第1章 第4讲 基本不等式-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

第4讲　基本不等式 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)a>0,b>0　(2)a=b (3)算术平均数;几何平均数 2.(1)x=y;　(2)x=y;2 高考溯源 1.C　2.C　3.BC　4.4　5.2　 【精准练·题型剖析】 [例1](1)ABC　(2)C 解析:(1)对于A,当x>0时,x+≥2=4(当且仅当x=2时取等号), 当x<0时,x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时取等号),故A错误; 对于B,ab≤恒成立,而≤成立的条件为a>0,b>0,故B错误; 对于C,y=+≥2,等号成立的条件是=,即x2+2=1,显然不能取到,故C错误; 对于D,存在a=-1,使得a+<2成立,故D正确. (2)由题图知,OC=AB=,OD===,在Rt△OCD中,CD==,所以OC≤CD,即≤.故选C. [对点训练1](1)A　(2)ABD 解析:(1)∵a>b>0,则a2+b2>2ab, ∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab,∴2(a2+b2)>(a+b)2, ∴>,∴由p可推出q; 当a<0,b<0时,q也成立,如a=-1,b=-3时,=5>=4, ∴由q推不出p,∴p是q成立的充分不必要条件.故选A. (2)对于A,4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0,即4ab≤(a+b)2,故A正确; 对于B,当a+b>0时,>0,则-==≤0恒成立,即≤恒成立,当a+b≤0时,原不等式恒成立,故B正确; 对于C,当a+b>0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≤恒成立;当a+b<0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≥,故C错误; 对于D,由重要不等式可知,a,b∈R,ab≤恒成立,故D正确. [例2](1)D　(2) 解析:(1)由题意得a-1>0,2a+=2a+=2a+4+=2(a-1)++6≥2+6=4+6,当且仅当2(a-1)=,即a=+1 时,等号成立,所以2a+的最小值是4+6.故选D. (2)因为0<x<1,所以-3<-3x<0,所以1<4-3x<4,所以x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤·=,当且仅当3x=4-3x,即x=时,等号成立,故所求x 的值为. [对点训练2](1)B　(2)9　(3) 解析:(1)因为x+4y=(x+4y)·=5++≥9,当且仅当=,即x=3,y=时,等号成立,所以x+4y 的最小值为9.故选B. (2)由0<x<1,得1-x>0.+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值是9. (3)正数x,y满足x2-2xy+2=0,故y==+,故x+y=x++=+≥2=,当且仅当=,即x=时,等号成立. [例3](1)B　(2) 解析:(1)因为实数x,y满足3xy+y2=1,y>0, 所以x=,则2x+y=+y=+≥2=, 当且仅当=,即y=时,等号成立,所以2x+y的最小值是. (2)由f(x)=x2+=x2+2+-2, 令x2+2=t(t≥2),则有f(t)=t+-2, 由对勾函数的性质知,f(t)在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,f(t)min=, 即当x=0时,f(x)min=. [对点训练3](1)B　(2)BCD 解析:(1)∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项, ∴2ln =ln 3a+ln 9b, 即ln 3=ln(3a·9b)=ln 3a+2b=(a+2b)ln 3, ∴a+2b=1,又a>0,b>0, ∴+=(a+2b)=4++≥4+2=8, 当且仅当=,即a=,b=时等号成立,故+的最小值为8. (2)对于A,由a+b+8=ab≤,当且仅当a=b时等号成立,不妨设a+b=t, 则t2-4t-32≥0,解得t≥8或t≤-4, 因为a>0,b>0,则a+b≥8,故A错误; 对于B,由ab-8=a+b≥2, 当且仅当a=b时等号成立,不妨设=s,则s2-2s-8≥0, 解得s≥4或s≤-2,因为s>0,则s≥4,即ab≥16,故B正确; 对于C,由ab=a+b+8可得a(b-1)=b+8,则b-1>0,且a=, 则a+3b=+3b=1++3b=4++3(b-1)≥4+2=4+6, 当且仅当=3(b-1),即b=+1,a=3+1时取等号,a+3b有最小值4+6,故C正确; 对于D,由ab=a+b+8可得ab-a-b+1=9,即(a-1)(b-1)=9,且a-1>0,b-1>0, 则+≥2=,当且仅当=时等号成立, 由解得 即当且仅当a=,b=7时,+有最小值,故D正确. [例4](1)D　(2)D 解析:(1)由题意+≥m恒成立,即5++≥m恒成立. 又5++≥5+2=9,当且仅当a=b时取等号. 故实数m的最大值为9. (2)∵不等式x+<m2-3m有解,∴<m2-3m,∵x>0,y>0,+=1, ∴x+==++2≥2+2=4, 当且仅当=,即x=2,y=8时等号成立, ∴m2-3m>4,∴(m+1)(m-4)>0,∴m<-1或m>4, ∴实数m的取值范围是{m|m<-1,或m>4}. [思维升华]∃x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)max≥a;∃x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)min≤a. [对点训练4]　(1)C　(2)见解析 解析:(1)因为x>-1,x+1>0, 所以x+=x+1+-1≥2-1=2-1, 当且仅当x+1=,即x=-1时取等号, 所以x+有最小值2-1, 因为不等式x+≥3在x∈(-1,+∞)上恒成立,所以2-1≥3,解得a≥4, 所以a的最小值为4. (2)①由题意可知a=2,b=1,∵c==, ∴F1(-,0),F2(,0),设P(x,y), ∴=(--x,-y),=(-x,-y), ∴·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1--3=(3x2-8). 由椭圆的性质可知,-2≤x≤2,∴0≤x2≤4, ∴ -2≤≤1,故-2≤·≤1,即·∈. ②设E(x1,kx1),F(x2,kx2),联立消去y整理可得(1+4k2)x2=4, ∴x1=-,x2=, ∵A(2,0),B(0,1),∴直线AB的方程为x+2y-2=0. 根据点到直线的距离公式可知,点E,F到直线AB的距离分别为 h1==, h2==, ∴ h1+h2=,∴|AB|==, ∴四边形AEBF的面积为S=|AB|(h1+h2)=××== 2=2≤2,当且仅当4k=,即k=时,上式取等号,所以S的最大值为2. 【提能力·模拟精练】 1.A　2.C　3.D　4.BCD　5.-3　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　基本不等式 [课标要求]1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式,并会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件是　　　　.  (2)等号成立的条件是:当且仅当　　　　时取等号.  (3)其中叫做正数a,b的　　　　,叫做正数a,b的　　　　.  2.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)若x+y=S(和为定值),则当　　　　时,积xy取得最大值　　　　.  (2)若xy=P(积为定值),则当　　　　时,和x+y取得最小值　　　　.  记忆口诀:两正实数的和定积最大,积定和最小. ⦾提醒　应用基本不等式求最值要注意:“一正,二定,三相等”,忽略其中某个条件,就会出错. 1.(1)≤2. (2)a2+b2+c2≥ab+bc+ac. (3)≤a2+b2⇔-≤2ab≤a2+b2. (4)≤≤≤. 即有:正数a,b的调和平均数≤ 几何平均数≤ 算术平均数≤ 平方平均数. 2.三元均值不等式 (1)≥.(2)≥abc. 以上两个不等式中a,b,c∈R+,当且仅当a=b=c时等号成立. 3.二维形式柯西不等式 若a,b,c,d都是实数,则≥,当且仅当ad=bc时,等号成立. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·北京)已知a>0,b>0,则 (　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则·的最大值为 (　　) A.13 B.12 C.9 D.6 3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 4.(2025·上海)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为　　　　.  5.若a>0 , b>0,则++b的最小值为　　　　.  基本不等式的理解及常见变形 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)(多选)下列说法不正确的是 (　　) A.x+的最小值是4 B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的 C.+的最小值为2 D.存在a,使得a+<2成立 (2)(2025·辽宁二模)数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形,在等腰直角三角形ABC中,点O为斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设AD=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为 (　　) A.≥ B.≤ C.≤ D.a2+b2≥2 【对点训练1】(1)已知p:a>b>0,q:>,则p是q成立的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)(多选)已知a,b∈R,则下列不等式成立的是 (　　) A.4ab≤(a+b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 利用基本不等式求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(1)已知a>1,则2a+的最小值是 (　　) A.2+6 B.2+4 C.4+4 D.4+6 (2)已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时,x的值为　　　　.  常数代换法求最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造“和”或“积”为定值的形式; (4)利用基本不等式求最值. 【对点训练2】(1)已知正实数x,y满足+=1,则x+4y的最小值为 (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 (2)已知0<x<1,则+的最小值是　　　　.  (3)若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是　　　　.  利用基本不等式求最值的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】(1)已知实数x,y满足3xy+y2=1,y>0,则2x+y的最小值是 (　　) A. B. C.2 D.3 (2)函数f(x)=x2+的最小值是　　　　.  与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 如图,对于函数f(x)=x+,k>0,x∈[a,b],[a,b]⊆(0,+∞). (1)当∈[a,b]时,f(x)=x+≥2,f(x)min=f()=+=2; (2)当<a时,f(x)=x+在区间[a,b]上单调递增,f(x)min=f(a)=a+; (3)当>b时,f(x)=x+在区间[a,b]上单调递减,f(x)min=f(b)=b+. 因此,只有当∈[a,b]时,才能使用基本不等式求最值,而当∉[a,b]时,只能利用对勾函数的单调性求最值. 【对点训练3】(1)设a>0,b>0,若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项,则+的最小值为 (　　) A.6 B.8 C.9 D.12 (2)(多选)若实数a>0,b>0,且ab=a+b+8,则下列结论正确的是 (　　) A.a+b≤8 B.ab≥16 C.a+3b≥4+6 D.+≥ 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】(1)若不等式+≥恒成立,则实数m的最大值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.9 (2)若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是 (　　) A.{m|-1<m<4} B.{m|m<-4,或m>1} C.{m|-4<m<1} D.{m|m<-1,或m>4} 利用基本不等式解题的策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解; (2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式后求解; (3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关式子成立的条件,从而求得参数的值或范围. 【对点训练4】(1)已知a>0,若关于x的不等式x+≥3在x∈(-1,+∞)上恒成立,则a的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2025·全国高三专题练习)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点. ①若Р是该椭圆上的一个动点,求·的取值范围; ②设A,B是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.求四边形AEBF面积的最大值. 利用基本不等式解决实际问题的策略 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值; (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围; (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 (　　) A. B. C. D.1 2.已知实数a∈R,则“∀x>0,x+≥2”是“a≥1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a>1,则2a+的最小值是 (　　) A.2+6 B.2+4 C.4+4 D.4+6 4.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则 (　　) A.ab有最大值 B.+有最大值 C.+的最小值是3+2 D.+的最小值是 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与以D(2,0),E(2,6)为直径两端点的圆相切,过抛物线C的焦点F的动直线l与抛物线交于A,B两点,则|AF|-的最小值为　.  学科网（北京）股份有限公司 $