第2章 第11讲 函数模型及其应用-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数模型及其应用高考核心考点，涵盖指数、对数、一次函数等模型的增长差异及现实应用，按“模型梳理-性质比较-真题解析-方法提炼”逻辑架构知识，通过考点清单、方法指导（如函数图象验证法）、真题训练（2024北京等题）等环节，帮助学生构建系统认知，突破模型选择与应用难点。 资料以“数学眼光观察现实、数学思维分析问题”为特色，结合生物丰富度指数、二氧化碳状态图等真实案例，设计血药浓度图象分析（例1）、深度学习学习率计算（例2）等探究活动，培养模型意识与数据处理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第11讲　函数模型及其应用 [课标要求]1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异,理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型案例,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 2.三种函数模型性质比较 　　函数 类别　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的单调性 　　　  　　　  　　　  增长速度 　　　  　　　  相对平稳 图象的变化 随x值增大,图象与　　　　接近平行  随x值增大,图象与　　　　接近平行  随n值变化而不同 ⦾点拨　幂函数模型y=xn(n>0)可以描述增长速度的变化,当n 值较小(0<n≤1)时,增长较慢;当n 值较大(n>1)时,增长较快. 1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小. 2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果在实际问题中的合理性. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·北京)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 2.(2022·北京)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为(参考数据:≈1.259) (　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 4.(2019·北京)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示: 根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中正确的是 (　　) A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒 判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法: (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象; (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是 (　　) A B C D 已知函数模型解决实际问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(2025·福建福州调研)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为22,且当训练迭代轮数为22时,学习率衰减到0.45,则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　　) A.11 B.44 C.227 D.481 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数; (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. 2.利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 【对点训练2】(2025·江苏南京模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表,通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:T=·,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 (　　) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 【对点训练3】香农-威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数,其计算公式是H=-pi·log2pi,其中n是该群落中生物的种数,pi为第i个物种在群落中的比例,下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表,根据表中数据,该群落的香农-威纳指数值为 (　　) 物种 甲 乙 丙 合计 个体数量 300 150 150 600 A. B. C.- D.- 构建函数模型解决实际问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】李冶(1192—1279),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为20步,则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y=　　　　,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时,r=　　　　(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算).  在应用函数解决实际问题时常经历以下四个步骤: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型. (3)解模:求解函数模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题. 【对点训练4】(2025·浙江杭州模拟)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年投入研发资金160万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.1≈0.04,lg 2≈0.30) (　　) A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位:元)是 (　　) A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818 2.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　　) A B C D 3.载人飞船进入太空需要搭载于运载火箭,火箭在发射时会产生巨大的噪声,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足关系式:d(x)=10lg.若某人交谈时的声强级约为50 dB,且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为107.8,则火箭发射时的声强级约为 (　　) A.138 dB B.132 dB C.128 dB D.122 dB 4.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇,开发生产一智能产品,该产品每年的固定成本是25万元,每生产x万件该产品,需另投入成本ω(x)万元,其中ω(x)=若该公司一年内生产该产品全部售完,每件的售价为70元,则该企业每年利润的最大值为 (　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　函数模型及其应用 【强基础·知识梳理】 必备知识 增函数;增函数;增函数;越来越快;越来越慢;y轴;x轴 高考溯源 1.D　2.D　3.C　4.A 【精准练·题型剖析】 [例1]ABC 解析:从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确; 根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确; 服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确; 首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误. [对点训练1]D 解析:依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x; 当4<x≤8时,f(x)=8; 当8<x≤12时,f(x)=24-2x, 观察四个选项知D项符合要求. [例2]D 解析:因为L=L0,所以L=0.5×, 依题意得0.45=0.5×⇒D=, 则L=0.5×, 由L=0.5×<0.05得<, 两边取常用对数得lg<lg ,lg<-1, G·(lg 9-lg 10)<-22, G·(lg 10-lg 9)>22(不等式两边同乘-1,不等号改变方向), G>=≈=≈480.35, 所以所需的训练迭代轮数至少为481轮. [对点训练2]B 解析:设火星的公转周期为T1,椭圆轨道的长半轴长为a1,水星的公转周期为T2,椭圆轨道的长半轴长为a2, 则T1=8T2,且 得==8, 所以=4,即a1=4a2. [对点训练3]A 解析:由题意知 H=- =- =-=.故选A. [例3]r2+r+;40 解析:已知水池的半径为r步, 则方田的边长为(2r+40)步, 由题意得,(2r+40)2-πr2=y×240, 得y=r2+r+, =++≥1,当且仅当r=40时取等号. [对点训练4]C 解析:设x年后,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元, 则160(1+10%)x>200, 即1.1x>,取常用对数得xlg 1.1>lg 5-2lg 2, x>==≈=2.5,因x取整数,所以取x=3, 故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2026年. 【提能力·模拟精练】 1.C　2.C　3.C　4.C　 学科网（北京）股份有限公司 $