第1章 第2讲 常用逻辑用语-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定，全称量词与存在量词的理解及命题否定，按概念梳理-判定方法-综合应用的逻辑架构组织知识点。通过表格填空式考点梳理、定义法与集合法等方法指导、2024-2025年高考真题训练等环节，帮助学生突破逻辑关系判定、量词命题否定等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以真题为导向，创新采用“概念辨析-例题精讲-对点反馈”三步教学法，如在充分条件判定中，引导学生用数学思维分析命题推出关系，结合2023全国甲卷三角函数题实例强化逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保学生高效掌握考点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第2讲　常用逻辑用语 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.充分;必要;p⇒q且q⇒/p;充要 2.(1)∀;(2)∃ 3.∃x∈M,􀱑p(x);∀x∈M,􀱑p(x) 高考溯源 1.C　2.B　3.B　4.A　5.B 【精准练·题型剖析】 [例1](1)C　解析:设z=a+bi,则z2=a2-b2+2abi. 当z2=a2-b2+2abi<0 时,即 若b=0,则a2<0 恒不成立; 若a=0,b2>0,此时z=bi,z为纯虚数; 若a=0 且b=0,则z=0,z2=0与z2<0 不符. 综上,a=0,z为纯虚数, 所以“z2<0”是“z为纯虚数”的充分条件. 当z 为纯虚数,即z=bi时,z2=-b2<0, 所以“z2<0”是“z为纯虚数”的必要条件. 综上所述,“z2<0”是“z为纯虚数”的充要条件. (2)A　解析:若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D,使得f=+1,取x0=x1,则=+1>M,充分性成立;取f(x)=2x,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D,使得f=+1,取x0=x1,则=+1>M,但此时函数f(x)的值域为,必要性不成立,所以“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得>M”的充分不必要条件.故选A. [对点训练1](1)C　(2)A 解析:(1)直线y=k(x-3)恒过点(3,0),且双曲线的右顶点坐标为(2,0), 若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点, 则直线y=k(x-3)与双曲线的渐近线平行, 又因为双曲线的渐近线方程为y=±x, 所以k=±, 所以“k=±”是“直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点”的充要条件.故选C. (2)当λ=-1时,直线l2:-3x+3y-3=0,即x-y+1=0,与直线l1:x-y+9=0平行,充分性成立; 直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行,有λ(λ-2)=3,解得λ=-1或λ=3, 其中当λ=3时,两直线重合,舍去,故λ=-1,必要性成立. 故“λ=-1”是“直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的充要条件.故选A. [例2](1)D　(2)(-∞,1);(-∞,1] 解析:(1)因为f=-f,即-x+b=-x+b,且x 不恒为0,所以=.由x 的任意性,得a=0.又f=0,所以b=0.所以a=0 且b=0,等价于a2+b2=0.因此,函数f=x+b 是奇函数的充要条件是a2+b2=0.故选D. (2)因为p:x≤1,q:x≤a, 若p是q的必要不充分条件,则(-∞,a]⫋(-∞,1],因此a<1, 即实数a的取值范围是(-∞,1). 若p是q的必要条件,则(-∞,a]⊆(-∞,1], 因此a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1]. [对点训练2](1)A　(2)D 解析:(1)不等式x2+2x-m≥0 在x∈R 上恒成立,等价于x2+2x-m=0 的判别式Δ=4+4m≤0,即m≤-1.m<-1⇒m≤-1,但m≤-1⇒/m<-1,所以m<-1 是m≤-1 的充分不必要条件,A正确;而m>4,2<m<3,-1<m<2均不可推出m≤-1,B,C,D错误.故选A. (2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⊆B,所以a≥2.故选D. [例3](1)AB　(2)C 解析:(1)对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题,故A正确; 对于B,由全称量词命题的否定知其否定是“∃x,y∈R,x2+y2<0”,故B正确; 对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”,故C错误; 对于D,因为A=B时,sin A=sin B成立,而sin A=sin B时,A=B不一定成立,如A=,B=,故“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件,故D错误.故选AB. (2)解析:甲:为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,=a1+d=n+a1-,-=,因此为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反之,乙:为等差数列,即-==为常数,设为t,即=t,则Sn=nan+1-t·n(n+1),有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1),n≥2,两式相减得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,对n=1也成立,因此为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C正确.故选C. [对点训练3]ABD　解析:∀x∈,若x2>4,则x>2;若x3<6,则x<<=2,所以x2>4 与x3<6 不可能同时成立,故p 是假命题.q显然是真命题.所以A正确,C错误;p的否定:∀x∈,x2≤4或x3≥6.q 的否定:存在一个三角形没有内切圆.所以B,D正确.故选ABD. [例4](1)B　(2)(-∞,-2] 解析:(1)若“∃x∈R,x2+1≤m”是假命题,则“∀x∈R,x2+1>m”为真命题,对于函数y=x2+1,当x=0 时,函数取得最小值1,所以m<1,故实数m 的取值范围是(-∞,1).故选B. (2)若命题p 为真,则a≤0.若命题q 为真,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2 或a≥1.综上,实数a 的取值范围是(-∞,-2]. [对点训练4](1)①;②　(2)[0,4) 解析:(1)①若命题p为真命题,即∀x∈,不等式2x-2≥m2-3m恒成立, 则m2-3m≤=-2,可得m2-3m+2≤0,解得1≤m≤2, 因此,若p为真命题,则m的取值范围是. ②若命题q为真命题,即∃x∈,使得m≤1-x2成立,则m≤=1, p真q假时,;p假q真时,; p,q都真时,. 因为p和q至少有一个为真,则m≤2, 因此,若p和q至少有一个为真,实数m的取值范围是. (2)由题意得不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立. ①当a=0时,不等式1>0在R上恒成立,符合题意; ②当a≠0时,若不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立,则解得0<a<4. 综上,实数a的取值范围是[0,4). 【提能力·模拟精练】 1.B　2.A　3.D　4.A　5.BCD　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　常用逻辑用语 [课标要求]1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件  p是q的充分不必要条件 　　　  p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的　　　　条件  p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“　　　　”表示.  (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“　　　　”表示.  3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x, p(x)成立 存在M中的元素x, p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·全国甲卷)设向量a=,b=,则 (　　) A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=1+”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 3.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.(2025·天津)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:是递增数列,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 充分条件、必要条件的判定 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)若z为复数,则“z2<0”是“z为纯虚数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D,则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得>M”的 (　　) A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件　 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立时对应集合之间的包含关系进行判断. 判断充要条件需注意三点 (1)要分清条件与结论分别是什么. (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断. (3)直接判断比较困难时,可举反例说明. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)(2025·广东深圳模拟)“k=±”是“直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“λ=-1”是“直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 充分条件、必要条件的探究与应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】(1)函数f=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 (　　) A.ab=1 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0 (2)已知p:x≤1,q:x≤a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　;若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时应注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系列出关于参数的 不等式(组)求解. (2)要注意对区间端点值的检验. 【对点训练2】(1)不等式“x2+2x-m≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是 (　　) A.m<-1 B.m>4 C.2<m<3 D.-1<m<2 (2)(2025·山东济南二模)已知A={x|1<x<2},B={x|x<a},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则a的取值范围是 (　　) A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2 全称量词命题与存在量词命题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】(1)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x,y∈R,x2+y2≥0”的否定是“∃x,y∈R,x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列的前n项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (1)全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 全称 量词 命题 ①要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;②要判断一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可 存在 量词 命题 要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题 (2)含有量词的命题的否定:对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,一是改变量词符号,二是对结论进行否定,即“改变量词,否定结论”. 【对点训练3】(多选)设命题p:∃x∈,x2>4且x3<6;命题q:每个三角形都有内切圆,则 (　　) A.p是假命题 B.p的否定:∀x∈,x2≤4或x3≥6 C.q是假命题 D.q的否定:存在一个三角形没有内切圆 【例4】(1)若“∃x∈R,x2+1≤m”是假命题,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞) (2)已知命题p:∀x∈R,x2-a≥0;命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0.若命题p,q都是真命题,则实数a的取值范围为　　　　.  根据含量词命题的真假求参数的方法 (1)巧用三个转化 ①全称量词命题可转化为恒成立问题; ②存在量词命题可转化为存在性问题; ③全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化为它的否定为真命题. (2)准确计算:通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围. 【对点训练4】(1)已知m∈R,命题p:∀x∈,不等式2x-2≥m2-3m恒成立;命题q:∃x∈,使得m≤1-x2成立. ①若p为真命题,求m的取值范围; ②若p和q至少有一个为真,求实数m的取值范围. (2)已知命题“∃x∈R,ax2-ax+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列命题既是真命题又是存在量词命题的是 (　　) A.∀x>1,x3>1 B.∃x∉Q,x3∈Q C.∃x>1,<1 D.∀x∈Q,x3∈Q 2.“x<-3”是“x2-x-12>0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a∥α,b∥β,则“a⊥b”是“α⊥β”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设无穷等差数列的前n项积为Tn.若a1<0,则“Tn有最大值”是“公差d≥0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(多选)已知p:x≥n,q:6+7x-3x2<0,下列给出的实数n的值,能使p是q的充分不必要条件的是 (　　) A.n=3 B.n= C.n=4 D.n=2 025 学科网（北京）股份有限公司 $