第3章 第3讲 导数与函数的极值、最值-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，涵盖极值的必要与充分条件、极值及闭区间最值的求解方法，按“基础概念—判定方法—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（表格归纳条件与图象特征）、方法指导（极值最值求解步骤）、真题训练（近三年高考题）等环节，帮助学生构建系统知识网络。 讲义采用“图象分析—分类讨论—真题变式”教学策略，如通过导函数图象判断极值点培养数学眼光的几何直观，探究含参函数极值点个数提升数学思维的推理能力。设置分层练习与即时反馈，助力学生规范解题表达（数学语言），为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第3讲　导数与函数的极值、最值 [课标要求]1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 1.函数的极值 条件 f'(x0)=0 x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极 　　　　值  f(x0)为极 　　　　值  极值点 x0为极 　　　　值点  x0为极 　　　　值点  ⦾提醒　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点. (2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.函数的最值 (1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则　　　　为函数的最小值,　　　　为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则　　　　为函数的最大值,　　　　为函数的最小值.  ⦾提醒　极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·全国Ⅱ卷)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ex+2,则 (　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 2.(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.  3.(2024·新高考Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 4.(2022·全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是　　　　.  1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 利用导数研究函数的极值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　由导函数图象判断函数的极值 【例1】(2025·云南玉溪模拟)(多选)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x)且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是 (　　) A.函数f(x)有极大值f(-2) B.函数f(x)有极大值f(2) C.函数f(x)有极小值f(1) D.函数f(x)有极小值f(2) 由图象判断函数y=f(x) 的极值,要抓住两点: (1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点; (2)由y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值点. 角度2　求函数的极值 【例2】(1)(2024·全国甲卷改编)已知函数f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x,则f(x)的极小值为　　　　.  (2)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R),讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f'(x),不要忘记函数f(x)的定义域; (2)求方程f'(x)=0的根; (3)检查在方程的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点或函数的极值. 角度3　已知函数的极值(点)求参数 【例3】(2023· 新课标Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 细研真题　本题源于教材人教A版选择性必修第二册P81T8.考查利用导数研究函数的性质与函数的零点,此类问题仍可借助函数的极值求参数. 真题变式 1.(多选)若函数f(x)=aln x++(a>0)既有极大值又有极小值,且f(x)的极大值点是1,则 (　　) A.b>2a B.a+2c<0 C.b+c<0 D.a+b-2c=0 2.已知函数f(x)=ln x-ax+1的极大值大于1,则实数a的取值范围是 (　　) A. B.(0,1) C. D.(1,+∞) 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解; (2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 注意(1)导数为零的点不一定是极值点. (3)对于求解析式中含有参数的函数极值问题,一般要对方程f'(x)=0的根的情况进行讨论,分两个层次讨论,第一层次,讨论在定义域内是否有根;第二层次,在有根的条件下,再讨论根的大小. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(2025·天津西青区模拟)已知f'(x)是函数f(x)在R上的导函数,函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是 (　　) A B C D (2)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a,b∈R)在x=-1处有极值0,则a-b= (　　) A.-2或-7 B.-4或-11 C.11 D.-7 (3)(2025·安徽合肥模拟)若函数f(x)=在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为　　　　.  利用导数研究函数的最值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】(1)函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最值是 (　　) A.最大值是4,最小值是- B.最大值是2,最小值是- C.最大值是4,最小值是- D.最大值是2,最小值是- (2)已知函数f(x)=ax++(a-1)ln x(a∈R)的最小值为2,则a=　　　　.  求函数f(x) 在[a,b] 上最值的方法 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(a)为最小值(或最大值),f(b)为最大值(或最小值). (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. (3)若函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,则这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 【对点训练2】(1)已知函数f(x)=ex-ex,则f(x) (　　) A.有最小值1,无最大值 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值0,无最大值 D.有最大值0,无最小值 (2)(2025·达州模拟)已知函数f(x)=x3+ex-1+mx-3,若当x∈(1,2)时,函数f(x)存在最小值,则实数m的取值范围是　　　　.  函数极值和最值的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例5】(2025·湖南模拟)已知为函数f(x)=xaln x的极值点. (1)求实数a的值; (2)设函数g(x)=,若对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈R,使得f(x1)-g(x2)≥0,求实数k的取值范围. (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数最值时,不能想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论. (3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象得到函数的最值. 【对点训练3】(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=(0≤x≤π),a>0,为f(x)的极值点. (1)求a-ln b的最小值; (2)若关于x的方程f(x)=1有且仅有两个实数解,求a的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)=ex+kx在x=0处有极值,则实数k= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.e 2.(课本改编)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x) (　　) A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,一个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 3.(课本改编)函数f(x)=x3-x2+1在区间[0,2]内的最小值为　　　　.  4.已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-,则f(x)的极大值点为　　　　,极大值为　　　　.  5.若函数f(x)=2x++3ln x在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　导数与函数的极值、最值 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.大;小;大;小　2.f(a);f(b);f(a);f(b) 高考溯源 1.ABD　2.-4　3.ACD　4. 【精准练·题型剖析】 [例1]AD　 解析:由题图可知,当x∈(-∞,-2) 时,1-x>0,且(1-x)f'(x)>0,则f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,-2) 上单调递增; 当x∈(-2,1) 时,1-x>0,且(1-x)f'(x)<0,则f'(x)<0,f(x) 在区间(-2,1) 上单调递减; 当x∈(1,2) 时,1-x<0,且(1-x)f'(x)>0,则f'(x)<0,f(x) 在区间(1,2) 上单调递减; 当x∈(2,+∞) 时,1-x<0,且(1-x)f'(x)<0,则f'(x)>0,f(x) 在区间(2,+∞) 上单调递增, 所以函数f(x) 的极大值为f(-2),极小值为f(2). [例2](1)0　解析:函数f(x) 的定义域为(-1,+∞),则f'(x)=2ln(x+1)+,令F(x)=2ln(x+1)+(x>-1),则F'(x)=+,可得F'(x)>0 在(-1,+∞) 上恒成立,则F(x) 在(-1,+∞) 上单调递增,又F(0)=0,所以当x∈(-1,0) 时,F(x)<0,即f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,+∞) 时,F(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x) 在x=0 处取得极小值,f(x)极小值=f(0)=0.故答案为0. (2)解:函数f(x) 的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=(x>0). 当a≤0 时,f'(x)>0在(0,+∞) 上恒成立, 则函数f(x) 在(0,+∞) 上单调递增, 此时函数f(x) 在定义域内无极值点; 当a>0 时,若x∈,则f'(x)>0,f(x)单调递增; 若x∈,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故函数f(x) 在x=处有极大值. 综上可知,当a≤0 时,函数f(x) 无极值点; 当a>0 时,函数f(x) 有一个极大值点. [例3]BCD 解析:由题得,函数f(x) 的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为函数f(x) 既有极大值也有极小值,所以关于x 的方程ax2-bx-2c=0 有两个不等的正实根x1,x2,则即又a≠0,所以故选BCD. [真题变式] 1.AB　解析:由题得,函数f(x) 的定义域为(0,+∞).f'(x)=,因为函数f(x) 既有极大值又有极小值,且极大值点是1.所以关于x 的方程ax2-bx-2c=0 有两个不等的正根,一根是1,另一根大于1,则所以b>2a,a+2c<0,b+4c<0.又b+2c=a>0,所以c<0, 所以b+c>-c>0. 2.A　解析:由题得f'(x)=(x>0),当a≤0 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,不存在极值,所以a>0.令f'(x)>0 得0<x<,令f'(x)<0 得x>,所以f(x) 在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)的极大值为f=-lna>1,解得a<.故a 的取值范围为. [对点训练1](1)C　(2)D　(3)e 解析:(1)由题意可得f'(-2)=0,而且在点(-2,0) 的左侧附近,f'(x)<0,此时xf'(x)>0,排除B,D;在点(-2,0) 的右侧附近,f'(x)>0,此时xf'(x)<0,排除A,所以函数y=xf'(x) 的图象可能是C. (2)根据题意得,f'(x)=3x2+6ax+b,因为函数f(x) 在x=-1 处有极值0,所以f'(-1)=3-6a+b=0 且f(-1)=-1+3a-b+a2=0,所以a=1,b=3或a=2,b=9.当a=1,b=3时f'(x)=3x2+6x+3≥0 恒成立,此时函数无极值点,不满足条件;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),此时f(x) 在x=-1 处有极值0,满足条件,所以a=2,b=9满足条件,所以a-b=-7. (3)由题意可得,f'(x)=,f'(2)=0,解得b=-1,所以f'(x)=,故当x<1 或x>2时,f'(x)>0;当1<x<2 时,f'(x)<0,所以f(x) 在(-∞,1) 上单调递增,在(1,2) 上单调递减,在(2,+∞) 上单调递增,所以f(x) 的极大值为f(1)=e. [例4](1)A　(2)1或e 解析:(1)因为f(x)=x3-4x+4,x∈[0,3],所以f'(x)=x2-4,由f'(x)=x2-4>0,得2<x≤3,由f'(x)=x2-4<0,得0≤x<2,所以f(x) 在[0,2) 上单调递减,在(2,3] 上单调递增,又f(0)=4,f(2)=-,f(3)=1,所以f(x) 在[0,3] 上的最大值是4,最小值是-. (2)由题意得f'(x)=a-+=,x>0,当a≤0 时,f'(x)<0,所以f(x) 是(0,+∞) 上的减函数,函数f(x) 无最小值,不符合题意;当a>0 时,由f'(x)<0,得0<x<;由f'(x)>0,得x>,所以f(x) 在上单调递减,在上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f=1+a+(1-a)lna=2,得(a-1)·(1-lna)=0,解得a=1或a=e. [对点训练2](1)C　(2)(-e-4,-2) 解析:(1)因为f(x)=ex-ex,所以f'(x)=ex-e.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞) 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x) 的最小值为f(1)=0,无最大值. (2)由题意可得f(x) 在(1,2)上有最小值,即f(x) 在(1,2) 上有极小值,因为f'(x)=x2+ex-1+m 在(1,2)上单调递增,所以只需即 解得-e-4<m<-2,这时存在x0∈(1,2),使得f(x) 在区间(1,x0) 上单调递减,在区间(x0,2) 上单调递增,即函数f(x) 在区间(1,2) 上有极小值也是最小值,所以m 的取值范围是(-e-4,-2). [例5]解:(1)f'(x)=axa-1ln x+xa·=xa-1(aln x+1),由f'==0,得a=1, 当a=1 时,f'(x)=ln x+1,函数f(x) 在,上单调递减,在上单调递增,所以为函数f(x)=xaln x 的极小值点,所以a=1. (2)由(1)知f(x)min=f=-, 函数g(x) 的导函数g'(x)=k(1-x)e-x. ①若k>0,对∀x1∈(0,+∞), ∃x2=-使得g(x2)=g=-<-1<-≤f(x1), 即f(x1)-g(x2)≥0,符合题意. ②若k=0,g(x)=0,取x1=,对∀x2∈R,有f(x1)-g(x2)<0,不符合题意. ③若k<0,当x<1 时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,1) 上单调递减; 当x>1 时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞) 上单调递增,所以g(x)min=g(1)=, 若对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈R, 使得f(x1)-g(x2)≥0,只需g(x)min≤f(x)min, 即≤-,解得k≤-1. 综上所述,k的取值范围为(-∞,-1]∪(0,+∞). [对点训练3]解:(1)f'(x)= =, 依题意,f'==0,所以b-a=0, 所以a-ln b=a-ln a, 设g(x)=x-ln x,x>0,则g'(x)=1-=, 当x∈(0,1) 时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(1,+∞) 时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x=1 时,g(x)取得最小值g(1)=1,所以a-ln b 的最小值为1. (2)由(1)可知,f(x)=, 令f(x)=1,则=, 设h(x)=,0≤x≤π, 则h'(x)=, 则原问题等价于y=h(x) 在[0,π] 上的图象与y=有两个不同的交点, 当x∈时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 且h(0)=-1,h=,h(π)=e-π,结合图象(图略)可知,e-π≤<,即<a≤eπ.所以a 的取值范围为(,eπ]. 【提能力·模拟精练】 1.A　2.C　3.　4.2e;2ln 2　5. 学科网（北京）股份有限公司 $