第2章 第1讲 函数的概念及其表示-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数的概念及其表示，覆盖定义域求解、函数表示法、分段函数应用等高考核心考点，按“概念梳理-方法提炼-真题应用”逻辑架构知识体系。通过考点清单明确课标要求，方法指导总结定义域求法、解析式四种方法及分段函数解题策略，真题训练精选近三年高考题及模拟题，帮助学生系统突破函数基础难点。 资料以“数学思维”和“数学眼光”为导向，创新设计母题探究与对点训练，如例1通过配凑、换元、待定系数、解方程组法求解析式，培养学生逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，结合数形结合分析分段函数不等式，确保高效复习。助力学生构建函数知识网络，提升解题速度与准确性，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第1讲　函数的概念及其表示 [课标要求]1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数,并会简单应用. 1.函数的有关概念 (1)函数的概念 (2)函数的表示法:表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. ⦾提醒　在函数的定义中,集合B 不一定是函数的值域,它包含函数的值域,即值域是集合B 的子集. 2.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个　　　　的式子来表示,这种函数称为分段函数.  ⦾提醒　分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 2.(2024·上海)已知f=则f=　　　　.  3.(2023·北京)已知函数f(x)=4x+log2x,则f=　　　　.  4.(2022·北京)函数f(x)=+的定义域是　　　　.  5.(2021·浙江)已知a∈R,函数f(x)=若f=3,则a=　　　　.  函数的定义域 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=+lg(1-3x)的定义域为 (　　) A. B.(0,1] C. D. 2.已知函数y=的定义域为R,则实数k的取值范围为 (　　) A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞) C.(0,1) D.[0,1) 3.(2025·广东惠州模拟)若函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),则实数a=　　　　,实数b的取值范围为　　　　.  4.已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-1,3],则y=的定义域为　　　　.  (1)求给定函数解析式的定义域 ①求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式(组)的求解; ②当函数解析式较复杂时,要先确定全部限制条件,依次列出不等式(组),再分别求出每个不等式的解集,最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. (2) 注意　定义域要用集合或区间表示,如果定义域是多个区间,要用符号“∪ ”连接. 函数的解析式 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)已知f(+1)=x+2,求函数f(x)的解析式; (2)已知二次函数f(x)满足f(2x+1)=4x2-6x+5,求函数f(x)的解析式; (3)已知f(x)满足2f(x)+f=3x,求函数f(x)的解析式. 母题探究 若本例(3)变为:已知f(x)满足3f(x)+2f(1-x)=4x,则f(x)=　　　　.  求函数解析式的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=h(x),可将h(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),求得f(x)的解析式. (2)换元法:对于形如y=f(g(x))的函数解析式,令t=g(x),从中求出x=φ(t),然后代入解析式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值范围. (3)待定系数法:先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质或将已知条件代入,建立方程(组),从而求出相应的待定系数. (4)解方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)的解析式,可根据已知条件构造出另一个等式组成方程组,从而求出f(x)的解析式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)已知f=x2+,则函数f(x+1)的表达式为 (　　) A.f(x+1)=(x+1)2+(x≠-1) B.f(x+1)=+(x≠0) C.f(x+1)=x2+2x+3 D.f(x+1)=x2+2x+1 (2)已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)-2x)=3,则f(5)= (　　) A.11 B.9 C.7 D.5 (3)已知函数f(x)满足f(x)+xf(-x)=x2+x,则函数f(x)的解析式f(x)=　　　　.  分段函数 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　分段函数求值 【例2】已知函数f(x)= 则f(2 025)=　　　　.  关于分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值:根据分段函数解析式求函数值,首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式并代入求解. (2)求自变量的值:已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或取值范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的取值范围.特别提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. 角度2　分段函数与方程、不等式问题 【例3】已知函数f(x)=若f(a)=-1,则a=　　　　;不等式f(x)≤2的解集为　　　　.  解决分段函数与不等式问题的基本策略 (1)分类讨论:解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论,根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后将各段的结果求并集即可. (2)数形结合:解决分段函数问题时,通过画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练2】(1)设函数f(x)= 若f(m)=18,则m= (　　) A.9 B.4 C.9或-4 D.9或4 (2)已知函数f(x)=x2,g(x)=若g(x)满足g(x)≤2-x,则x的取值范围为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下面四组函数中,表示同一个函数的一组是 (　　) A.f(x)=,g(x)=x B.f(x)=(x-1)2,g(x)=(x-2)2 C.f(x)=,g(t)=|t| D.f(x)=,g(x)= 2.已知函数f(2x+1)=2x-x2-3,则f(3)= (　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 3.已知函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= (　　) A.0或1 B.-1或1 C.0或-2 D.-2或-1 4.已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3],则y=的定义域是 (　　) A.[-2,5] B.(-2,3] C.[-1,3] D.(-2,5] 5.如图,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点,当P沿A-B-C-M运动时,设点P经过的路程为x,△APM的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致是 (　　) A B C D 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　函　数 第1讲　函数的概念及其表示 【强基础·知识梳理】 必备知识 不同 高考溯源 1.B　2.　3.1　4.∪　5.2 【精准练·题型剖析】 1.C　解析:要使函数有意义,则解得x<,所以函数f(x)=+lg(1-3x)的定义域为. 2.D　解析:因为函数y=的定义域为R,所以关于x 的方程kx2+2kx+1=0 无实数解, 当k=0 时,显然无解,符合题意; 当k≠0 时,则Δ=4k2-4k<0,解得0<k<1.综上可得0≤k<1. 3.2;(-∞,-2)　解析:由函数f(x)=,得 即因为函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),故a=2,b<-2,即实数b的取值范围为(-∞,-2). 4.(-2,5] 　解析:由函数y=f(2x-1)的定义域是[-1,3],得-3≤2x-1≤5, 因此在函数y=中,解得-2<x≤5,所以y=的定义域为(-2,5]. [例1]解析:(1)f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1. 因为+1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+(a+b+c)=4x2-6x+5, 故解得 故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-5x+9. (3)因为f(x)满足2f(x)+f=3x, 则2f+f(x)=, 联立方程组解得f(x)=2x-, 故函数f(x)的解析式为f(x)=2x-(x≠0). [母题探究]4x-　解析:因为3f(x)+2f(1-x)=4x,① 用1-x 替代x 可得, 3f(1-x)+2f(x)=4(1-x),② 由3×①-2×② 可得f(x)=4x-. [对点训练1](1)C　(2)A　(3) 解析:(1)因为f=x2+=+2,所以f(x)=x2+2.所以f(x+1)=(x+1)2+2,即f(x+1)=x2+2x+3. (2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0,所以解得所以f(x)=2x+1,所以f(5)=2×5+1=11. (3)因为f(x)+xf(-x)=x2+x,把x 换成-x 有f(-x)-xf(x)=x2-x, 联立解得f(x)=. [例2]211　解析:因为当x≥-1 时,f(x)=1-f(x-2),所以当x≥1 时,x-2≥-1, 则f(x)=1-f(x-2)=1-[1-f(x-4)]=f(x-4), 所以f(2 025)=f(2 021)=…=f(1)=f(-3)=100×(-3)+511=211. [例3]2;[1-,0)∪ 解析:当a<0 时,f(a)=a2-2a=-1,解得a=1(舍去);当a≥0 时,f(a)=-2a+3=-1,解得a=2,所以若f(a)=-1,则a=2.当x<0 时,由f(x)≤2,得1-≤x<0;当x≥0 时,由f(x)≤2,得x≥,故不等式f(x)≤2 的解集为[1-,0)∪. [对点训练2](1)C　(2)(-∞,1] 解析:(1)因为f(x)=又f(m)=18,所以或解得m=-4 或m=9. (2)根据题意知g(x)=当x≥0 时,g(x)≤2-x,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,则0≤x≤1;当x<0 时,g(x)≤2-x,即-x2+x-2≤0,解得x∈R,即x<0 时,不等式g(x)≤2-x 恒成立.综上所述,使g(x)≤2-x的x 的取值范围为(-∞,1]. 【提能力·模拟精练】 1.C　2.B　3.D　4.D　5.A　 学科网（北京）股份有限公司 $