第1章 第1讲 集合-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，依据课标要求系统梳理元素特性、集合关系、交并补运算等知识，构建“概念-关系-运算-应用”的逻辑体系，通过考点填空、方法点拨、真题精讲（2023-2025年全国卷）及分层对点训练，帮助学生突破元素互异性、空集讨论等难点，体现复习的系统性与高考针对性。 讲义以数学思维培养为核心，创新设计“定义辨析-方法归纳-真题迁移”教学链，如通过例1对比数集与点集差异培养抽象能力，例2用数轴法解决子集参数问题强化推理意识。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握集合解题通法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第1讲　集 合 [课标要求]1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系;能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义. 3.理解并会求并集、交集、补集;能用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性:　　　　、　　　　、　　　　.  (2)元素与集合的关系是　　　　或　　　　关系,用符号　　　　或　　　　表示.  2.集合间的基本关系 (1)子集:集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,记作　　　　(或　　　　).  (2)真子集:集合A⊆B,但存在元素x∈B,且　　　　,记作A⫋B或B⫌A.  (3)集合相等:集合A,B中元素相同,记作A=B. ⦾点拨　(1)任何集合都是自身的子集,即A⊆A; (2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论. 3.集合的基本运算 类别 表示 并集 交集 补集 图形 语言 符号 语言 A∪B= 　　　  A∩B= 　　　  ∁UA= 　　　  1.若集合A有n(n≥1)个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·全国Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为 (　　) A.0 B.3 C.5 D.8 2.(2024·全国甲卷)若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= (　　) A. B. C. D. 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　　) A.{-1,0} B. C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 4.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},∁U(M∪N)= (　　) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ 5.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M=,N=,则= (　　) A.∁U B.N∪∁UM C.∁U D.M∪∁UN 集合的基本概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)(多选)下列各组中M,P表示不同集合的是 (　　) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} (2)(教材原题)在平面直角坐标系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直线y=x,从这个角度看,集合D=表示什么?集合C,D之间有什么关系? 与集合中元素有关问题的求解步骤 (1)确定集合的元素是什么,集合是数集还是点集; (2)观察这些元素满足什么限制条件; (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数. 注意　检验集合是否满足元素的互异性. 【对点训练1】(1)(教材原题)试分别用描述法和列举法表示下列集合: ①方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A; ②由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. (2)已知集合A={1,a-2,a2-a-1},若-1∈A,则实数a的值为 (　　) A.1 B.1或0 C.0 D.-1或0 集合间的基本关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(1)已知集合M=,N=,则 (　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ (2)已知集合A=,B=.若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  (1)判断两集合关系的三种方法 ①列举法:先用列举法表示集合,再从元素中寻求关系. ②化简集合法:对集合中的表达式进行变形、化简,再寻求两个集合间的关系. ③数轴法:在数轴上表示出两个集合,比较端点值之间的大小关系,从而确定集合间的关系. (2)已知两个集合间的关系求参数,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 注意　题目中若有条件B⊆A,则应分B=⌀和B≠⌀两种情况进行讨论. 【对点训练2】(1)(2025·天津一模)已知集合M=,N=,P=,则M,N,P的关系满足 (　　) A.M=N⊆P B.M⊆N=P C.M⊆N⊆P D.N⊆P⊆M (2)已知集合A={x|ax=1,a∈R},B={-1,,且A⊆B,则a的取值集合为 (　　) A.{-1} B.{-1, C., D.{-1,0, 集合的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　集合的基本运算 【例3】(1)(2025·天津)已知集合U={1,2,3,4,5},A=,B=,则∁U= (　　) A. B. C. D. (2)(2025·广东深圳模拟)已知集合M=,N=,则M∩N= (　　) A. B. C. D. 集合基本运算的方法技巧 (1)确定元素:确定集合中的元素及其满足的条件,如函数的定义域、值域,一元二次不等式的解集等; (2)化简集合:根据元素满足的条件解方程(组)或不等式(组),得出元素满足的最简条件,将集合清晰地表示出来; (3)运算求解:利用交集、并集或补集的定义求解,必要时可应用数轴或Venn图来直观解决. 易错点　混淆交集与并集运算以及求补集时端点处的取舍. 【对点训练3】(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B=,则A∩B= (　　) A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} (2)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,求实数a的取值范围. 角度2　利用集合的运算求参数 【例4】(1)已知集合A={x|x2≤4},B={x|a-1≤x≤a+1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是　　　　.  (2)已知集合A=,B={x|m+1≤x≤3m,m∈R},若A∪B=A,则实数m的取值范围是　　　　.  利用集合的运算求参数的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. (2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 【对点训练4】(1)若集合A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+6=0},A∩B={2},A∪B=B,则abc=　　　　　　.  (2)设全集U=R,集合A={x|x2-(2m+1)x+m2+m≤0},B={x|-2<x<2},若集合(∁UA)∩B中有且仅有2个整数,则实数m的取值范围是　　　　.  集合的新定义问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例5】(1)设A是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈A,都有a+b,a-b,ab,∈A(除数b≠0),则称A是一个数域,则下列集合为数域的是 (　　) A.N B.Z C.Q D.{x|x≠0,x∈R} (2)定义A-B={x|x∈A,x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A)叫做集合的对称差,若集合A=,B={x|x2-2x-3<0},则A*B=　　　　.  解决有关集合新定义问题的关键 (1)准确转化:一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆; (2)方法选取:可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解. 【对点训练5】(1)设f(n)=2n+1(n∈N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记P'={n∈N|f(n)∈P},Q'={n∈N|f(n)∈Q},则P'∩(∁NQ')= (　　) A.{0,3} B. C.{1,2} D.{1,2,6,7} (2)定义:如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…,Ak(k∈N*),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称子集族,A2,…,构成集合U的一个k划分.已知集合I={x∈N|x2-6x+5<0},则集合I的所有划分的个数为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知集合A=,B={-2,-1,0,1,2},则A∩B= (　　) A.{-2,-1,0,2}　 B.{-1,0,1}　 C.{-1,0,1,2}　 D.{-2,-1,0,1} 2.已知集合A=,则A的子集的个数是 (　　) A.4 B.8 C.16 D.32 3.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N=,则M∩∁RN= (　　) A.{-2,-1,1,2} B.{-2,1,2} C. D.{-1,1} 4.(多选)已知集合A中的三个元素分别为2,x2-3x+3,x2,若1∈A,则x的取值可能为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 5.(2025·广东深圳期末)已知集合A=,B=,则A∩B的子集个数为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 学习讲义第一章~第四章部分 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第1讲　集　合 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)确定性;互异性;无序性　(2)属于;不属于;∈;∉ 2.(1)A⊆B;B⊇A　(2)x∉A 3.{x|x∈A,或x∈B};{x|x∈A,且x∈B};{x|x∈U,且x∉A} 高考溯源 1.C　2.C　3.A　4.A　5.A 【精准练·题型剖析】 [例1](1)ABD　(2)见解析 解析:(1)选项A中,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一集合,故M≠P; 选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P; 选项C中,M={y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),P={x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),故M=P; 选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有y组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有点组成的集合,故M≠P. (2)集合D=表示直线2x-y=1与直线x+4y=5交点的集合,即D={(1,1)},显然(1,1)在直线y=x上,即D⫋C. [对点训练1](1)①描述法:A={x∈R|x2-2=0};列举法:A=;②描述法:B={x∈Z|10<x<20};列举法:B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}　(2)C 解析:(1)①设x∈A,则x是一个实数,且x2-2=0.因此,用描述法表示为A=.方程x2-2=0有两个实数根:,-,因此,用列举法表示为A=. ②设x∈B,则x是一个整数,即x∈Z,且10<x<20.因此,用描述法表示为B=.大于10且小于20的整数有:11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B=. (2)因为-1∈A,若a-2=-1,即a=1,此时A={1,-1,-1},不符合集合中元素的互异性;若a2-a-1=-1,即a=1(舍去)或a=0 时,A={1,-2,-1},故a=0.故选C. [例2](1)A　(2)[0,+∞) 解析:(1)M==,N==,因为2k+1,k∈Z表示所有的奇数,而k+2,k∈Z表示所有的整数,则M⊆N.故选A. (2)由题意可知,A=.当B=⌀时,a≥,满足B⊆A;当B≠⌀时,因为B⊆A,所以0≤a<.综上,实数a 的取值范围是[0,+∞). [对点训练2](1)B　(2)D 解析:(1)N=,故N=,由于P=,故P=,由于n,p为任意整数,故==,因此N=P,M=, 故M=,故M⊆P,所以M⊆N=P.故选B. (2)当a=0 时,A=⌀ ,满足A⊆B;当a≠0 时,A=,又A⊆B,所以=1 或=-1,所以a=1 或a=-1.故满足题意的a 的所有取值组成的集合是{-1,0,.故选D. [例3](1)D　(2)C 解析:(1)由A=,B=,则A∪B=,因为集合U=,故∁U(A∪B)={4}.故选D. (2)M={x|0≤x<4},又N={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={0,1,2}.故选C. [对点训练3](1)D　(2)a≥2 解析:∵(1)A={-4,0,1,2,8},B==,故A∩B=.故选D. (2)因为A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},且B⊆A,所以a≥2,如图所示. [例4](1)(-∞,-3)∪(3,+∞)　(2) 解析:(1)由题意得,A={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},B={x|a-1≤x≤a+1},因为A∩B=⌀,所以a+1<-2 或a-1>2,解得a<-3 或a>3,则实数a 的取值范围为(-∞,-3)∪(3,+∞). (2)由≤,得-≤x-≤,所以1≤x≤4,即A={x|1≤x≤4},由A∪B=A,得B⊆A.当B=⌀时,即m+1>3m,解得m<,符合题意;当B≠⌀时,需满足解得≤m≤.综上可得,m≤,即实数m 的取值范围为. [对点训练4](1)80　(2)-2≤m<-1或-1<m<0或0<m≤1 解析:(1)由A∩B={2},得2∈B,即22+2c+6=0,解得c=-5,所以B={2,3},由A∪B=B,得A⊆B,而A∩B={2},则A={2},因此2是方程x2+ax+b=0 的两个相等实数根,则-a=4,b=4,即a=-4,b=4,所以abc=-4×4×(-5)=80. (2)由x2-(2m+1)x+m2+m≤0,解得(x-m)[x-(m+1)]≤0,所以m≤x≤m+1,所以∁UA={x|x<m ,或x>m+1},因为(∁UA)∩B 中有且仅有2个整数, 如图,由图知,或或解得-2≤m<-1 或-1<m<0 或0<m≤1. [例5](1)C　(2)∪ 解析:(1)1,2∈N,∉N,故N不是数域,A错误,同理,B错误;任意a,b∈Q,都有a+b,a-b,ab,∈Q(除数b≠0),故Q是一个数域,C正确;对于集合D={x|x≠0,x∈R},1∈D,取a=1,b=1,则a-b=1-1=0∉D,故{x|x≠0,x∈R}不是数域,D错误,故选C. (2)由题意得B={x|-1<x<3},则A-B=,B-A=,故A*B=(A-B)∪(B-A)=∪. [对点训练5](1)B　(2)4 解析:(1)设P 中元素为t,由方程2n+1=t,n∈N,解得P'={0,1,2},同理,Q'={1,2,3},所以P'∩(∁NQ')={0},故选B. (2)依题意,I={x∈N|x2-6x+5<0}={x∈N|1<x<5}={2,3,4},I的2划分为{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}},共3个,I的3划分为{{2},,{4}},共1个,故集合I 的所有划分的个数为4. 【提能力·模拟精练】 1.B　2.B　3.B　4.AD　5.4　 学科网（北京）股份有限公司 $