第3章 第4讲 函数中的构造问题-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数构造核心考点，按抽象函数构造（与x、e^x、sinx/cosx结合）和具体函数关系构建知识体系，通过课标解读、方法归纳、真题精讲（2024-2025年新课标卷等）、分层训练环节，帮助学生掌握比较大小、解不等式等问题的构造策略，体现复习的系统性与针对性。 资料以“构造法”为主线，创新设计“特征分析—函数构造—性质应用”教学流程，如例1通过偶函数性质及xf'(x)+f(x)结构构造新函数比较大小，培养学生数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力）。设置基础到综合的分层练习，配合真题即时反馈，确保学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

多学科网书城四 b.zxxk.com 第4讲函数4 【强基础知 高考溯 1.D2.ABC3.②③ 4-2,1 【精准练题 [例1]A 解析：令gx)=Xx,XER, 因为x)=f-x),所以g(-x)=xf-x)=-xfx)=-g(X, 所以gx)为奇函数， 又因为当x∈(o,0]时，x)+fx)>0, 所以当x∈（∞，0]时，gx)=fx)+xfx)>0,所以gx)在(。 又g(x)为奇函数，所以gx)在R上单调递增， 又因为a=32f32)=g(3.3, b=In 2fun 2)=g(In 2), 1 y c-loggf log3g -g 10g3g =g(2), -2<0<n2<ne=1=3<3.2, 所以g(-2)<gn2)g32),即a>b>c. [例2]B f(x) 解析：设gx)= ex, f'(x)e*-f(x)e*f'(x)-f(x) 则g(x) e 由条件可知fx)fx)>0,所以g(x)>0, 则函数gx)在R上单调递增， 因为函数x)是定义在R上的奇函数， 则0)=0， f(o e i e 得f-1)<0,故A错误； f(3)f2 ,得3)>ef2),故B正确； 111 得e升3下e 故C错误 2 e 独家授权 品牌书店·知名教辅·正版资源 您身边的互联网+教辅专家 的构造问题 只梳理】 源 型副析】 ,0上单调递增， 侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f3)f4) e e4,得e3)4,故D错误 [例3]B 解析：令Fx)= f(x) 2 +k,k∈Z, COSX f'(xcosx+f(xsin 故F(x)= 一>0恒成立， COS X 故Fx)F f(x) 在 COSX n+kn,2 +k元kEZ上单调递增， ￠ f π6 f f f 故F 63即 <3f oS π π 16 cOS V3 6 2 2 [对点训练1](1)B(2)C(3)A f(x) 解析：(1)冷函数gx)= X∈(0，π)， sinx f'(x)sinx-f(x)cosx 则g(x)= <0. sinx 因此涵函数gx)在(0，π)上单调递减，又不等式x)>2 6 sin xe π sin 6 π 即gxP86 π 解得0<x< 6 以原不等式的解集为0， f(x (2)设gx)= x2X∈(0，+o, .xfX)<2x0, 8x)= f(x)-2f(x)o x 则g(x)在(0，+o)上单调递减， ∴.g2)>ge)>g4), f2fe、f4 4 e2 16 即4ef2)>16fe)>ef4),故C正确 独家授权侵权必究。 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)由fx)>ex,可得 (x)1f(1 f(x) f'(x)-f(x) 令gx)= e结合x/x>0则g ex <0,所以gX)在R上单调递减， 故gx)>g(1)=x<1, 则原不等式的解集为(o,1). [例4(1)A(2)D Inx 解析：设-X00, 1-21nx 则fx)= 令fx)=0,得x=Ve, 则fx)在(0，Ve)上单调递增，在(We,+o)上单调递减， b=fV5),c=fV6),则b>c, 1 In5 5-31n5 Ine?-In125 又a-b-610 >0,得a>b, 30 30 所以c<b<a. (2)由题意知，a=e.1420857,c=V1.285714=√1+2×0.142857， 设fx)=e-x-1(x>0),则fx)=e-1, 当x∈(0，+o)时fx)>0,fx)单调递增， 所以x)=ex-x-1>f0)=0, 所以e'>x+1X>0). 因为X2+2X+1>1+2X(X>0), 所以x+1>V1+2xX>0), 得e>V1+2x(x>0), 所以e1420857V1+2×0.142857,即a>G 由e>x+1(x>0),得X>nx+1)(X0), 所以x-1>nxX>1),即X>nX+1(x>1), 1n1.285714 所以y1.285714>nV1.285714+1= +1,即c>b. 综上，a>C>b, [对点训练2](1)D(2)B π.π1 解析：1)a=sin5>sin62C 设x)=lnx+1-X,x>1, 1-x 则fx)= 独家授权侵权必究 画学科网书城四 b.ZxXk.c0m● 故x)在(1，+o)上单调递减， 故fx)f1)=0,即nX<x-1x>1), 33 所以b-n221=c,故acb 十 2构建W-1nxce 1nx-1 则fnx20在e,+上恒成立， 可知fx)在(e,+o)上单调递增， Tπ π 2 4 因为a= 2lnvπln ,c1n21n4 可知f4)>m>e)-e, 即c>a>e; 构建gx)=x-sinX,X0, 则g(x)=1-c0sX≥0在(0，+o)上恒成立， 可知gx)在(0，+0)上单调递增， 则gx)>g0)=0,即x>sinX,Xo0, 1 1 可得。sine且e>0, e 1 则e>esin二，即e>b, 综上所述，c>a>b. 【提能力模 1.C 2.A 3.C 4.BC 5.ABD 独家授权 品牌书店·知名教辅·正版资源 您身边的互联网+教辅专家 以精练】 侵权必究 第4讲　函数中的构造问题 [课标要求]通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　　) A.-1 B. C.1 D.2 2.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)已知函数f的定义域为R,f=y2f+x2f,则(　　) A.f=0 B.f=0 C.f是偶函数 D.x=0为f的极小值点 3.(2025·北京)关于定义域为R的函数f(x),给出下列四个结论: ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立; ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)-f(2x)=x恒成立; ③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个; ④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个. 其中正确结论的序号是　　　　.  4.(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-+a在上有两个不同的交点,则a的取值范围为　　　　.  5.(2022·全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是　　　　.  利用f(x)进行抽象函数构造 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　利用f(x)与x构造函数 【例1】(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),且当x∈(-∞,0]时,f(x)+xf'(x)>0,若a=30.2·f(30.2),b=ln 2·f(ln 2),c=log3·f,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b (1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数f(x)=xnf(x). (2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数f(x)=. 角度2　利用f(x)与ex构造函数 【例2】函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x恒有f'(x)-f(x)>0,则 (　　) A.f(-1)>0 B.f(3)>ef(2) C.f<f D.ef(3)>f(4) (1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数f(x)=enxf(x). (2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数f(x)=. 角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 【例3】(2025·浙江杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x>0,则 (　　) A.f<f B.f<f C.f>f D.f>f 函数f(x)与sin x,cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)=f(x)sin x, F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x; F(x)=, F'(x)=; F(x)=f(x)cos x, F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x; F(x)=, F'(x)=. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0,π),其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0,π),有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)>2fsin x的解集为 (　　) A. B. C. D. (2)(2024·江苏南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0,+∞),若xf'(x)<2f(x),则 (　　) A.4e2f(2)<16f(e)<e2f(4) B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e) C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2) D.16f(e)<e2f(4)<4e2f(2) (3)(2024·江苏扬州模拟)已知函数f(x)的导数为f'(x),对任意实数x,都有f(x)-f'(x)>0,且f(1)=1,则f(x)>ex-1的解集为 (　　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 构造具体函数关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】(1)(2025·云南昆明模拟)设a=,b=,c=,则 (　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c (2)(2024·江西南昌模拟)142 857被称为世界上最神秘的数字,142 857×1=142 857,142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,142 857×5=714 285,142 857×6=857 142,所得结果是这些数字反复出现,若a=e0.142 857,b=+1,c=,则 (　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b 通过研究或变形,使所研究的式子具有鲜明的结构特点,然后依据此特点构造新函数.常用的不等式:sin x<x<tan x,ln(x+1)<x(x>0),ln x≤x-1≤x2-x(x>0),ex≥x+1(x>0),ex≥ex>x(x>0). 【对点训练2】(1)(2025·江西九江模拟)已知a=sin ,b=ln ,c=,则 (　　) A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b (2)已知e是自然对数的底数,a=,b=e2sin ,c=,则 (　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.b>c>a 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·四川成都模拟)已知函数y=f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x-f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 (　　) A.f>f B.f<f C.2f(0)<f D.f(0)>f 2.(2024·四川成都模拟)若函数f(x)对任意的x∈R,都有f'(x)<f(x)+2成立,则2f(ln 2)与f(2ln 2)-2的大小关系为 (　　) A.2f(ln 2)>f(2ln 2)-2 B.2f(ln 2)<f(2ln 2)-2 C.2f(ln 2)=f(2ln 2)-2 D.无法比较大小 3.(2024·四川南充模拟)设函数f(x)=sin x+ex--x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是 (　　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,3) 4.(2024·安徽滁州模拟)(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且对任意的x∈R,都有f(x)+f'(x)>0,则下列说法正确的是 (　　) A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0) C.2f(ln 2)<ef(1) D.2f(ln 2)>ef(1) 5.(2025·安徽池州模拟)(多选)下列不等关系中正确的是 (　　) A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1) C.cos< D.sin +>π 学科网（北京）股份有限公司 $