第3章 第2讲 导数与函数的单调性-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖单调性与导数关系、单调区间求解及单调性应用（比较大小、解不等式、求参数、指对同构），按“基础梳理-方法提炼-真题演练-能力提升”逻辑架构，通过考点表格填空、解题步骤总结、近三年高考真题精讲及分层练习，系统帮助学生突破难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如总结指对同构三大模型引导学生构建解题逻辑，设计真题变式训练提升应用意识，分层练习覆盖基础到综合，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第2讲　导数与函数的单调性 [课标要求]1.结合实例,借助图象直观地了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)上　　　  f'(x)<0 f(x)在(a,b)上　　　  f'(x)=0 f(x)在(a,b)上是　　　  ⦾提醒　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　　) A.-1 B. C.1 D.2 2.(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f=aex-ln x在区间上单调递增,则a的最小值为 (　　). A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 3.(2023·新课标全国Ⅰ卷)设函数f=在区间上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 4.(2022·新课标全国Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 5.(2023·天津)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b),有f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b),有f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 求函数的单调区间 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=(x+1)e-x+x2-1的单调递减区间为 (　　) A.(-ln 2,0) B.(-∞,-ln 2) C.(-ln 2,+∞) D.(0,+∞) 2.已知函数f(x)=ax3+bx2+x+c,其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间为　　　　.  3.函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调递增区间为　　　　.  利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时,解不等式f'(x)>0或f'(x)<0,求出单调区间; (2)当导函数方程f'(x)=0可解时,解出方程的实根,依照实根把函数的定义域划分为几个区间,确定各区间上f'(x)的符号,从而确定单调区间. 注意(1)不能忘掉所求函数的定义域; (2)若所求函数的单调区间不止一个,则这些区间之间不能用“∪ ”连接,只能用“,”或“和”隔开. 探讨函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)(多选)下列函数中,在R上是单调函数的有 (　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=x-sin x C.f(x)=xex D.f(x)=ex-e-x-2x (2)已知函数f(x)=ex[x2-(2a+1)x+1](a∈R),讨论f(x)的单调性. 讨论函数f(x) 单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f'(x),并求方程f'(x)=0的根; (3)利用f'(x)=0的根将函数的定义域分成若干子区间,在这些子区间上讨论f'(x)的正负,由符号确定f(x)在各区间上的单调性. 注意(1)研究含参函数的单调性时,需注意依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分单调区间时要在定义域内讨论,还要确定导数为零的点和间断点. 【对点训练1】已知函数f(x)=x2+aln x-(a+1)x,其中a∈R,讨论f(x)的单调性. 函数单调性的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　比较大小 【例2】(1)已知函数f(x)=x+cos x,则下列选项正确的是 (　　) A.f(2)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2) C.f(e)<f(2)<f(π) D.f(2)<f(e)<f(π) (2)三个数a=,b=ln,c=的大小顺序为　　　　.(用“< ”连接)  利用导数比较大小的方法 利用导数比较大小,其关键是构造函数,把比较大小问题转化为利用导数判断函数的单调性问题.比较大小时,还要注意当自变量不在同一单调区间内时,应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上,再进行比较. 角度2　解不等式 【例3】已知函数f(x)=2ln x+-x,则不等式f(2x-1)<f(1-x)的解集为 (　　) A. B. C. D. 利用导数解不等式的方法 利用导数解不等式,其关键是构造函数,把解不等式问题转化为利用导数判断函数单调性问题,解不等式时,还要注意将常数巧妙地转化为函数值,再根据单调性去掉函数符号“f”. 角度3　求参数 【例4】(2023· 新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 (　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 细研真题　试题源于教材人教A版选择性必修第二册P104T19.本题考查导数在函数中的应用及不等式恒成立问题,考查学生化归与转化的能力和主动探究的能力.本题可作如下变式. 真题变式 1.已知函数f(x)=aex-ln x的单调递增区间为(1,+∞),则实数a=　　　　.  2.已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为　　　　.  根据函数单调性求参数的一般思路 (1)由函数在区间[a,b]上单调递增(减)转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立,列出不等式,常用分离参数法或函数的性质求解不等式恒成立问题. (2)由函数单调递增(减)区间是[a,b]转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)在函数定义域内的解集是[a,b]. (3)对等号单独检验,检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间内恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则参数可取这个值. 【对点训练2】(1)若x∈,a=2x,b=sin x,c=x,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a (2)已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,若对任意的x∈R,都有f(x)<f'(x),则不等式f(x)<ex的解集为 (　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,0) (3)设f(x)=ax2+bx+ln x,a,b∈R,若f(x)的单调递减区间为(1,2),则a=　　　　,b=　　　　.  角度3　指对同构 【例5】(2025·陕西商洛模拟)已知λ>0,对任意的x>1,不等式e2λx-≥0恒成立,则λ 的取值范围为 (　　) A.[2e,+∞) B. C.[e,+∞) D. 指对同构的三种基本模型 指对同构经常使用的变换形式有两种,一种是将x变成ln ex后构造函数;另一种是将x变成eln x后构造函数,总的来说,有以下三种基本模型: (1)乘积型:形如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b,进而构造函数f(x)=xex; (2)比商型:形如<可以同构成<,进而构造函数f(x)=; (3)和差型:形如ea±a>b±ln b,同构后可以构造函数f(x)=ex±x或f(x)=x±ln x. 注意“对数孤军奋战,指数寻找伙伴”,即在证明和处理含对数型函数的不等式时,通常要将对数型函数“独立分离”出来,再对新函数求导,可避免多次求导;在证明和处理含指数型函数的不等式时,通常将指数型函数“结合”起来,即让指数型函数乘或除以一个多项式函数,再对新函数求导,可避免多次求导. 【对点训练3】(1)(2025·北京模拟)已知x3-y3<2-x-2-y,则下列结论中正确的是 (　　) A.ln||>0 B.ln(y-x+1)>0 C.ln|y+x|>0 D.ln|y-x|>0 (2)实数e3,3π,π3的大小关系为　　　　.(用“< ”连接)  (3)对于任意实数x>0,不等式2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(课本改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性为 (　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 (　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C.(1,4) D.(0,3) 3.(多选)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述一定正确的是 (　　) A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(d)>f(e) 4.若函数f(x)=kx-2ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则实数k的取值范围是　　　　.  5.已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　导数与函数的单调性 【强基础·知识梳理】 必备知识 单调递增;单调递减;常数函数 高考溯源 1.D　2.C　3.D　4.C　5.D　 【精准练·题型剖析】 1.A　解析:f'(x)=x(2-e-x), 令f'(x)<0,则或 解得-ln 2<x<0, 所以f(x) 的单调递减区间为(-ln 2,0). 2. 解析:从题图可以看到,当<x<1 时,f'(x)<0,函数f(x) 单调递减,所以函数f(x) 的单调递减区间为. 3., 解析:函数f(x)=ln(2x+3)+x2 的定义域为, 因为f'(x)=+2x=, 令f'(x)>0, 解得x∈∪, 所以f(x)=ln(2x+3)+x2 的单调递增区间为,. [例1](1)BD　解析:A选项,由f(x)=x2 得f'(x)=2x,当x>0 时,f'(x)>0,则f(x) 单调递增;当x<0 时,f'(x)<0,则f(x) 单调递减,所以f(x) 在R上不单调,故A不符合题意;B选项,由f(x)=x-sin x 得f'(x)=1-cos x≥0 恒成立且不恒为零,所以f(x)=x-sin x 在R上是增函数,故B符合题意;C选项,由f(x)=xex 得f'(x)=(1+x)ex,当x>-1 时,f'(x)>0,则f(x) 单调递增;当x<-1 时,f'(x)<0,则f(x) 单调递减,所以f(x) 在R上不单调,故C不符合题意;D选项,由f(x)=ex-e-x-2x 得f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当x=0 时,等号成立,所以f'(x)≥0 恒成立且不恒为零,所以f(x)=ex-e-x-2x 在R上是增函数,故D符合题意. (2)解:因为f(x)=ex[x2-(2a+1)x+1], 所以f'(x)=ex[x2-(2a+1)x+1]+ex[2x-(2a+1)]=ex[x2-(2a-1)x-2a], 所以f'(x)=ex(x-2a)(x+1), 令f'(x)=0 可得,x=2a或x=-1, 若a<-,当x<2a 时,f'(x)>0, 函数f(x) 在(-∞,2a) 上单调递增, 当2a<x<-1 时,f'(x)<0, 函数f(x) 在(2a,-1) 上单调递减, 当x>-1 时,f'(x)>0,函数f(x) 在(-1,+∞) 上单调递增; 若a>-,当x<-1 时,f'(x)>0,函数f(x) 在(-∞,-1) 上单调递增, 当-1<x<2a 时,f'(x)<0,函数f(x) 在(-1,2a) 上单调递减, 当x>2a 时,f'(x)>0,函数f(x) 在(2a,+∞) 上单调递增; 若a=-,f'(x)≥0,且当且仅当x=-1 时取等号, 所以f(x) 在(-∞,+∞) 上单调递增. 综上所述,当a<-时,函数f(x) 在(-∞,2a),(-1,+∞)上单调递增,在(2a,-1) 上单调递减; 当a>-时,函数f(x) 在(-∞,-1),(2a,+∞)上单调递增,在(-1,2a) 上单调递减;当a=-时,函数f(x) 在(-∞,+∞) 上单调递增. [对点训练1]解:函数f(x)=x2+aln x-(a+1)x 的定义域是(0,+∞), f'(x)=x+-(a+1)=, 若a≤0,当0<x<1 时,f'(x)<0,函数f(x) 单调递减,当x>1 时,f'(x)>0,函数f(x) 单调递增; 若0<a<1,当0<x<a 或x>1 时,f'(x)>0,函数f(x) 单调递增,当a<x<1 时,f'(x)<0,函数f(x) 单调递减; 若a=1,f'(x)=≥0,当且仅当x=1 时取等号,故f(x) 在(0,+∞) 上单调递增; 若a>1,当0<x<1 或x>a 时,f'(x)>0, 函数f(x) 单调递增, 当1<x<a时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当0<a<1时,f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递增,在(a,1)上单调递减; 当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>1时,f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减. [例2](1)D　(2)a<b<c 解析:(1)f'(x)=1-sin x,当x∈R时,f'(x)=1-sin x≥0,且不恒为0,所以f(x) 是增函数,因为2<e<π,所以f(2)<f(e)<f(π). (2)a=,b=ln==,c=,记f(x)=(x>0),则f'(x)=,令f'(x)=<0,解得x>e,所以f(x) 在(e,+∞) 上单调递减,因为e<3<4<e2,所以f(3)>f(4)>f(e2),即a<b<c. [例3]B　解析:由题意可知f(x) 的定义域为(0,+∞). 因为f'(x)=--1=-≤0 恒成立,当且仅当x=1 时,等号成立, 所以f(x) 在(0,+∞) 上单调递减. 由f(2x-1)<f(1-x), 可得解得<x<1,即原不等式的解集为. [例4]C　解析:因为函数f(x)=aex-ln x,所以f'(x)=aex-.因为函数f(x)=aex-ln x 在区间(1,2) 单调递增,所以f'(x)≥0 在(1,2) 上恒成立,即aex-≥0 在(1,2) 上恒成立,易知a>0,则0<≤xex 在(1,2) 上恒成立.设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex.当x∈(1,2) 时,g'(x)>0,所以g(x) 在(1,2) 上单调递增,g(x)>g(1)=e,所以0<≤e,即a≥=e-1. [真题变式] 1. 解析:由题可知,f'(x)=aex-,因为f(x) 的单调递增区间为(1,+∞), 而f(x) 的定义域为(0,+∞), 所以f(x) 的一个极值点为1, 所以f'(1)=ae-1=0,解得a=. 所以f(x)=-ln x,则f'(x)=-, 显然f'(x) 在(0,+∞) 上为增函数, 所以当x∈(1,+∞) 时,f'(x)>f'(1)=0. 符合题意,所以a=. 2. 解析:f(x) 在(1,2) 上存在单调递增区间, 则原问题等价于f'(x)>0 在(1,2) 上有解, 即a>在(1,2) 上有解. 令g(x)=xex,因为g(x) 在(1,2) 上单调递增,故在(1,2) 上单调递减,所以>,所以a>. [对点训练2](1)D　(2)D　(3);- 解析:(1)令f(x)=x-sin x,x∈(0,1),则f'(x)=1-cos x>0,所以f(x) 在(0,1) 上单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即x>sin x 在(0,1) 上恒成立,则c>b 在上恒成立,又当x∈时,a=2x>20=1,c=x<1,所以b<c<a. (2)令g(x)=,则g'(x)=>0,所以g(x)=在R上单调递增,又f(0)=1,所以g(0)==1,故不等式f(x)<ex,即<1,即g(x)<g(0),解得x<0,所以不等式f(x)<ex 的解集为(-∞,0). (3)由f(x)=ax2+bx+ln x 可得f'(x)=2ax+b+(x>0),依题意知,f'(x)=2ax+b+<0的解集为(1,2),即2ax2+bx+1<0 的解集为(1,2),即2ax2+bx+1=0 的两个根为1,2,故得解得 [例5]B　解析:已知λ>0,对任意x>1,不等式e2λx-≥0恒成立. 变形得:2λe2λx≥ln x,2λxe2λx≥xln x=eln x·ln x. 令f(t)=tet(t>0),易知f(t)在(0,+∞)上单调递增. 因此f(2λx)≥f(ln x)等价于2λx≥ln x, 即λ≥对任意x>1恒成立. 令g(x)=(x>1),求导: g'(x)=. 当x=e时,g'(x)=0;x∈(1,e)时g'(x)>0,x∈(e,+∞)时g'(x)<0. 故g(x)max=g(e)=. 所以λ≥,故选B. [对点训练3](1)B　(2)e3<π3<3π (3) 解析:(1)已知x3-y3<2-x-2-y,变形得: x3-2-x<y3-2-y 令h(t)=t3-2-t,求导h'(t)=3t2+2-tln 2>0,故h(t)单调递增. 因此h(x)<h(y)⇒x<y. 所以y-x+1>1,故ln(y-x+1)>ln 1=0,故B正确. (2)比较e3与π3: 函数y=t3单调递增,e<π⇒e3<π3. 比较3π与π3: 取对数得πln 3与3ln π,即比较与. 令k(t)=,则k'(t)=,在(e,+∞)上单调递减. 因为e<3<π,故>⇒πln 3>3ln π⇒3π>π3. 综上:e3<π3<3π. (3)对任意x>0,2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立(a>0). 变形得:2ae2x≥ln 2xe2x≥ln=·ln. 由f(t)=tet单调递增,得: 2x≥ln, ln a≥ln x-2x. 令m(x)=ln x-2x,求导m'(x)=-2,当x=时,m(x)max=-ln 2-1. 故ln a≥-ln 2-1⇒a≥. 【提能力·模拟精练】 1.D　2.B　3.CD　4.[2,+∞) 　5.(0,1)∪(2,+∞)　 学科网（北京）股份有限公司 $