第3章 必刷题 导数及其应用-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数运算、函数性质及实际应用，通过14道小题系统覆盖导数应用全场景，强化知识逻辑链与解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算与概念|单选1-3题|导数公式应用、导函数图像分析|从导数定义到基本运算，培养抽象能力| |导数应用|单选4-6题+多选10-11题|单调性/极值/最值求解、参数范围推理|从导数符号到函数性质，发展推理能力| |综合应用|单选7-8题+多选9题+填空12-14题|函数性质综合、实际问题建模、新定义应用|从单一应用到综合情境，体现模型意识|

必刷小题1　导数及其应用 (限时训练:90分钟) 一、单项选择题 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.下列求导运算结果正确的是 (　　) A.'=1+ B.(xln x)'=ln x+1 C.(sin π)'=cos π D.'= 2.函数y=x2-ln x的单调递减区间为 (　　) A.(0,e) B.(0,1) C.[1,+∞) D.(0,+∞) 3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则该函数的大致图象可能是 (　　) A B C D 4.若函数f(x)=x--aln x存在单调递减区间,则实数a的取值范围为 (　　) A.(2,+∞) B.(-∞,-2] C.[-2,2] D.(-∞,2) 5.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每售出1 mL的液体材料,制造商可获利0.3分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm,则当每瓶液体材料的利润最大时,瓶子的半径为 (　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.若函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)上存在最值,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1) B.(2,+∞) C.(-1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 7.已知f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,若a=f(ln 1.04),b=f(1.04),c=f(e0.04),则 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 8.已知a>0,b>1,且+2ln b+1=b2+2a,则一定有 (　　) A.b>ea B.ln b<a C.a+ln b>1 D.a+ln b=1 二、多项选择题 9.下列说法中正确的有 (　　) A.(sin 2x)'=cos 2x B.已知函数f(x)在R上可导,且f'(1)=1,则=1 C.一质点A沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t2+1,则该质点在t=2 s时的瞬时速度是4 m/s D.若h(x)=f(x)·g(x),则h'(x)=f'(x)·g'(x) 10.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是 (　　) A.f>2f B.f<2f C.f>2f(1) D.2f>f(1) 11.已知函数f(x)=-x3+3x-1,则 (　　) A.f(x)在x=-1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.f(x)在区间(-2,2)上的值域为(-3,1) D.函数f(x)图象的对称中心为点(0,-1) 三、填空题 12.函数f(x)=x-cos x,x∈的值域是　　　　.  13.在平面直角坐标系中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标为　　　　,切线方程为　　　　.  14.定义:如果函数f(x)在区间[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),满足f'(x1)=f'(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 必刷小题1　导数及其应用 1.B　解析:对于A,'=1-,故A错误; 对于B,(xln x)'=x'ln x+(ln x)'x=ln x+·x=ln x+1,故B正确; 对于C,(sin π)'=0,故C错误; 对于D,'===,故D错误. 2.B　解析:由题意知,x>0,y'=x-=, 令y'<0,得0<x<1,所以其单调递减区间为(0,1). 3.D　解析:由题意知f'(x)的图象与x轴有三个交点,不妨设为x1,x2,x3,且x1<x2=0<x3, 当x∈(-∞,x1)时,f'(x)<0; 当x∈(x1,0)时,f'(x)>0; 当x∈(0,x3)时,f'(x)<0; 当x∈(x3,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在区间(-∞,x1),(0,x3)上单调递减,故A,C错误; 在区间(x1,0),(x3,+∞)上单调递增,故B错误,D正确. 4.A　解析:因为f(x)=x--aln x存在单调递减区间, 所以f'(x)=1+-<0在(0,+∞)上有解, 即a>+x在(0,+∞)上有解, 又+x≥2=2, 当且仅当x=时等号成立, 所以=2, 故a>2. 5.A　解析:依题意知,每瓶液体材料的利润f(r)=0.3×πr3-0.1πr4=0.1π(4r3-r4),0<r≤8, 则f'(r)=0.4πr2(3-r), 令f'(r)=0,得r=3, 当r∈(0,3)时,f'(r)>0; 当r∈(3,8]时,f'(r)<0, 因此函数f(r)在(0,3)上单调递增,在(3,8]上单调递减,即当r=3时,f(r)取最大值, 所以当每瓶液体材料的利润最大时,r=3. 6.C　解析:f'(x)=(x-2)ex+x-2=(x-2)(ex+1), 则当x>2时,f'(x)>0,当x<2时,f'(x)<0, 即f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 即f(x)在x=2处取得极小值,即最小值 则有2m-2<2<3+m, 解得-1<m<2. 7.A　解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, ln 1.04<ln e=1<1.04,即ln 1.04<1.04; 令h(x)=ex-(x+1), 当x>0时,h'(x)=ex-1>0, 则h(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以h(0.04)=e0.04-(0.04+1)=e0.04-1.04>h(0)=0, 即e0.04>1.04, 所以e0.04>1.04>ln 1.04. 而f(x)在(0,+∞)上单调递增, 故有f(ln 1.04)<f(1.04)<f(e0.04),即a<b<c. 8.A　解析:因为+2ln b+1=b2+2a, 所以-2a=b2-2ln b-1=-ln b2-1, 所以-ln b2-1>-2a-1, 令f(x)=ex-x-1, 则f'(x)=ex-1,f(ln b2)>f(2a), 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, 故f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为a>0,b>1,所以2a>0,ln b2>0, 则ln b2>2a,所以ln b>a,即b>ea,故A正确,B错误; 因为ln b>a,所以a+ln b>2a, 因为a>0,所以a+ln b与1的大小关系不确定,故C,D错误. 9.BC　解析:对于A选项,(sin 2x)'=2cos 2x,故A错误; 对于B选项,由导函数定义可知=f'(1)=1,故B正确; 对于C选项,s'(t)=2t,故s'(2)=4,故该质点在t=2 s时的瞬时速度是4 m/s,故C正确; 对于D选项,若h(x)=f(x)·g(x),则h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x),故D错误. 10.BD　解析:构造函数g(x)=,其中x>0, 则g'(x)=<0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减, 对于A,B选项,g<g, 即2f<4f,可得f<2f,A错误,B正确; 对于C,D选项,g>g(1), 即2f>f(1),D正确,C无法判断. 11.ABD　解析:易得f'(x)=-3x2+3, 令f'(x)>0,解得-1<x<1;令f'(x)<0,解得x<-1或x>1, 所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增, 所以f(x)在x=-1处取得极小值,故A正确; 又f(-2)=1,f(-1)=-3,f(1)=1,f(2)=-3, 所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)在(-∞,-1)上有且仅有一个零点, 同理函数f(x)在(-1,1)上有且仅有一个零点,在(1,+∞)上有且仅有一个零点, 即函数f(x)共有3个零点,故B正确; 由前面得f(x)在(-2,2)上的值域为[-3,1],故C错误; 设g(x)=-x3+3x,x∈R,g(-x)=-(-x)3+3(-x)=x3-3x=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,图象关于点(0,0)对称, 又f(x)=-x3+3x-1的图象是由g(x)的图象向下平移1个单位长度得到的,所以函数f(x)图象的对称中心为点(0,-1),故D正确. 12.　解析:因为f(x)=x-cos x,x∈, 所以f'(x)=+sin x,当-<x<-时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当-<x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)min=f=--, 又f=-<f=, 从而f(x)max=f=, 所以函数f(x)=x-cos x,x∈的值域是. 13.(e,1)　y=　解析:设点A的坐标为(x0,y0),则y0=ln x0. 又y'=,当x=x0时,y'=, 曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-ln x0=-1, 代入点(-e,-1),得-1-ln x0=-1, 即x0ln x0=e, 记H(x)=xln x,当x∈(0,1)时,H(x)<0,当x∈(1,+∞)时,H(x)>0, 且H'(x)=ln x+1,当x>1时,H'(x)>0,H(x)单调递增, 又H(e)=e,故x0ln x0=e存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1, 故点A的坐标为(e,1),所求切线方程为y=. 14.　解析:由于f(x)=x3-x2+a, 则f'(x)=x2-2x, 因为f(x)在[0,a]上存在x1,x2(0<x1<x2<a), 满足f'(x1)=f'(x2)=, 即x2-2x==a2-a, 则关于x的一元二次方程x2-2x-a2+a=0在(0,a)上有两个不同的实根, 令g(x)=x2-2x-a2+a, 则解得<a<3. 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $