第4章 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕任意角、弧度制及三角函数概念核心考点，按“角的概念-弧度制度量-三角函数定义”逻辑层次梳理知识，通过表格填空梳理基础、常用结论与易误点提醒、典例精讲、高考真题训练及分层练习，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破考点难点。 资料突出数学眼光与思维培养，如结合“会圆术”真题抽象圆弧模型，通过扇形面积计算培养运算能力。设置“角的终边位置判断”“弧度制实际应用”等教学活动，配合基础巩固与能力提升练习，确保高效复习。助力学生提升数学表达与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第四章　三角函数与解三角形 第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.端点　正角　负角　零角　象限角　{β|β=α+2kπ,k∈Z} 2.半径长　　°　|α|r　lr　|α|r2 3.(3)　　 高考溯源 1.B　2.1　3.A　4.D　5.D 【精准练·题型剖析】 [例1](1)D　解析:因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.对于A,可得-π-2kπ<-α<--2kπ,k∈Z,此时-α的终边在第三象限,所以-α是第三象限角,A错误;对于B,可得+kπ<<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,的终边在第一象限,当k为奇数时,的终边在第三象限,所以是第一或第三象限角,B错误;对于C,可得2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α的终边在第一象限,所以+α是第一象限角,C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或2α的终边在y轴非正半轴上,D正确. (2) 解析:由于终边在y=-x(x≤0)上的角的集合为,终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ=π+2kπ,k∈Z},因此由题图可知,终边落在阴影部分内的角α的取值集合为. [对点训练1](1)BCD　解析:-是第三象限角,故A错误;=π+,所以是第三象限角,故B正确;-400°=-360°-40°,所以-400°是第四象限角,故C正确;-315°=-360°+45°,所以-315°是第一象限角,故D正确. (2)二或四　终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上 解析:∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,∴kπ+<<kπ+,k∈Z,4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z.当k为偶数时,为第二象限角;当k为奇数时,为第四象限角,而2α的终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上. [例2](1)B　解析:由题意得,“弓”所在的弧长l=++=(米),所在圆的半径R=1.25=(米),所以其所对的圆心角α===,所以双手之间的距离d==×1.25≈1.768(米). (2)解:①因为α=,R=10 cm, 所以l=|α|R=×10=(cm). ②由已知,得l+2R=20, 所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25. 所以当R=5 cm时,S取得最大值, 此时l=10 cm,α==2 rad. ③设弓形面积为S弓形, 由题意知l=cm, 所以S弓形=××2-×22×sin =-(cm2). [对点训练2](1)B　解析:半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是=2 rad. (2)D　解析:由题意知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形所得, 设大、小扇形所在圆的半径分别为r1 cm,r2 cm,相同的圆心角为θ, 则θ==,得r1=2r2, 又因为r1-r2=40, 所以r1=80,r2=40, 所以该扇形玉雕壁画的扇面面积 S=×160×r1-×80×r2 =×160×80-×80×40 =4 800(cm2). [例3](1)B　解析:因为sin α·cos α<0,所以α是第二或第四象限角.当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不符合题意. 综上所述,α是第二象限角. (2)A　解析:∵角α的终边过点(4,3), ∴cos α==, ∴sin=cos α=. [对点训练3](1)B　解析:由题意,得θ为第二象限角,又θ∈[0,2π),则<θ<π,易知tan θ=-,所以θ=. (2)B　解析:因为点P(sin α,tan α)在第四象限,所以sin α>0,tan α<0,所以角α的终边在第二象限. 【提能力·模拟精练】 1.C　2.C　3.-　4.C　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 [课标要求]1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形  分类 (1)按旋转方向分为　　　　、　　　　和　　　　;  (2)按终边位置分为　　　　和轴线角  相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=α+k·360°,k∈Z}或　　　  2.弧度制的定义及公式 定义 长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad  弧度数公式 |α|=　　　　(弧长用l表示,半径用r表示)  角度与弧 度的换算 1°= rad; 1 rad=　　　　≈57.3°  弧长公式 弧长l=　　　  扇形面积公式 S=　　　　=　　　　  3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,以它的顶点为原点,以它的始边为x轴的非负半轴,建立直角坐标系,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y=sin α,x=cos α,=tan α(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图. (3)定义的推广 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那么sin α=　　　　,cos α=　　　　,tan α=　　　　(x≠0).  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s= (　　) A. B. C. D. 2.(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位:cm2) 为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是　　　　.  3.(2015·山东)终边在y轴的正半轴上的角的集合是 (　　) A. B. C. D. 4.(2020·山东)已知直线l:y=xsin θ+cos θ的图象如图所示,则角θ是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.(2020·全国)若α为第四象限角,则 (　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 1.熟记以下常用结论 (1)轴线角 (2)若角α∈,则sin α<α<tan α. (3)α所在象限与所在象限的关系 α所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 2.谨防三个易误点 (1)角度与弧度换算的关键是π rad=180°,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用; (2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度; (3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置,不要遗漏终边在坐标轴上的情况. 角及其表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)(2025·浙江宁波模拟)若α是第二象限角,则 (　　) A.-α是第一象限角　 B.是第三象限角 C.+α是第二象限角　 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 (2)如图所示,终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　.  (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(多选)下列四个命题正确的是 (　　) A.-是第二象限角　 B.是第三象限角 C.-400°是第四象限角　 D.-315°是第一象限角 (2)已知α为第三象限角,则是第　　　　象限角,2α是　　　　的角.  弧度制及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的一只手臂长约为米,整个肩宽约为米,“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:≈1.414,≈1.732) (　　) A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米 (2)已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l. ①若α=,R=10 cm,求扇形的弧长l; ②若扇形的周长是20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? ③若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 应用弧度制解决问题的思路 (1)求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练2】(1)(2024·浙江杭州模拟)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是 (　　) A.1 rad B.2 rad C.4 rad D.6 rad (2)玉雕在我国历史悠久,拥有深厚的文化底蕴,数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位:cm)如图所示,则该玉雕壁画的扇面面积为 (　　) A.1 600 cm2 B.3 200 cm2 C.3 350 cm2 D.4 800 cm2 三角函数的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】(1)若角α满足sin α·cos α<0,cos α-sin α<0,则α是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)(2025·广东深圳模拟)若角α的终边过点(4,3),则sin= (　　) A. B.- C. D.- (1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标. (2)已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练3】(1)已知点P在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则角θ的大小为(　　) A. B. C. D. (2)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若点P(sin α,tan α)在第四象限,则角α的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.角-863°的终边所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.一钟表的秒针长12 cm,经过25 s,秒针的端点所走的路线长为 (　　) A.20 cm B.14 cm C.10π cm D.8π cm 3.已知角α的终边上有一点P(1,-2),则sin α-cos α的值为　　　　.  4.(2018·北京)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是 (　　) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $