第1章 第3讲 等式性质与不等式性质-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

第3讲　等式性质与不等式性质 [课标要求]1.掌握等式的性质. 2.会比较两个数(式)的大小. 3.理解不等式的性质,并能简单应用. 1.两个实数比较大小的方法 作差法(a,b∈R). 2.等式的性质 性质1　对称性:如果a=b,那么　　　　;  性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么　;  性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc; 性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么　.  3.不等式的性质 性质1　对称性:a>b⇔　　　　;  性质2　传递性:a>b,b>c⇒　　　　;  性质3　可加性:a>b⇔a+c>b+c; 性质4　可乘性:a>b,c>0⇒　　　　;a>b,c<0⇒　　　　;  性质5　同向可加性:a>b,c>d⇒　　　　;  性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒　　　　;  性质7　同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2). 1.基本性质的推论 (1)开方法则:a>b>0⇒>. (2)倒数法则:a>b,ab>0⇒<. (3)异向相减:a>b,c<d⇒a-c>b-d. (4)异向相除:a>b>0,0<c<d⇒>. 2.分数性质 若a>b>0,m>0,则 (1)真分数性质:<;>. (2)假分数性质:>;<. 其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”,即“糖水加糖后,糖水更甜(浓度变大);糖水析出糖后,糖水变淡(浓度变小).” 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·北京)已知a>0,b>0,则 (　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 2.(2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是 (　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 3.(2024·北京)已知,是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 (　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　不等式的基本性质 【例1】(1)(多选)已知a>b>0,c∈R,下列说法正确的是 (　　) A.c->c- B.c>c C.若c>a,则>0 D.若c>0,则cos>cos (2)已知实数a,b满足a>b,则下列不等式中正确的是 (　　) A.|a|>b B.a>|b| C.a2>ab D.ab>b2 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的,只需举出一个反例即可. (2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(多选)若a>b>0,那么下列不等式一定成立的是 (　　) A.> B.< C.a>>b D.a+>b+ (2)若实数m,n满足m>n>0,则 (　　) A.-<- B.-< C.> D.m2<mn 考点二　数(式)的大小比较 【例2】(1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 (　　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q (2)若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则 (　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 判断两数(式)大小的方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④下结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④下结论. (3)构造法:构造函数,利用函数的单调性比较大小. 【对点训练2】(1)已知a=+,b=+,则a与b的大小关系是 (　　) A.a>b B.b>a C.a=b D.不确定 (2)若a=,b=,则a与b的大小关系是　　　　.(用“>”连接)  考点三　不等式性质的综合应用 【例3】(1)已知-<α<β<,则一定不属于 (　　) A. B. C. D. (2)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则2x-3y的取值范围是　　　　.  根据不等式的性质求代数式范围的策略 (1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件. (2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.一般说来,由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围时,往往利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),通过恒等变形求得m,n的值,再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x,y)的取值范围. 【对点训练3】 (1)(多选)(教材题改编)设x,y为实数,满足-1≤x≤2,0<y≤1,则下列说法正确的是 (　　) A.x+y的取值范围是(-1,3] B.x-y的取值范围是[-2,2) C.xy的取值范围是[-1,2] D.的取值范围是[1,+∞) (2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中的一个重要参数,其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外观,则该手机“屏占比”和升级前比 (　　) A.不变 B.变小 C.变大 D.变化不确定 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.“0≤x≤1”是“≥1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025·北京一模)已知a<b,c<d,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.a-c<b-d B.ac<bd C.2a+2c<2b+2d D.a2+c2<b2+d2 3.已知a是实数,则“a>1”是“a+>2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)已知a>b>0,则 (　　) A.<　 B.2a>2b>1　 C.<　 D.loga2<logb2 5.(多选)下列结论正确的是 (　　) A.若a>b,c>d,则ac2>bd2　 B.若ac2>bc2,则a>b C.“ab>1”是“a>1,b>1”成立的充分不必要条件 D.若a>b>1,则logab<loga+1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　等式性质与不等式性质 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.>;=;<　2.b=a;a=c;= 3.b<a;a>c;ac>bc;ac<bc;a+c>b+d;ac>bd 高考溯源 1.C　2.C　3.B　 【精准练·题型剖析】 [例1](1)ACD　(2)A 解析:(1)对于A,由a>b>0,得>.从而->-,则c->c-,故A正确; 对于B,由a>b>0,得>.当c>0 时,c>c;当c≤0 时,c≤c,故B错误; 对于C,易知c>a>b,则a-c<0,b-c<0,所以>0,故C正确; 对于D,易知0<<<1<.因为y=cos x 在上单调递减,所以cos>cos,故D正确.故选ACD. (2)因为|a|≥a(当且仅当a≥0 时取等号),所以|a|>b,故A正确;当a=-1,b=-2时,可得a<|b|,a2<ab,ab<b2,故B,C,D错误.故选A. [对点训练1](1)ACD　(2)B 解析:(1)对于A,因为a>b>0,所以-==>0,故A正确; 对于B,>1>>0,故B错误; 对于C,a>b>0,=>1,所以a>,因为=>1,所以>b,所以a>>b,故C正确; 对于D,a+-b-=(a-b)>0,故D正确. (2)由题意,知<,则->-,A错误; -<,两边均大于0,平方得m+n-2<m-n⇐n<⇐<⇐m>n>0,B正确; 易知y= 为减函数,m>n>0,所以<,C错误; 因为m>n>0,所以mm>mn,即m2>mn,D错误. [例2](1)B　(2)A 解析:(1)p-q=+-a-b=+===. 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0,≥0,所以p-q≤0,即p≤q.故选B. (2)A　解析:∵实数m,n,p满足m=4,n=5,p=, ∴==·<1,∴m<n; 又==·>1,∴m>p, ∴p<m<n.故选A. [对点训练2](1)B　(2)a>b 解析:(1)a2=2c+5+2,b2=2c+5+2.因为-=2>0,所以b2>a2,故b>a.故选B. (2)因为a=>0,b=>0,所以=×===log89>1,所以a>b. [例3](1)D　(2) 解析:(1)①先求α-β的范围: ◎由α<β得α-β<0. ◎由-<α且β<,得α-β>--=-π. ◎因此-π<α-β<0. ②再求的范围: 不等式两边同时除以2,得-<<0. ③对照选项,的取值范围是,所以它一定不属于.故选D. (2)设2x-3y=λ+μ= x+y, 则⇒ 所以2x-3y=-+. 而-2<-<,5<<, 所以3<2x-3y<8,即2x-3y∈. [对点训练3](1)ABC　(2)C 解析:(1)因为-1≤x≤2,0<y≤1,所以-1<x+y≤3,A正确;因为-1≤x≤2,-1≤-y<0,所以-2≤x-y<2,B正确;当-1≤x<0,0<y≤1时,-1≤-y<0,则0<-xy≤1,则-1≤xy<0,所以xy 的取值范围是[-1,0);当x=0 时,xy=0;当0<x≤2,0<y≤1时,xy的取值范围是(0,2].综上,xy的取值范围是[-1,2],C正确;当x=0 时,=0,D错误.故选ABC. (2)设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a, 则屏占比为(a>b>0).设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0),则升级后屏占比为.因为a>b>0, 所以-==>0, 即该手机“屏占比”和升级前比变大.故选C. 【提能力·模拟精练】 1.B　2.C　3.A　4.AB　5.BD　 学科网（北京）股份有限公司 $