳理-夯实基础 知识点一、半角公式 1.半角公式 1-cosa (1) sin- 2 (2) =1+cosa 2 2； (3) 2 q 1-C0S0 sina=1-cosa 1+cosa 1+cosa sina 2.半角公式根号前符号的确定 (1)应用半角公式时 ①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号： ②若给出了a的具体范围， 则先求出号的范围。再根据号所在的象限确定符号。 (2)若给出角α所在的象限，则可根据下表确定符号. a 2 Sin a cOS 2 tan a 2 第一象限 第一、三象限 十，一 + 第二象限 第一、三象限 十，一 十，一 + 第三象限 第二、四象限 第四象限 第二、四象限 +, 知识点二、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 (1)sin a cos B=sin(a+B)+sin(a-B) (2)cos a sin B=sin(a+B)-sin(a-B) 2 (3)cos a cos B=cos(a+B)+cos(a-B) (4)sin a sin B=-cos(a+B)-cos(a-B) 2.和差化积化公式 (1)sin x+sin y=2sinycosy 2 (2)sin x-sin y=2cos x+ysinx-y (3)cos x+cos y=2cos x+ycos? -y (4)cos x-cos y=-2sin x+y sin? x-y 2 知识点三、万能公式 2sin 2 2 2tan 2 (1)sin g=2sincos °2 cos2+sin 1+tan? 2 2 cos2a-sin2a 1-tan2 (2)coscs 2 2 cos2+sin2 1+tan2 2 2 2tan 2 (3)tana=- 1-tan2 典例-探究重点 题型一：半角公式应用 创1已知∈5,3n且血日-专求如号cos号m号的值 .000 2 跟踪训练： 1若a为第三象限角，且na=寻则 C=() A.-3 1 B.- C.2 3 D.-2 1+sin0+cos0 2.已知sin8=8 0∈(0， ),则sin 。0() 2 2 1. 8V17 B. 4V17 17 c.217 D.7 17 17 17 +tan 3.若cosa=- 5,α是第三象限的角，则 2 1-tan A.、 2 B. 2 C.2 D.-2 4若8e-受，受，且an8=-5,则cos =() V6 8.0 ,6 V10 A. 4 C. D.± 4 4 4 51D已知cos0=分且270<0<360，试求in 即cos (2)用半角公式求cos15的值. 题型二：积化和差与和差化积公式应用 例1.在△ABC中，若B=30°，则cos4sinC的取值范围是() A.[-1,1] R分 c[子别 D【子 例2已知aB为锐角，且a-B=石则的取值范用是(） 40,g B.1, c-i,31 D.[-3,3] 跟踪训练： 1.利用积化和差公式化简sinasin(二-P)j的结果为() A.-[cos(a+B)-cos(a-B)] B.[cos(@+B)+cos(@-A]] c.sin(@+B)-sin(@-B) D.sisin) 2.求下列各式的值： (1)sin105°cos75°： (2)2c0s37.5°cos22.5°； (3)sin(30+a)-sin(30-a) 3设ansa+osp-号na-nB-则ala-8 3 4 题型三：万能公式应用 例1.高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而被我们称之为 C 2sin号cos “万能”，例如：sina=sinc=s2o2 2tan 2 1 (α≠π+2k(k≠0)，根据 singcos 1+tan 2 2 以上 数学变形转换方法，运用类比的方法解答下题. 20 1-tan 2 2tan 2 (1)试推导cosa= tand=- （a≠π+2k(k≠0)： 1+tan 2 1-tan2a (2)试求函数f(x)=2x 1+X的取值范围， (3)试求函数g(x)= 6cosx+sinx-5 的取值范围. 2cosx -3sinx-5 例2.（1)试用万能公式证明：tan a-sina 21+c0S0 (2)已知sina=行当u为第二象限角时，利用(1)的结论求an号的值. 5 跟踪训练： 1.已知tana=2,则cos2a= 0 2已知tan2-3,则sin6+2cos6的值为 3.若tan0三之 则cos20=() A、4 B、 5 c 4求y=Si+1 cosx+2的值域（用万能公式解）. 题型四：三角恒等式的化简与证明 例1.化简与证明： 6 (1)化简：sin40(tan10°-3)： 1+sin2a (2)证明： 、-号ana+月 2cos'a+sin2a 2 例2.证明： (1)cos4q+4cos2a+3=8cos'a; (2) in(2a+β -2cos(@+B)=sinB sina sina (3)已知sin0+cos0=2sina,sin0cos0=sinβ，求证4cos22a=cos22β. 跟踪训练： 1.证明下列恒等式： 1 D1Hsim=(6n9牛+c0s9)2 (2)8sin a=cos4a-4cos2a+3; 1+tan 2 (3)1+sina= cosa 1-tan 2.证明下列恒等式. cosa-cosβ (1) =tan B-a sina+sinβ : sin(x-y) (2)sinx-siny sin(x+y) sin(x+y) (e)1=am学+芝： COSX cos 2x+cos2y cos(x-y) (4) 1+cos2(x+y)cos(x+y) D 随堂演练-基础巩固 1 3π 1.已知cosa= 5,a∈ 22m, 则sin吃等于() 470 B-10 c26 D26 5 5 5 0s=() 2化简sin2c0s2 1 A.sina B. C.cosa 3.下列各式与tana相等的是( A.1-cos 2a V1+cos 2a BTioa sin a C.1-cos 2a D.1-cos 2a sin 2a 4.已知e(0,m),且tana=22,则tang=() 2 2 A.4 B.2 c.V2 2 D. 2V2 3 豆西数y=-3inx十cos名名1上的值减是 6.已知sim号-2cos7 co5日=0，则cos8= 7.若sin(a+)=号，则sin2a+5亚)= 6 6 8.化简： 4sin0cos 2 2sin 0+sin 20 课后练习-巩固加强 1.设5K<6,cos2-a,则sin4等于() AVIta B.V1-a C.- V1+a 2 2 D. 1-a 2 9 1 2.己知c0sa= 且ae(0,m),则ang=() 3 3 A.2 B. 2/3 D.-23 3 C. 3 3 3. C0s40° 的值为( cos25oV1-sin40° A.1 B.V3 c.2 D.2 4.设0是锐角， sin0cos0-4)=cos0cos(0+平，则tam0-=（) 4 A.V2+1 B.9V2-1 c.2+1 V2-1 D. 2 2 5.（多选)已知函数fw)=sin xcos x十sinx,则下列说法正确的是() A.x)的最大值为2 B.x)的最小正周期为元 C.x)关于x= 8对称 D.fw)在(0， 4)上单调递增 6.在△ABC中，B= π 4 则sin4simC的最大值是() 1+V2 V2 2+V2 A. B. 心 C. D. 4 4 2 4 4 7.已知180<aK270°且sin(a+270)= ,则sin2=—,tan2 8.已知cos0= 25,8∈(m,2m,则sin2+cos2的值为 sin0+sin20 9.化简： 1+c0s0+c0s20 10.化简sing+cosg 2 +2sin2 I_a 42得 11.已知角a终边经过点(-3,4)，则tang= 12化简：tan70cos10(/3tan20°-1)= sin 4x cos2x cosx 13.化简：1+cos4x1+c0s2x1+cosX 14化简求值： 10 (1)1 3 cos80°sin80 (2) cos401+3tan10: (3)己知a∈，2 3 I,sin-4,求cosg的值. 25 4 15.证明下列等式： (1)sin0(1+cos20)=sin 20cos0 (2)coscosa-cos B+sina(sina-sin B)=2sin2B 11 U蜘aB心子a受o2a)=一贵血a20-45,东2的 2 值. 17已知sinsin(8+)=32 5 (1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求cos(20+T)的值； (2)求tan0的值. 12